河南省南阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（10月）数学（理）试题（含答案解析）

这是一份河南省南阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（10月）数学（理）试题（含答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南阳市一中2020年秋期高三第二次月考理数试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）A. –4 B. –2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 命题：，，则命题是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】原命题是全称命题，其否定为存在性量词命题，故按规则可写出原命题的否定.【详解】因为：，，故：，.故选：C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性量词命题的一般形式是，，其否定为.3. 函数的零点必落在区间(  )A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得，，，根据函数零点存在性定理可得出答案．【详解】由题得，，而，根据函数零点存在性定理可得函数在区间上存在零点．故答案为B.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．4. 已知奇函数满足，当时，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意，故函数是周期为4的函数，由，则，即，又函数是定义在R上的奇函数，则，故选A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题.5. 函数图象是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用特殊点的函数值，由排除法得解．【详解】解：，故排除；，故排除；，故排除；故选：．【点睛】本题考查函数图象的确定，属于基础题．6. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的单调性列出不等式组，可得实数的取值范围．【详解】在上单调递增，则解得故选：C【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查分段函数，端点值的取舍是本题的易错．7. 已知函数，对于实数，“”是“”的(　 　).A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先判断出函数为奇函数，且为的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为，所以为奇函数，时，，在上递增，所以函数在上为单调增函数，对于任意实数和，若，则，函数为奇函数，，，充分性成立；若，则，函数在上为单调增函数，，，必要性成立，对于任意实数和，“”，是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8. 已知函数，若，则（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】令，根据奇偶性定义可判断出为奇函数，从而可求得，进而求得结果.【详解】令为奇函数又    即    本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数，利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.9. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则间的大小关系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【详解】利用奇函数的性质 可得：，即当时，函数的解析式为：，令，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：，，即函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：.本题选择C选项.10. 若对，，且，都有，则m的最小值是  注：为自然对数的底数，即A.  B. e C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，把问题等价于，令，根据函数的单调性，即可求解m的范围．【详解】由题意，当时，由，等价于，即，故，故，令，则，又，故在递减，又由，当，解得：，故在递减，故，故选C．【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数恒成立及转化思想，其中解答中把问题等价于，令，根据函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11. 已知是定义在上的奇函数，且．当时， ，则函数在区间上的所有零点之和为（    ）A. 2 B. 4C. 6 D. 8【答案】D【解析】【分析】先分析得到函数的周期和对称轴，再作出函数的图象，利用对称性得解．【详解】由题意得，，∴，即周期为4．∵，∴的图象关于对称．作出图象如图所示，则的零点即为图象与图象的交点的横坐标，四个交点分别关于点对称，则，即零点之和为8，故选:D．【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12. 已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：，即，记，，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若对于任意实数都有，则__________.【答案】3【解析】【分析】由对于任意实数都有，列方程组，求出，由此能求出的值．【详解】解：对于任意实数都有，，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14. 曲线，与轴所围成的如图所示的阴影部分面积是______.【答案】【解析】【分析】利用定积分计算出阴影部分的面积.【详解】依题意，阴影部分的面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用定积分计算面积，属于基础题.15. 已知实数满足则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.16. 已知函数在上存在唯一零点，则下列说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上）①；②；③；④.【答案】①③【解析】【分析】将问题转化为的根为，令，利用导数判断出函数的单调性，从而可得，代入得，令，利用导数判断函数的单调性，可判断④.【详解】由题意知有唯一解，即的根为.令，，令得，当时，有唯一解，满足，故上单调递减，上单调递增.又因为，，因此，即，即，整理可得故.另外，令，故在上单调递增，，故④错误.故答案为：①③．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了转化与化归的思想，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤.）17. 化简下列各式：（1）；（2）【答案】（1）0；（2）1.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式.（2）由对数的运算性质，可得原式.【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.18. 已知奇函数的定义域为.（1）求实数，的值；（2）若，方程有解，求的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由函数是奇函数，根据定义域关于原点对称和函数在有定义由求解. （2）由，令，，将方程有，转化为与有交点，利用数形结合法求解.【详解】（1）因为奇函数定义域关于原点对称，所以.又函数在有定义，所以，解得，.经检验符合题意.（2），令，，则方程有解等价于有解，即与有交点.在同一坐标系中作出与的图象，如图所示： 由图可知：当时有交点，即方程有解，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19. 已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证明，只需证明即可；（2）有3个根，可转化为有3个根，即与有3个不同交点，利用导数作出的图像即可.【详解】解：（1）当时，要证，两边取自然对数，即证，令，则，当时，，故在上单调递增，所以，即，所以.（2）由已知，依题意，有3个零点，而，故有3个根，易见0不是其根，所以有3个根，故与有三个交点.令，则，当时，，当时，，当时，，故在单调递减，在，上单调递增，另外，易见，故作出的图像如下，易得时与有三个交点.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，属于中档题.20. 已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得且，即得的取值范围.试题解析：解：（1），当时，，∴在上单调递减.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，在上单调递减，∴，不合题意.当时，，不合题意.当时，，在上单调递增，∴，故满足题意.当时，在上单调递减，在单调递增，∴，故不满足题意综上，的取值范围为.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21. 已知函数，为的导数.（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）求，令，求的正负判断的单调性，求出的最小值，即为的最小值. （2）令，即证当时，恒成立.由（1）可知，当时，成立，当时，分类讨论求的范围即可.【详解】（1），令，，则.当时，为增函数，；当时，.故时，，为增函数，故，即的最小值为1.（2）令，，则本题即证当时，恒成立.当时，若，则由（1）可知，，所以为增函数，故恒成立，即恒成立；若，则，在上为增函数，又，，故存在唯一，使得.当时，，为减函数；时，，为增函数.又，，故存在唯一使得.故时，，为增函数；时，，为减函数.又，，所以时，，为增函数，故，即恒成立；当时，由（1）可知在上为增函数，且，，故存在唯一，使得.则当时，，为减函数，所以，此时，与恒成立矛盾.综上所述，.【点睛】本题考查利用导数求最值，考查利用导数证明恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于难题.22. 在平面直角坐标系中，的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到距离的最大值及该点坐标.【答案】（1）的普通方程为；曲线C的直角坐标方程为（2）曲线C上的点到直线距离的最大值为，该点坐标为【解析】【分析】（1）先将直线的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，即可得解，要注意去除杂点；将曲线C的方程先去分母，再将，代入，化简即可求解；（2）先将曲线C的方程化为参数形式，再利用点到直线的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解.【详解】解：（1）由（t为参数），得.消去参数t，得的普通方程为；将去分母得，将代入，得，所以曲线C的直角坐标方程为.（2）由（1）可设曲线C的参数方程为（为参数），则曲线C上的点到的距离，当，即时，，此时，，所以曲线C上的点到直线距离的最大值为，该点坐标为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化，利用圆锥曲线的参数方程解决点到直线距离的问题，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.23. 已知函数    （1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，若，且，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）先求出s=1，再求出，构造函数求取值范围.【详解】（1），①由；②由；③由；所以或.（2），，，.设,当时，函数单调递减，所以；当时，函数单调递减，所以；当时，函数单调递增，所以所以.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查三角绝对值不等式和绝对值的范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
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