北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解同步练习题

1.2　利用二分法求方程的近似解

1.下列函数f(x)的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求方程f(x)＝0近似解的是(　　)

2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)＜0，f(a)·f＞0，则(　　)

A．方程f(x)＝0在上有解

B．方程f(x)＝0在上有解

C．方程f(x)＝0在上无解

D．方程f(x)＝0在上无解

3.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,1.5)内的近似解的过程中，有f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则该方程的根所在的区间为(　　)

A．(1,1.25)  B．(1.25,1.5)

C．(1.5,2)   D．不能确定

4．在用二分法求方程f(x)＝0有[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．

5．用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：

6.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线发生故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？

如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查找一个点就要爬一次电线杆，这条线路有200多根电线杆呢！

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理．

1．用二分法求方程x3＋5＝0的近似解可以取的初始区间是(　　)

A．[－2,1]  B．[－1,0]

C．[0,1]    D．[1,2]

2．连续函数f(x)的部分函数值数据如下表所示：

当精确度为0.1时，方程f(x)＝0的近似解可取为(　　)

A.1.6   B．1.7

C．1.8  D．1.9

3．已知函数f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　)

A．9  B．8

C．7  D．6

4．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：

则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为(　　)

A．1.125  B．1.3125

C．1.4375  D．1.46875

5．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)

A．0.9  B．0.7

C．0.5  D．0.4

6．若用二分法求函数f(x)的近似零点时，精确度为0.001，则结束计算时零点所在区间(a，b)需满足的条件是________．

7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝，那么下一个有根的区间是________．

8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．

9．(探究题)若a＞3，则方程x2－ax＋1＝0在区间(0,2)上有________个实根．

10．(易错题)用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度为0.1)．

1．(多选题)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A．[1,4]  B．[－2,1]

C.  D.

2．下列说法中，正确的是________(填序号)．

①用二分法可求所有函数零点的近似值；

②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；

③二分法有规律可循，可以在计算机上完成；

④二分法求方程的近似解的思想源于零点存在定理．

3．(学科素养—逻辑推理)已知函数f(x)＝x3－x2＋1.

(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；

(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．

1．2　利用二分法求方程的近似解

必备知识基础练

1．解析：根据二分法的适用条件，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求方程f(x)＝0的近似解，故选D.

答案：D

2．解析：由f(a)·f(b)＜0，f(a)·f＞0可知f·f(b)＜0，根据零点存在性定理可知方程f(x)＝0在上有解．

答案：B

3．解析：∵f(1.25)·f(1.5)＜0，∴该方程的根所在的区间为(1.25,1.5)．故选B.

答案：B

4．解析：因为|0.75－0.625|＝0.125＞0.1，|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以方程的近似解可以是0.75.

答案：0.75(区间[0.687 5,0.75]内任意一个值均可)

5．解析：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.

∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，

∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.

6．解析：如图，如果他首先从线段AB的中点C查找，用随身带的话机向两端测试，若发现AC段正常，则断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，发现BD段正常，则故障在CD段；再查线段CD的中点E……以此类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩短一半，所以要把故障范围缩小到50 m～100 m，即一两根电线杆附近，只要查7次就够了．

关键能力综合练

1．解析：设f(x)＝x3＋5，

∵f(－2)＝－3，f(1)＝6，∴f(－2)·f(1)＜0.∴初始区间可取[－2,1]，选A.

答案：A

2．解析：由f(1.75)＜0，f(1.8125)＞0，且|1.75－1.8125|＜0.1.所以1.8125可作为方程f(x)＝0的近似解．故选C.

答案：C

3．解析：由题意可知，函数f(x)的零点为不变号零点，所以Δ＝36－4c＝0，得c＝9.

答案：A

4．解析：因为f(1.25)·f(1.375)＜0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125＞0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5＜0.1，因此1.312 5是一个近似解，故选B.

答案：B

5．解析：∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(0.72)×f(0.68)<0，∴存在x0∈(0.68,0.72)使x0为函数的零点，而0.7∈(0.68,0.72)，∴选B.

答案：B

6．解析：根据二分法的步骤，知当区间长度|a－b|小于精确度0.001时，便可结束计算．

答案：|a－b|<0.001

7．解析：令f(x)＝x3－2x－5.因为f(2)＝23－4－5＝－1＜0，f＝3－5－5＝＞0，f(3)＝33－11＝16＞0，故下一个有根区间为.

答案：

8．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币，综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．

答案：4

9．解析：设f(x)＝x2－ax＋1，

由于f(0)＝1，＞1，f(2)＝5－2a＜0，则函数f(x)的大致图象如图所示，故f(x)＝0在(0,2)上有1个实根．

答案：1

10．易错分析：本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而在解题中会误认为是|f(a)－f(b)|＜ε而致错．

解析：令f(x)＝x2－5，

因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，

所以f(2.2)×f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.

取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29＞0，

因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)．

再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625＞0，

因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．

由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，

所以原方程的近似正解可取为2.25.

学科素养升级练

1．解析：由于第一次所取的区间为[－2,4]，

∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，

第三次所取区间为

，，或.故选C、D.

答案：CD

2．解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故①错误；二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一位，故②正确；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故③正确；二分法求方程近似解的思想源于零点存在性定理，故④正确．

答案：②③④

3．解析：(1)证明：因为f(0)＝1＞0，f(2)＝－＜0，所以f(0)f(2)＜0，由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．

(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝＞0，

所以f(1)f(2)＜0，下一个有解区间为(1,2)．

再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－＜0，

所以f(1)f＜0，下一个有解区间为.

再取x3＝×＝，得f＝＞0，

所以ff＜0，下一个有解区间为.

综上所述，得所求的实数解x0在区间内．