黑龙江省牡丹江市重点高中2021届高三上学期第二次月考 数学（理）试题（含答案解析）

2021届高三上学期第二次月考

数学（理科）试题

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合，，则（    ）

A．  B． C． D．

2．设，若，则下列不等式中正确的是（ ）

A． B． C． D．

3．定积分（   ）

A． B．     C．       D．

4．已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（    ）

A．          B．3           C．           D．

5．中，，，若，则角为(    )

A．           B．        C．             D．

6．记为数列的前项和．若点，在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C．4 D．5

8．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（　　）

A．磅 B．磅 C．磅 D．磅

9．函数的函数图象是（    ）

A．    B．   C．    D．

10．等比数列的前项积为，并且满足，现给出下列结论：①②；③是中的最大值；④使成立的最大自然数是2019，期中正确的结论个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若，则实数a的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为_____________.

14．的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为_________．

15．下列说法中

①对于命题：存在，则：；

②命题“若，则函数在上是增函数”的逆命题为假命题；

③若为真命题，则均为真命题；

④命题“若，则”的逆否命题是“若，则”．

其中错误的是_____________

16．已知数列与满足，，，若，对一切恒成立，则实数的取值范围是__________．

三、解答题（本题共6道题，第17题10分，其它5道题各12分，共70分）

17．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．

（1）求AC的长；

（2）若CD＝5，求AD的长．

18．已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19．已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求的值；

（2）求在上的最大值．

20．已知向量，，，其中是的内角．

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，，，求的面积．

21．已知数列满足， 且．

（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

（2）令， ，求数列的前项和．

22．已知函数， .

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，对任意的，存在，使得成立，试确定实数m的取值范围.

2021届高三上学期第二次月考

数学理科试题参考答案

1．D    2．D     3．D     4．A     5．B    6．C

7．A    8．D     9．A     10．A    11．C   12．D

13．     14．      15．③     16．

17．解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，,

则

（2）因为∠ACB＝60°，所以,

在中，由余弦定理得，

18．解:（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，

又，解得或（舍去），，

，

又，，，；

（2），

，

两式相减得，

则.

19．解:（1） 函数   的导数为 ，

曲线  在点  处的切线斜率为  ，切点为  ，

由切线方程为 ，可得 ， ，解得 ．

（2） 函数 的导数 ，由 ，可得  或 ；由 ，可得 ．则 f(x) 的增区间为 ， ；减区间为 ．可得 f(x) 的两极值点-2, ，

， ，又 ， ．

故 y=f(x) 在   上的最大值为 13．

20．解:（1）向量，，

，可得

，即有，，，，可得；

（2）在中，由余弦定理可得，，即为，解得或2，

若，则为最大边，且，为钝角，不合题意；

若，则为最大边，且，B为锐角，合题意，

则的面积为．

21．解:（1）， 且，

∴，即，∴，

数列是等差数列，∴，∴，∴．

（2）由（1）知，∴ ，

∴，

．

22．解:（1）由，得.当时，，所以的单调递增区间是，没有减区间.当时，由，解得；由，解得，所以的单调递增区间是，递减区间是.综上所述，当时，的单调递增区间是，无递减区间；当时，的单调递增区间是，递减区间是.

（2）当时，对任意，存在，使得成立，只需成立.

由，得.令，则.所以当时，，当时，.所以在上递减，在上递增，且，所以.所以，即在上递增，所以在上递增，所以.

由（1）知，当时，在上递增，在上递减，

①当即时，在上递减，；

②当即时，在上递增，在上递减，，由，

当时，，此时，

当时，，此时，

③当即时，在上递增，，

所以当时，，由，得 

当时，，由，得 ．

 ．综上，所求实数m的取值范围是．