北师大版 (2019)必修 第一册2.2 换底公式练习题

2.2　换底公式

1.若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．5

2．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.

3．设3x＝4y＝36，求＋的值．

4.(log4)·(log227)等于(　　)

A.  B.

C．6  D．－6

5．计算：

(1)log927；

(2)log2×log3×log5；

(3)(log43＋log83)(log32＋log92)

6.证明：loganbm＝logab(a>0，且a≠1；m≠0)．

7．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋＝.

1.＝(　　)

A.    B．2

C.    D.

2．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝(　　)

A．a＋b  B．a－b

C．ab    D.

3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)

A.  B．10

C．20  D．100

4.＋等于(　　)

A．lg 3  B．－lg 3

C.  D．－

5．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log35·log259·lg 5＝(　　)

A．1  B．0

C．2  D．4

6．(探究题)若实数a，b，c满足25a＝404b＝2 020c＝2 019，则下列式子正确的是(　　)

A.＋＝  B.＋＝

C.＋＝  D.＋＝

7．若logab·log3a＝4，则b的值为________．

8．已知log32＝m，则log3218＝________.(用m表示)

9．(易错题)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．

10．计算：

(1)(log43＋log83)×；

(2)＋log4(－)2.

1．(多选题)下列式子中与logab(a，b均为不等于1的正数)一定相等的是(　　)

A.       B.

C．log  D．loganbn

2．已知x，y，z都是大于1的实数，m>0且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为________．

3．(学科素养—逻辑推理)已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．

2．2　换底公式

必备知识基础练

1．解析：∵logax＝＝2，∴logxa＝.

同理logxc＝，logxb＝.

∴logabcx＝＝＝1.

答案：A

2．解析：由换底公式，得××＝＝log416＝2，∴lg m＝2lg 3＝lg 9，∴m＝9.

答案：9

3．解析：∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式，得

x＝＝，y＝＝，

∴＝log363，＝log364，

∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)

＝log3636＝1.

4．解析：(log4)·(log227)＝(log22)·＝(2log2)·＝－6··＝－6.

答案：D

5．解析：(1)log927＝＝＝＝.

(2)log2×log3×log5

＝log25－3×log32－5×log53－1

＝－3log25×(－5log32)×(－log53)

＝－15×××＝－15.

(3)原式＝

＝

＝＋＋＋＝.

6．解析：证明：loganbm＝＝＝logab.

7．解析：证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，

∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，

∴＝logk2，＝logk3，＝logk6＝logk2＋logk3，

∴＝＋.

关键能力综合练

1．解析：由换底公式得log39＝，又∵log39＝2，∴＝2.

答案：B

2．解析：log27＝log23×log37＝ab.

答案：C

3．解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又m>0，∴m＝，选A.

答案：A

4．解析：原式＝log＋log＝log＋log＝log＝log310＝.选C.

答案：C

5．解析：原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－··lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0.

答案：B

6．解析：由已知，得52a＝404b＝2 020c＝2 019，得2a＝log5 2 019，b＝log4042 019，c＝log2 0202 019，所以＝log2 0195，＝log2 019404，＝log2 0192 020，而5×404＝2 020，所以＋＝，即＋＝，故选A.

答案：A

7．解析：logab·log3a＝·＝＝4，所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.

答案：81

8．解析：log23＝＝，log3218＝＝＝＋log23＝＋＝.

答案：

9．解析：解法一：原式＝＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.

解法二：原式＝＝＝·＝13.

解法三：原式＝(log2 53＋log 2252＋log2351)(log52＋log52 22＋log53 23)＝(log5 2＋log5 2＋log5 2)＝log2 5·3log5 2＝3×＝13.

10．解析：(1)原式＝×

＝×＋×

＝＋＝.

(2)原式＝×＋log4(－)2

＝log×log9＋log4(3＋＋3－－2)

＝×＋log4(6－2×2)

＝×＋log42

＝－＋log22

＝－＋＝－1.

学科素养升级练

1．解析：＝logab，＝logba，log＝logba，loganbn＝logab，故选A、D.

答案：AD

2．解析：∵logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，∴logmx＝，logmy＝，logmxyz＝，∴＋＋logmz＝，解得logmz＝，故logzm＝60.

答案：60

3．解析：解法一：设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，

∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，

∴abc＝t0＝1，即abc＝1.

解法二：设ax＝by＝cz＝t，

∵a，b，c是不等于1的正数，

∴t>0且t≠1，∴x＝，y＝，z＝，

∴＋＋＝＋＋

＝，

∵＋＋＝0，且lg t≠0，

∴lg a＋lg b＋lg c＝lg (abc)＝0，∴abc＝1.