高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数本章综合与测试单元测试习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数本章综合与测试单元测试习题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝eq \f(\r(x－1),x－2)的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
2．函数y＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是( )
A．[1,6] B．[－3,1]
C．[－3,6] D．[－3，＋∞)
3．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
4．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－1，,x2，－1＜x＜2，,2x，x≥2，))若f(x)＝3，则x的值是( )
A．2 B．－eq \r(3)
C.eq \r(3) D.eq \f(3,2)
5．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＜f(－1)＜f(2) B．f(－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＜f(2)
C．f(2)＜f(－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) D．f(2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＜f(－1)
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(2x－1)＞0的解集为( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－6,0)∪(1,3)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( )
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．有关函数单调性的叙述中，正确的是( )
A．y＝－eq \f(2,x)在定义域上为增函数
B．y＝eq \f(1,x2＋1)在[0，＋∞)上为减函数
C．y＝－3x2－6x的减区间为[－1，＋∞)
D．y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上必为增函数
10．f(x)，g(x)都是定义在R上且不恒为0的函数，下列说法正确的是( )
A．若f(x)为奇函数，则|f(x)|为偶函数
B．若f(x)为偶函数，则y＝－f(－x)为奇函数
C．若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f[g(x)]为偶函数
D．若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)＋g(x)非奇非偶
11．函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的是( )
A．a＋b＞0，ab＜0 B．a＋b＞0，ab＞0
C．a＋b＜0，ab＜0 D．a＋b＜0，ab＞0
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(gx，fx≥gx，,fx，gx＞fx，))则( )
A．F(x)最小值为1 B．F(x)无最小值
C．F(x)的最大值为7－2eq \r(7) D．F(x)的最大值为3
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝eq \r(－x2－2x＋3)的定义域为________，单调递减区间是________．
14．奇函数f(x)在区间[3,10]上单调递增，在区间[3,9]上的最大值为6，最小值为－2，则2f(－9)＋f(－3)＝________.
15．已知函数f(x)为定义在[2－a,3]上的偶函数，在[0,3]上单调递减，并且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－m2－\f(a,5)))＞f(－m2＋2m－2)，则m的取值范围是________．
16．对任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x，则min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数

1在图中画出函数fx的大致图象；
2写出函数fx的最大值和单调递减区间.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax－1.
(1)若f(1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(3)若f(x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝eq \f(ax,x2－1)(a≠0)，x∈(－1,1)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a＝1，求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上的最大值和最小值．
20．(本小题满分12分)某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－4x－4.
(1)若x∈[0,5]，求f(x)的值域；
(2)若x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1图象的上方，试确定实数m的取值范围．
第二章 单元质量评估卷
1．解析：根据题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，x－2≠0，))解得x≥1且x≠2.
答案：D
2．解析：因为y＝(x－2)2－3，函数在[2，＋∞)上单调递增，又f(2)＝－3，f(5)＝6，所以x∈[2,5]的值域是[－3,6]．
答案：C
3．解析：因为f(x)＝|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥1,1－x，x＜1，))由分段函数的作图方法可知B正确．
答案：B
4．解析：由f(x)＝3得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－1,x＋1＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜x＜2,x2＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2,2x＝3，))解得x＝eq \r(3).故选C.
答案：C
5．解析：因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2＜－eq \f(3,2)＜－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＜f(－1)，即f(2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＜f(－1)，故选D.
答案：D
6．解析：∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，
∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，
则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2)．
又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，
因此f(x)＝|x|(|x|－2)．
答案：D
7．解析：∵f(－1)＝0，∴不等式f(2x－1)＞0等价为f(2x－1)＞f(－1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴不等式等价于f(|2x－1|)＞f(1)，即|2x－1|＞1，即2x－1＞1或2x－1＜－1，即x＞1或x＜0，则不等式的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选A.
答案：A
8．解析：依题意，当0＜x≤1时，S△APM＝eq \f(1,2)×1×x＝eq \f(1,2)x；当1＜x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))×1－eq \f(1,2)×1×(x－1)－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×(2－x)＝－eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)；
当2＜x≤2.5时，S△APM＝eq \f(1,2)×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－x))＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(5,4).
∴y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x，0＜x≤1,－\f(1,4)x＋\f(3,4)，1＜x≤2,－\f(1,2)x＋\f(5,4)，2＜x≤2.5.))再结合图象知应选A.
答案：A
9．解析：对于A，其定义域为不含0的两个区间，在各自的区间上都是增函数，但不能说在整个定义域上为增函数；对于B，在[0，＋∞)上为减函数；对于C，因为y＝－3x2－6x＝－3(x＋1)2＋3，可求得减区间为[－1，＋∞)；对于D，增减性与a的取值有关．故选BC.
答案：BC
10．解析：若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，令F(x)＝|f(x)|，则|F(－x)|＝|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|＝F(x)，所以|f(x)|为偶函数，所以A正确；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f(x)＝－f(－x)＝F(x)，所以y＝－f(－x)为偶函数，所以B不正确；若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]，所以y＝f[g(x)]为偶函数，所以C正确；若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)，所以y＝f(x)＋g(x)非奇函数，非偶函数，所以D正确，故选ACD.
答案：ACD
11．解析：由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝eq \f(1,x3)；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意可知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x)．结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)＜0可知f(a)＜－f(b)＝f(－b)，所以a＜－b，即b＜－a，所以a＋b＜0.当a＝0时，b＜0，ab＝0；当a＞0时，b＜0，ab＜0；当a＜0时，ab＜0(0＜b＜－a)，ab＝0(b＝0)，ab＞0(b＜0)均有可能成立．故选CD.
答案：CD
12．解析：由F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(gx fx≥gx,fx，gx＞fx))知，
当3－2|x|≥x2－2x，即当2－eq \r(7)≤x≤eq \r(3)时，F(x)＝x2－2x；当x2－2x＞3－2|x|，即当x＜2－eq \r(7)或x＞eq \r(3)时，F(x)＝3－2|x|，因此F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，2－\r(7)≤x≤\r(3),3－2|x|，x＜2－\r(7)或x＞\r(3)))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，2－\r(7)≤x≤\r(3),3＋2x，x＜2－\r(7),3－2x，x＞\r(3)，))作出其图象如图所示，观察图象可以发现，F(x)max＝F(2－eq \r(7))＝7－2eq \r(7)，无最小值，故选BC.
答案：BC
13．解析：由题意，得－x2－2x＋3≥0.解得－3≤x≤1，所以f(x)的定义域为[－3,1]．
设t＝－x2－2x＋3，y＝f(x)，则y＝eq \r(t)为增函数；
所以t＝－x2－2x＋3在[－3,1]上的单调递减区间，便是f(x)在[－3,1]上的单调递减区间；t＝－x2－2x＋3的对称轴为x＝－1；所以f(x)的单调递减区间为[－1,1]．
答案：[－3,1] [－1,1]
14．解析：因为函数在区间[3,10]上单调递增，所以在区间[3,9]上单调递增．所以函数在区间[3,9]上的最小值为f(3)＝－2，最大值为f(9)＝6.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝2，f(－9)＝－f(9)＝－6.所以2f(－9)＋f(－3)＝2×(－6)＋2＝－10.
答案：－10
15．解析：由偶函数的定义可得2－a＋3＝0，则a＝5，
因为m2＋1＞0，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1＞0，
且f(－m2－1)＝f(m2＋1)，f(－m2＋2m－2)＝f(m2－2m＋2)，
所以m2＋1＜m2－2m＋2≤3，解得1－eq \r(2)≤m＜eq \f(1,2).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\r(2)，\f(1,2)))
16．解析：不妨设h(x)＝min{f(x)，g(x)}，
当2－x2＞x，即－2＜x＜1时，h(x)＝x.
当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，h(x)＝2－x2.
故h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，－2＜x＜1,2－x2，x≥1或x≤－2.))
其图象如图实线部分，当x≤－2或x≥1时，为抛物线的一部分，当－2＜x＜1时，为线段．
由图象可知，当x取1时，h(x)取最大值1.
所以min{f(x)，g(x)}的最大值为1.
答案：1
17．解析：(1)函数f(x)的大致图象如图所示．
(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为[2,4]．
18．解析：(1)由题意可知，f(1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，
此时函数f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，
故当x＝－1时，函数f(x)min＝－2.
(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x∈R，
f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax－1，
即4ax＝0，故a＝0.
(3)函数f(x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，
而f(x)在(－∞，4]上单调递减，
∴4≤－a，即a≤－4，
故实数a的取值范围为(－∞，－4]．
19．解析：(1)设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝eq \f(ax1,x\\al(2,1)－1)－eq \f(ax2,x\\al(2,2)－1)
＝eq \f(ax1x\\al(2,2)－ax1－ax2x\\al(2,1)＋ax2,x\\al(2,1)－1x\\al(2,2)－1)
＝eq \f(ax2－x1x1x2＋1,x\\al(2,1)－1x\\al(2,2)－1)，
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(xeq \\al(2,1)－1)(xeq \\al(2,2)－1)＞0，
∴当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，f(x)在(－1,1)上是减函数；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在(－1,1)上是增函数，
(2)当a＝1，f(x)＝eq \f(x,x2－1)，由(1)知f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上是减函数，
故f(x)的最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(2,3)，最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(2,3).
20．解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(45a＋b＝27,50a＋b＝12，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3,b＝162，))
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
21．解析：(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，
对称轴x＝2，开口向上，
f(x)在[0,2)上递减，在[2,5]上递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－8，f(x)的最大值是f(5)＝1，故f(x)的值域为[－8,1]．
(2)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，
即抛物线开口向上，对称轴为x＝2，最小值为－8，过点(0，－4)，
结合二次函数的图象可知：
当t＋1＜2，即t＜1时，f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，
在x＝t＋1处取最小值f(t＋1)＝t2－2t－7；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋1≥2,t≤2，))即1≤t≤2时，f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)在x＝2处取最小值－8；
当t＞2时，f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)在x＝t处取最小值f(t)＝t2－4t－4.
综上可得，g(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2－2t－7，t∈－∞，1，－8，t∈[1，2]，t2－4t－4，t∈2，＋∞.))
22．解析：(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，
将点(0,3)的坐标代入得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，
所以2a＜1＜a＋1，所以0＜a＜eq \f(1,2).
即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2＞0对于任意x∈[－1,1]恒成立，
所以x2－3x＋1＞m对于任意x∈[－1,1]恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
则g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m＜－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
x
45
50
y
27
12