高中北师大版 (2019)4.2 分层随机抽样的均值与方差当堂检测题

4.2　分层随机抽样的均值与方差  4.3　百分位数

1.为了鉴定某种节能灯泡的质量，对其中100只节能灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：(单位：小时)

则这些节能灯泡的平均使用寿命是________小时．

2．某校规定：学生期末总评成绩由卷面成绩、研究性学习成绩、平日成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示．小明本学期数学学科三部分成绩分别是90分、80分、85分，则小明的期末数学总评成绩为________分．

3.为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了一次普法知识竞赛，统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，如下：

(1)根据表中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位职工对法律知识的掌握更为稳定；

(2)求被抽取的这10名职工成绩的平均数和方差．

4.高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170,168,172,172,175,176,180，求这7人的第40的百分位数为(　　)

A．168  B．170

C．172  D．171

5．某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：

甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.

乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.

计算出学生甲、乙的25%分位数和50%分位数．

1．在一次“爱心互助”捐款活动中，高一某班第一小组8名同学捐款的金额(单位：元)如下表所示：

则这8名同学捐款的平均金额为(　　)

A．3.5元  B．6元

C．6.5元  D．7元

2．某居民区的月底统计用电情况如下，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电a度．若这14户居民该月的平均用电量为45.5度，则a的值为(　　)

A．41  B．42

C．45  D．46

3．北京市2020年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25,28,30,29,31,32,28，则这周的日最高气温的75%分位数为(　　)

A．28℃  B．29℃

C．31℃  D．32℃

4．对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是(　　)

A．2.2   B．2.5

C．2.95  D．3.0

5．某车间20名工人的年龄数据如下表：

那么这20名工人年龄的平均值和方差分别为(　　)

A．30,12.6  B．30,11.55

C．10.45,12.6  D．10.45,11.55

6．(易错题)从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数为(　　)

A．120  B．130

C．124.5  D．125

7．某班8名学生的体重(单位：kg)分别是：42,48,40,47,43,58,47,45，则这组数据的25%分位数是________ kg.

8．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对甲，乙两名候选人进行了三项测试，两人的三项测试成绩如表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、笔试和上镜效果测试的得分按334的比例计算两人的总成绩，那么________(填甲或乙)将被录用．

9.(探究题)为了帮助某市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：

则下列说法正确的是________(填序号)．

①这10名学生捐款数的中位数是40元；

②这10名学生捐款数的众数是90元；

③这10名学生捐款数的25%分位数是30元；

④这10名学生捐款数的方差是400.

10．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表：

求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差．

1．(多选题)某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩，6名男生的成绩分别为86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成绩分别为90分，93分，93分，88分，则下列说法正确的是(　　)

A．这种抽样方法是分层随机抽样

B．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

C．这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差

D．被抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04

2．某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了高一某班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表：

那么这50名学生平均每人植树________棵，这50名学生每人植树数的75%分位数是________棵．

3．(学科素养—数据处理)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如表所示：

(1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，日平均总收入持平．问风景区是怎样计算的？

(2)另一方面，游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%.问游客是怎样计算的？

(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？

4．2　分层随机抽样的均值与方差

4．3　百分位数

必备知识基础练

1．解析：这些节能灯泡的平均使用寿命是

＝597.5(小时)．

答案：597.5

2．解析：小明的期末数学总评成绩为：90×60%＋80×20%＋85×20%＝87(分)．

答案：87

3．解析：(1)甲单位5名职工成绩的平均数甲＝＝90(分)，乙单位5名职工成绩的平均数乙＝＝90(分)，甲单位5名职工成绩的方差s＝×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.8，乙单位5名职工成绩的方差s＝×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8.∵s＜s，∴甲单位职工对法律知识的掌握更为稳定．

(2)∵甲单位职工的权重w甲＝，乙单位职工的权重w乙＝，甲＝90分，乙＝90分，s＝4.8，s＝8，

∴这10名职工成绩的平均数＝×90＋×90＝90(分)，这10名职工成绩的方差s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[4.8＋(90－90)2]＋×[8＋(90－90)2]＝6.4.

4．解析：把7人的身高从小到大排列

168,170,172,172,175,176,180

7×40%＝2.8

即第3个数据为所求的第40的百分位数．

答案：C

5．解析：把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得

甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.

乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.

由13×25%＝3.25,13×50%＝6.5.

可得数据的25%分位数，50%分位数为第4,7项数据，

即学生甲的25%分位数，50%分位数分别为76,88.

学生乙的25%分位数，50%分位数分别为86,98.

关键能力综合练

1．解析：这8名同学捐款的平均金额为

＝6.5(元)，故选C.

答案：C

2．解析：由题意可得＝45.5，解得a＝42，故选B.

答案：B

3．解析：将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32，因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的75%分位数为31 ℃.故选C.

答案：C

4．解析：参加体能测试的人数是12÷30%＝40(人)，成绩为3分的人数是40×42.5%＝17(人)，成绩为2分的人数是40－3－17－12＝8(人)，所以这些学生的平均分是＝2.95(分)．故选C.

答案：C

5．解析：这20名工人年龄的平均值为

＝30，这20名工人年龄的方差为×[(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋(40－30)2]＝12.6.故选A.

答案：A

6．解析：由题图可知(a＋a－0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a＝0.025，则＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.

答案：D

7．解析：因为8×25%＝2，所以这组数据的25%分位数是＝42.5(kg)．

答案：42.5

8．解析：甲候选人的总成绩＝＝83(分)，乙候选人的总成绩＝＝82(分)，∵甲候选人的总成绩＞乙候选人的总成绩，∴甲将被录用．

答案：甲

9．解析：这10名学生捐款数的中位数是30元，众数是30元，故①，②不正确；因为10×25%＝2.5，所以这10名学生捐款数的25%分位数是30元，故③正确；这10名学生捐款数的平均数＝＝40(元)，这10名学生捐款数的方差＝×[2×(20－40)2＋4×(30－40)2＋3×(50－40)2＋1×(90－40)2]＝400.故④正确．

答案：③④

10．解析：由题意，知第1组这次数学考试的平均分1＝84，方差s＝62＝36，权重w1＝，

第2组这次数学考试的平均分2＝80，方差s＝42＝16，权重w2＝.

故全班学生这次数学考试的平均成绩＝×84＋×80＝81.5(分)，

方差s2＝w1[s＋(1－)2]＋w2[s＋(2－)2]

＝×[36＋(84－81.5)2]＋×[16＋(80－81.5)2]

＝27.25.

学科素养升级练

1．解析：因为该班有30名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比为32，所以这种抽样方法是分层随机抽样，A正确；抽取的6名男生成绩的平均数男＝＝90(分)，抽取的4名女生成绩的平均数女＝＝91(分)，虽然男＜女，但并不一定能说明该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，B不一定正确；这6名男生成绩的方差，s＝×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2＋(90－90)2]＝，这4名女生成绩的方差s＝×[(90－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2]＝，因为＞，所以C正确；被抽取的10名学生成绩的平均数＝×90＋×91＝90.4(分)，被抽取的10名学生成绩的方差s2＝×＋×＝4.096＋1.944＝6.04，D正确．故选A、C、D.

答案：ACD

2．解析：平均每人植树＝4(棵)，因为50×75%＝37.5，所以这50名学生每人植树数的75%分位数是5棵．

答案：4　5

3．解析：(1)风景区是这样计算的：

调整前的平均价格为＝16(元)，

调整后的平均价格为＝16(元)，

∵调整前后的平均价格不变，日平均人数不变，

∴日平均总收入持平．

(2)游客是这样计算的：

原日平均总收入为10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160(千元)，

现日平均总收入为5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175(千元)，

∴调整收费后风景区的日平均总收入增加了×100%≈9.4%.

(3)游客的算法是正确的，游客的说法较能反映整体实际．