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江西省宜春中学2021届高三上学期第二次月考 数学(理)试题(含答案解析)
展开2021届高三年级第二次月考数学(理科)试卷
一、单选题(每小题5分,共60分)
1.已知命题,,则命题P的否定为( )
A. B.
C. D.
2.已知集合,,,则集合中元素的个数为( )
A.4 B.8 C.16 D.20
3.已知奇函数,则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的函数,且,如果当时,,则( )
A.27 B.-27 C.9 D.-9
5.记不等式组的解集为,,使成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设,,,则( )
A. B. C. D.
7.已知正实数、满足,则最小值为( )
A. B.4 C. D.3
8.已知函数是连续的偶函数,且时, 是单调函数,则满足的所有之积为( )
A.16 B. C. D.
9.已知函数,(),若任意,且都有,则实数a的取值范围( )
A. B. C. D.
10.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[﹣1.08]=﹣2,定义函数f(x)=x﹣[x],则下列命题中正确的是( )
①函数f(x)的最大值为1; ②函数f(x)的最小值为0;
③方程有无数个根; ④函数f(x)是增函数.
⑤是函数恰有三个零点的充要条件
A.②③ B.①②③ C.②③⑤ D.③④⑤
11.设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.已知函数,若存在,且,使得,则实数的取值范围为( ).
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.函数的递增区间是______.
14.已知,则______.
15.已知函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围是______
16.设函数,若无最大值,则实数的取值范围为______.
三、解答题(共70分)
17.(本小题10分)已知函数。
(1)若函数的定义域为R,求a的取值范围;
(2)若函数在区间上是增函数,求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)函数,().
(1)求的解集;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
19.(本小题12分)四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,为的中点,为的中点,平面底面.
(1)证明:平面平面;
(2)若与底面所成的角为,求二面角的余弦值.
20.(本小题12分)平面直角坐标系中,过点的直线的参数方程为(为参数);以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程;
(2)若直线与曲线相交于、两点(点在、之间),且,求的值.
21.(本小题12分)已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值;
(2)若,不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若且在 上的最小值为,求的值.
22.(本小题12分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分(满分:分)数据,统计结果如下表所示.
组别 | |||||||
频数 |
|
(1)已知此次问卷调查的得分服从正态分布,近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求;
(2)在(1)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
(ⅰ)得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;
(ⅱ)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元 | ||
概率 |
现市民甲要参加此次问卷调查,记为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列及数学期望.
附:,若,则,,.
2021届高三年级第二次数学(理科)月考试卷答题卡
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13、 14、 15、 16、
三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17、(本题满分10分)
18、(本小题满分12分)
19、(本小题满分12分)
20、(本小题满分12分)
21、(本小题满分12分)
22、 (本小题12分)
2021届高三年级第二次月考数学(理科)试卷答案
D C D B A A D D A A A A
13. 14.2020 15. 16.
17. (1)
(2) 因为函数在区间上是增函数,
故只需在上单调递减,且.
则且,
解得且. 故
18.(1);(2).
【详解】 解:(1),所以,
所以解不等式组或或,解得或或, ∴的解集是
(2)由(1)知,当时,,
由知,.
故在上恒成立.
令,则,即
解得, 故的取值范围为.
19.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【详解】 (Ⅰ) 四边形是平行四边形 .
又,.
又面面,面面,
面 面 且面
平面平面.
(Ⅱ)连结,,为中点,
又平面,平面平面,
平面平面, 底面,
又,以,,分别为,,轴的正方向建立空间直角坐标系,设,,取平面的法向量,,,
,,
,
设平面的法向量,
,令, ,.
设二面角的平面角为
又为钝角,,即二面角的余弦值为.
20.(1);(2).
【详解】 (1)由曲线的极坐标方程为,可得,
即,即,
又因为,,代入可得,
所以曲线的普通方程为.
(2)设点、对应的参数分别为、,
将直线的参数方程代入,
整理得,
可得,,
由参数的几何意义知,可得,
因为点在、之间,所以,
所以,即,解得(满足),
所以.
21.(1)(2)(3)
【详解】 (1)因为是定义域为的奇函数,所以,
所以,所以,
(2)由(1)知:,
因为,所以,又且,所以,
所以是上的单调递增,又是定义域为的奇函数,
所以
即在上恒成立,
所以,即,
所以实数的取值范围为.
(3)因为,所以,解得或(舍去),
所以,
令,则,
因为在上为增函数,且,所以,
因为在上的最小值为,
所以在上的最小值为,
因为的对称轴为
所以当时, ,解得或(舍去),
当时, ,解得,
综上可知:.
22.(1);(2)见解析.
【详解】 (1)由题意可得,
易知,,
,
;
(2)根据题意,可得出随机变量的可能取值有、、、元,
,,
,.
所以,随机变量的分布列如下表所示:
所以,随机变量的数学期望为.