高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面向量及运算的坐标表示教案配套课件ppt

4．2　平面向量及运算的坐标表示

[教材要点]

要点一　平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为________向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把________称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，记作a＝________.

　1.对平面向量坐标的几点认识

(1)设 ＝x＋y(O为坐标原点)，则向量 的坐标(x，y) 就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．

(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．

(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．

2．符号(x，y)的意义

符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．

要点二　平面向量运算的坐标表示

　(1)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两向量的坐标相同时，两个向量相等，但它们的起点和终点的坐标却不一定相同．例如，若A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，则 ＝(3,3)， ＝(3,3)，显然 ＝，但A，B，C，D各点的坐标都不相同．

(2)运算时，注意向量的起点与终点的顺序不要颠倒．

要点三　中点坐标公式

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是线段AB的中点，则

要点四　平面向量平行的坐标表示

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

向量a，b(b≠0)共线的充要条件是____________．

　已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，

(1)当≠0时，＝λ.

这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．

(2)x1y2－x2y1＝0.

这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．

(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)

(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)

(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．(　　)

(4)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　)

(5)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)

(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则x1y2＝x2y1.(　　)

2．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是(　　)

A．(2，－1)  B．(－1,2)

C．(－2,1)  D．(1，－2)

3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　)

A．－9  B．9

C．3  D．－3

4．已知A(1,2)，B(4,5)．若＝2，则点P的坐标为________.

题型一　平面向量的坐标表示——师生共研

例1　(1)设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，求a＋b与a－b的坐标．

(2)如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30 °角．求点B，D的坐标和，的坐标．

方法归纳

在向量的坐标表示中，一定要分清表示向量的有向线段的起点与终点的坐标，同时注意区分点的坐标与向量的坐标写法的不同．

跟踪训练1　(1)已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为(　　)

A．(4e1,3e2)  B．(4e1，－3e2)

C．(4,3)  D．(4，－3)

(2)已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________．

题型二　平面向量的坐标运算——自主完成

已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(3)求点M，N的坐标及向量的坐标．

方法归纳

1．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．

2．利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．

题型三　平面向量共线的坐标表示——微点探究

微点1　向量共线的判定与证明

例2　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，求证：∥.

方法归纳

向量共线的判定方法

(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.

(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行．

微点2　利用向量共线的坐标表示求参数

例3　已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)．若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值为(　　)

A.  B.

C．1  D．2

方法归纳

根据向量共线的条件求参数问题的两种思路

(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)列方程组求解．

(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．

微点3　三点共线问题

例4　已知向量＝i－2j，＝2i＋μj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数μ的值，使A，B，C三点共线．

方法归纳

利用向量解决三点共线问题的一般思路：(1)利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ；(2)利用向量运算的坐标表示得出两向量共线，再结合两向量过同一点，可得两向量所在的直线必重合，即三点共线．

跟踪训练2　(1)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线，如果共线，它们的方向相同还是相反？

(2)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)∥c，则λ＝(　　)

A．3  B．－3

C.  D．－

(3)已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是(　　)

A．(－9,1)  B．(9，－1)

C．(9,1)  D．(－9，－1)

易错辨析　误把向量的坐标当作点的坐标运算致误

例5　已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，试求当点P在第三象限时λ的取值范围．

解析：由已知得＝＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

设点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．

于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即

又点P在第三象限，所以解得λ<－1.

故λ的取值范围为(－∞，－1)．

易错警示

4．2　平面向量及运算的坐标表示

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

位置　(x，y)　(x，y)

要点二

(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx，λy)

要点三

要点四

x1y2－x2y1＝0

[基础自测]

1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√

2．解析：＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．

答案：B

3．解析：因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.

答案：B

4．解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x,5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，

即解得

答案：(3,4)

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)∵a＝3i＋4j，b＝－i＋j，

∴a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j，

a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j.

又∵i＝(1,0)，j＝(0,1)，

∴a＋b与a－b的坐标分别是(2,5)与(4,3)．

(2)由题意知，点B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．

设B(x1，y1)，D(x2，y2)．

由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，

x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，

∴B，D.

∴＝，＝.

跟踪训练1　解析：(1)∵e1，e2是互相垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，

∴a＝(4，－3)．

(2)设点A(x，y)

则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，

y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3

即A(－3，3)，

∴＝(－3，3)．

答案：(1)D　(2)(－3，3)

题型二

解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

∴解得

∴实数m的值为－1，n的值为－1.

(3)设O为坐标原点．

∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，

∴M(0,20)．

又∵＝－＝－2b，

∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

∴N(9,2)．

∴＝(9，－18)．

题型三

例2　解析：设E(x1，y1)，F(x2，y2)．

由题意知＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，

∴＝＝，＝＝，

∴(x1，y1)－(－1,0)＝，

(x2，y2)－(3，－1)＝.

∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝.

∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.

∵4×－(－1)×＝0，

∴∥.

例3　解析：方法一：由题意得

a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，

2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．

∵(a＋2b)∥(2a－2b)，

∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.

方法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，

∴方程组显然无解，

∴a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，∴假设不成立，

∴a，b共线，∴＝2，解得λ＝.

答案：A

例4　解析：方法一：∵A，B，C三点共线，即，共线，

∴存在实数λ，使＝λ，即i－2j＝λ(2i＋μj)．

可得解得故当μ＝－4时，A，B，C三点共线．

方法二：依题意得i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝2(1,0)＋μ(0,1)＝(2，μ)．

∵A，B，C三点共线，即，共线，∴1×μ－2×(－2)＝0，解得μ＝－4.故当μ＝－4时，A，B，C三点共线．

跟踪训练2　解析：(1)∵＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．

又∵CD＝－2，∴，方向相反．

综上，与 共线且方向相反．

解析：(2)a－λb＝(1＋λ，1－3λ)．

∵(a－λb)∥c，

∴2(1－3λ)＝1＋λ，

解得λ＝.

答案：C

解析：(3)设点C的坐标是(x，y)，

因为A，B，C三点共线，

所以∥.

因为＝－(1，－3)＝，

＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，

所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，

经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.

答案： C