辽宁省大连市重点高中2021届高三上学期第二次月考试题 数学（含答案解析）

2021届高三上学期第二次考试

数学试卷

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.

考生请注意：

I.考试时间120分钟，满分150分；

II.只交答题纸，在卷上作答无效。

第I卷(选择题 共60分)

一、单项选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.设U＝R，A＝{x|2x>1}，B＝{x|log2x>0}，则A∩(B)＝

A.{x|x<0}     B.{x|x>1}     C.{x|0<x≤l}     D.{x|0≤x<1}

2.复数的虚部是

A.－1     B.1     C.－i     D.i

3.“sin2α＝”是“tanα＝2”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

4.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若，

则x＝

A.     B.     C.     D.2

5.已知M是△ABC内的一点，且＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值是

A.9     B.16     C.18     D.20

6.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家奥纳多·达芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆。该油画规格为，纵77cm，横53cm，油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示)。有一身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm)，设该游客离墙的距离为xcm，视角为θ。为使观赏视角θ最大，x应为

A.77     B.77     C.     D.80

7.若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围是

A.(，＋∞)     B.(，2]     C.[1，2]     D.(－∞，2]

8.若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围是

A.(－1，1)     B.(－1，1]     C.[0，1)     D.(0，1)

二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是

A.函数f(x)的图像关于直线x＝对称

B.函数f(x)的图像关于直线点(－，0)对称

C.函数f(x)在区间[]上单调递增

D.函数y＝1与y＝f(x)(－≤x≤)的图像的所有交点的横坐标之和为

10.PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(单位：ug/m3)的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是

A.众数为30            B.中位数是31

C.平均数小于中位数     D.后4天的方差小于前4天的方差

11.已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于(x1，y1)∈M，(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”。给出下列四个集合：

M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；

M2＝{(x，y)|y＝}；

M3＝{(x，y)|y＝ex}；

M4＝{(x，y)|y＝sinx＋1}。

其中是“互垂点集”集合的为

A.M1     B.M2     C.M3     D.M4

12.已知函数f(x)满足：当－3≤x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，下列命题正确的是

A.若f(x)是偶函数，则当0<x≤3时，f(x)＝ex(x＋1)

B.若f(－3－x)＝f(x－3)，则g(x)＝f(x)＋在x∈(－6，0)上有3个零点

C.若f(x)是奇函数，则x1，x2∈[－3，3]，|f(x1)－f(x2)|<2

D.若f(x＋3)＝f(x)，方程[f(x)]2－kf(x)＝0在x∈[－3，3]上有6个不同的根，则k的范围为－<k<－

第II卷(非选择题 共90分)

三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分。共20分)

13.已知＝(－3，2)，＝(－1，0)，向量λ＋与－2垂直，则实数λ的值为           。

14.如果复数z满足|z－i|＝2，那么|z＋1|的最大值是           。

15.已知函数f(x)＝x2，g(x)＝2x－m，m∈R，若x1∈[－12]，x2∈[0，2]都有f(x2)≥g(x1)，则实数m的取值范围是           。

16.顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观，如图所示，△ABC是黄金三角形，AB＝AC，作∠ABC的平分线交AC于点D，若BC＝1，则AB＝      ；借助黄金三角形可计算sin234°＝           。(本题第一空2分，第二空3分)

四、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

17.(本小题满分10分)

在△ABC中，B＝，b＝，选择①(或②或③)，求BC边上的高。

从①sinA＝，②sinA＝3sinC，③a－c＝2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18.(本小题满分12分)

某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x(万元)时，销售量t(万件)满足(其中0≤x≤k，k≥l)。现假定产量与销售量相等，己知生产该产品t万件还需投入成本(10＋2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件。

(1)将该产品的利润y(万元)表示为促销费用x(万元)的函数；

(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大。

19.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝sinx·cos(x－)＋cos2x－。

(1)当x∈[－π，π]时，求出函数f(x)的最大值，并写出对应的x的集合；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，b＋c＝3，求a的最小值。

20.(本小题满分12分)

“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树值中随机抽取了120株测量高度(单位：cm)，经统计，树苗的高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图。据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm的为优质树苗。

(1)求图中a的值；

(2)已知所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如列联表：

将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；

(3)用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X，求X的分布列和数学期望E(X)。

附：参考公式与参考数据：，其中n＝a＋b＋c＋d。

21.(本小题满分12分)

某奶茶店为了解冰冻奶茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某5天卖出冰冻奶茶的杯数y与当天气温x的对照表：

(1)画出散点图；

(2)求出变量x，y之间的线性回归方程；若该奶茶店制定某天的销售目标为11杯，当该天的气温是38℃时，该奶茶店能否完成销售目标?

注：线性回归方程＝bx＋a的系数计算公式：。

(参考数据：1252＝15625，152＋202＋252＋302＋352＝3375)

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝4lnx＋x2－2mx(m∈R)。

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若直线l为曲线y＝的切线，求证：直线l与曲线y＝不可能有2个切点。

数学答案

1.   C   2.A  3.B  4.B  5.C  6.B  7.C   8.D

9.   BCD  10.AD   11.BD  12.BC

18.   （1）由题意，得，

将代入化简，得.6分

（2），当且仅当，即

（满足）时，上式取等号．故促销费用投入1万元时，厂家的利润最大.12分

19.

 （1）函数

2分

∵，所以，4分

当或即时，函数取最大值..6分

（2）由题意（A），化简得，，

，，解得.8分

在中，根据余弦定理，得．

由，知，即..10分

当时，取最小值为．

                                       ..12分

20.（1）根据频率分布直方图数据，有，解得：2分

（2）根据频率分布直方图可知，样本中优质树苗棵树有..3分

列联表如下：

.4分

可得由.5分

所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与两个试验区有关系.6分

（3）用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为

的可能取值为0，1，2，3，4，由题意知：服从二项分布，即

即：；；

；；

10分

的分布列为：

                                         ..11分

数学期望为12分

  （或）.

  21.  （1）散点图如图所示：

2分

（2），

，，

，              

，..7分

所以..8分

9分

故所求线性回归方程10分

当时，，.11分

所以当该天的气温是时，该奶茶店不能完成销售目标. .12分

22.  （1）由题意得：定义域为，

令，则

①若，则，则，

函数在上单调递增；

②若或，有两个零点，，则

其中，；

（1）若，则，，此时

故函数在上单调递增；

（2）若，则，

此时当和时，，当时，

函数在和上单调递增，在上单调递减

综上所述：当时，函数的单调递增区间为；

当时，单调递增区间为，；单调递减区间为.6分

（2）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同切点，

不妨令

则处切线的方程为：

处切线的方程为：

为同一直线   

即，整理得：

消去得：…①

令，由与得：

记，则

为上的单调减函数   

从而①式不可能成立，即假设不成立

若直线为曲线的切线，则直线与曲线不可能有个切点..12分