2021年广东省初中学业水平考试冲刺4练习题
展开2021年广东省初中学业水平考试冲刺4
一、选择题（30分）
- （3分）三角形两边长分别是 和 ，第三边长是一元二次方程 一个实数根，则该三角形的面积是
A． B． C． 或 D．
- （3分）如图， 是 的弦， 是 的切线， 为切点， 经过圆心．若 ，则 的大小等于
A． B． C． D．
- （3分）如图，已知直线 过点 ，过点 的直线 交 轴于点 ，则关于 的不等式组 的解集为
A． B．
C． D．
- （3分）如图反映的是某中学九（）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的频数（人数）分布直方图（部分）和扇形分布图，那么下列说法正确的是
A．九（）班外出的学生共有 人
B．九（）班外出步行的学生有 人
C．在扇形图中，步行的学生人数所占的圆心角为
D．如果该校九年级外出的学生共有 人，那么估计全年级外出骑车的学生约有 人
- （3分）如图，在等边 中，，将线段 沿 翻折，得到线段 ，连接 交 于点 ，连接 ， 以下说法：① ，② ，③ ，④ 中，正确的有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
- （3分）如图，矩形 的面积为 ，对角线交于点 ；以 ， 为邻边作平行四边形 ，对角线交于点 ；以 ， 为邻边作平行四边形 ；，依此类推，则平行四边形 的面积为
A． B． C． D．
- （3分）已知二次函数 和一次函数 的图象如图所示，下面有四个推断：
①二次函数 有最大值
②二次函数 的图象关于直线 对称
③当 时，二次函数 的值大于
④过动点 且垂直于 轴的直线与 ， 的图象的交点分别为 ，，当点 位于点 上方时， 的取值范围是 或 ．
其中正确的是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
- （3分）如图，在 中，直径 垂直弦 于点 ，且 ．点 为 上一点（点 不与点 ， 重合），连接 ，，，，．过点 作 于点 ．给出下列结论：① 是等边三角形；② 在点 从 的运动过程中， 的值始终等于 ，则下列说法正确的是
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
- （3分）某公园计划砌一个形状如图所示的喷水池，后来有人建议改为图的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿
A．图需要的材料多 B．图需要的材料多
C．图、图需要的材料一样多 D．无法确定
- （3分）对于圆的面积公式π，下列说法中，正确的为
A．π是自变量 B．是自变量 C．是自变量 D．π是自变量
二、填空题（28分）
- （4分）如图，矩形 的对角线交于点 ，点 在线段 上，且 ，若 ，则 ．
- （4分）如图，四边形 是由两个相同的等腰直角三角形（甲），一个正方形（乙）和两个相同的直角三角形（丙）无缝拼接而成，已知四边形 的面积为 ，则两个等腰直角三角形的面积和为 ．
- （4分）如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆 的高度，站在教学楼的 处测得旗杆底端 的俯角为 ，测得旗杆顶端 的仰角为 ，若旗杆与教学楼的距离为 ，则旗杆 的高度是 ．（结果保留根号）
- （4分）抛物线 与 轴交于 ， 两点，抛物线 与抛物线 关于点 成中心对称，抛物线 与抛物线 关于点 成中心对称．若直线 与由 ，， 组成的图形恰有 个公共点，则 的取值或取值范围是 ．
- （4分）如图，已知正方形 的边长为6，点 是正方形内部一点，连接 ，，且 ，点 是 边上一动点，连接 ，，则 的长度最小值为 ．
- （4分）如图， 为半圆 的直径， 为 的中点， 交半圆与点 ，以 为圆心， 为半径画弧 交 于 点，若 ，则图中阴影部分面积为 ．
- （4分）东营市某中学为积极响应“书香东营，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如表所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是 ．\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 时间( 小时) &0.5&1&1.5&2&2.5\\\hline 人数( 人) &12&22&10&5&3\\\hline\end{array}\)
三、解答题（62分）
- （6分）我们规定：，例如 ．
(1) 试求 和 的值；
(2) 想一想 与 相等吗？如果相等，请验证你的结论．
- （6分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 四个顶点坐标分别为 ，，，．
(1) 四边形对角线 ， 相交于点 ，求 的长；
(2) 在第一象限内确定点 ，使 和 相似，求出所有符合条件的点 的坐标．
- （6分）如图，已知点 ，，求直线 与坐标轴的交点 ， 的坐标．
- （8分）（用直尺和圆规作图）
已知：线段 ，，．
求作：，使 ，，．
- （8分）将一副三角尺按如图①方式拼接：含 角的三角尺的长直角边与含 角的三角尺的斜边恰好重合（在 中，，；在 中，，）．已知 ， 是 上的一个动点．
(1) 当 时，求 的度数；
(2) 如图②，若 是 的中点，求 周长的最小值；
(3) 如图③，当 平分 时，在 内存在一点 ，使得 ，且 ，求 的长．
- （8分）如图 ，在平面直角坐标系中，正方形 的 点在第一象限， 为线段 上一点，过 作 ，交 轴于 ，连接 ．
(1) 求证：；
(2) 若正方形边长为 ，且 ， 平分 交 于 ，过 作 于 ，求 的长；
(3) 如图 ， 为 轴上一点，， 为线段 上一动点，连 ，， 是线段 的中点，若 交 于 ，请问 的大小是否变化？若不改变，请求其值；若改变，求出变化的范围．
- （10分）如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ， 为抛物线的顶点，直线 轴于点 ， 是线段 上一点，，且 ．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 是抛物线上一点，且 是以 为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合条件的 点的坐标；
(3) 如图 ， 为线段 上一个动点，以 为等腰三角形顶角顶点， 为腰构造等腰 ，且 点落在直线 上，若在直线 上满足条件的 点有且只有一个时，求点 的坐标．
- （10分）如图，抛物线 经过点 和点 与 轴的另一交点为点 ，点 是直线 上一动点，过点 作 轴，交抛物线于点 ．
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 在抛物线上是否存在一点 ，使得 是等边三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 以 为圆心， 为半径作 ，当 与坐标轴相切时，求出 的半径．
答案
一、选择题（30分）
1. 【答案】C
【解析】由 ，得到 ，
或 ．
当 时，该三角形为以 为腰， 为底的等腰三角形．
高 ，
；
当 时，该三角形为以 和 为直角边， 为斜边的直角三角形．
．
．
【知识点】因式分解法
2. 【答案】D
【解析】如图，连接 ，
是 的切线，
．
，
．
，
【知识点】切线的性质
3. 【答案】D
【解析】由图象可知，当 时，直线 在直线直线 下方，且都在 轴下方，
当 时，，故选：D．
【知识点】一次函数与一次不等式的关系
4. 【答案】B
【知识点】频数分布直方图
5. 【答案】D
【解析】 是等边三角形，
，，
，
，
，，
线段 沿 翻折，得到线段 ，
，，，故②正确，
，故①正确，
垂直平分线段 ，
，，
，
，故③正确，
，，
，
，
是等边三角形，
，故④正确．
【知识点】边角边、等边三角形的判定
6. 【答案】C
【解析】设矩形 的面积为 ，
根据题意得：平行四边形 的面积 矩形 的面积 ，平行四边形 的面积 平行四边形 的面积 ，，
平行四边形 的面积 ，
平行四边形 的面积 ，
平行四边形 的面积为 ．
【知识点】用代数式表示规律
7. 【答案】D
【解析】 二次函数 的图象的开口向上，
二次函数 有最小值，故①错误；
观察函数图象可知二次函数 的图象关于直线 对称，故②正确；
当 时，二次函数 的值小于 ，故③错误；
当 或 时，抛物线在直线的上方，
的取值范围为： 或 ，故④正确．
【知识点】二次函数与不等式
8. 【答案】A
【解析】如图，作 于 ，连接 ．
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，故①正确；
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
在 中，
，，
，
，
，故②正确，
故选：A．
【知识点】斜边、直角边、解直角三角形
9. 【答案】C
【解析】【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长的关系即可．
【解析】解：设大圆的直径是．根据圆周长公式，得图中，需要2π；
图中，中间的三个小圆的直径之和是，所以需要2π．
故选：．
【点评】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径．
【知识点】圆的相关元素
10. 【答案】C
【解析】【分析】根据自变量的定义解答．
【解析】解：π中是自变量，是函数，π是常数．
故选：．
【点评】本题考查了常量与变量，设和是两个变量，是实数集的某个子集，若对于中的每个值，变量按照一定的法则有一个确定的值与之对应，称变量为变量的函数，记作；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
【知识点】常量、变量
二、填空题（28分）
11. 【答案】
【解析】设 ，
，
，
四边形 为矩形，
，
，
内角和为 ，
，
解得：，
即 ，
故答案为：．
【知识点】矩形的性质
12. 【答案】
【解析】设等腰直角三角形（甲）边长为 ，正方形（乙）边长为 ，则直角三角形（丙）两边长为 ，，
可得：，
则 ，
即两个等腰直角三角形的面积之和为 ，
故答案为：．
【知识点】三角形的面积
13. 【答案】
【知识点】测高
14. 【答案】 或 或
【知识点】二次函数与方程
15. 【答案】
【解析】 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
点 在以 为直径的半圆上移动，
如图，设 的中点为 ，
作正方形 关于直线 对称的正方形 ，
则点 的对应点是 ，
连接 交 于 ，交半圆 于 ，
则线段 的长即为 的长度最小值，
，，
，
，
，故 的长度最小值为 ．
【知识点】找动点，使距离之和最小、圆周角定理推论
16. 【答案】
【解析】连接 ，，，
可得 ，有 ，
，，，
，即 是等边三角形，
，．
，．
阴影部分的面积 ．
【知识点】扇形面积的计算
17. 【答案】1
【解析】【分析】由统计表可知总人数为52，得到中位数应为第26与第27个的平均数，而第26个数和第27个数都是1，即可确定出中位数为1．
【解析】解：由统计表可知共有：人，中位数应为第26与第27个的平均数，
而第26个数和第27个数都是1，则中位数是1．
故答案为：1．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．
【知识点】中位数
三、解答题（62分）
18. 【答案】
(1) ，．
(2) 不一定相等．
，
，
当 时，，
当 时，，
综上所述， 与 不一定相等．
【知识点】同底数幂的乘法
19. 【答案】
(1)
(2) 点 位于点 上时， 与 相似，此时点 的坐标为 ；
过点 作 的垂线交 的延长线于 ， 与 相似，此时点 的坐标为 ；
过点 作 的垂线交 的延长线于 ， 与 相似，此时点 的坐标为 ．
【知识点】综合判定、等腰梯形、基本定理
20. 【答案】①设 ，，
，
，
；
② ，设 ，
，，
．
【知识点】平面直角坐标系及点的坐标、坐标平面内图形的面积
21. 【答案】作法：如图．
①以点 为圆心， 长为半径画弧，分别交 的两边于点 ，；
②画一条射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；
③以点 为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ；
④画射线 ；
⑤以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；
⑥连接 ，则 即为所求作的三角形．
【知识点】作全等三角形
22. 【答案】
(1) 如图 ，过点 作 交于 ．
在 中，，
，且 ，
，，
在 中，，
；
在 中，，
，
，
，
．
(2) 如图 ，作 关于直线 对称， 的对称点为 ，
则四边形 是正方形，连接 ，，此时 ．
的周长最小，
易得 ，，
则 ，
的周长的最小值为 ．
(3) 如图 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ．
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，， 三点共线，
，
在 中，，
，
在等腰直角三角形 中，，
．
【知识点】30度所对的直角边等于斜边的一半、找动点，使距离之和最小、勾股定理、旋转及其性质、等腰直角三角形
23. 【答案】
(1) 四边形 是正方形，
， 平分 ，．
，
，
，
，
，
即 ．
在 和 中，
；
(2) 正方形边长为 ，，
，，
，
，
，
， 的面积 ，
作 于 ，作 于 ，连接 ，如图 所示：
于 ， 平分 ， 平分 ，
，设 ，
则 的面积 的面积 的面积 的面积 ，
即 ，
解得：，
；
(3) 的大小不变，，
如图，延长 交 于 ，作 于 ， 于 ，
四边形 是正方形，
．
，．
是 的中点，
．
在 和 中，
，
．
，
．
在 和 中，
，
．
，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
，
．
，
四边形 是正方形，
，，．
在 和 中，
，
，．
，
．
，
，
即 ．
，
是等腰直角三角形．
，
的大小不变，．
【知识点】正方形的性质、勾股定理、角边角、等腰直角三角形的判定、角角边、有一个角是直角的菱形、斜边、直角边、一般三角形面积公式
24. 【答案】
(1) 抛物线 ， 为抛物线的顶点，
．
，，
．
，即 ．
．
代入解析式得：．
(2) i）当 时，作 交抛物线于 ， 交 轴于 ．
得，，得 ，
，
，
直线 为：，
联立：
得：，．
ii）当 时，
求得直线 为：，
同理可求 ．
(3) 作 ，当 时，点 满足题意，
设 ．
则在 中，
．
，
直线 为：．
．
．
．
．
解得 或 ，（舍）
．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
25. 【答案】
(1) 把点 和点 代入 ，
得： 解得：
抛物线的解析式为：．
(2) 不存在，理由如下：
①当点 在 轴右边时，如图 所示：
假设 为等边三角形，过点 作 于 ，
点 ，
，则 ，，
，
，
把 代入 ，
得：，
假设不成立，
当点 在 轴右边时，不存在 为等边三角形；
②当点 在 轴的左边时，如图 所示：
假设 为等边三角形，过点 作 于 ，
点 ，
，则 ，，
，
，
把 代入 ，
得：，
假设不成立，
当点 在 轴左边时，不存在 为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点 ，使得 是等边三角形．
(3) 令 ，解得：，，
，
设 直线的解析式为：，
把 ， 的坐标代入，则 解得：
直线的解析式为：，
当 在线段 上， 与 轴相切时，
如图 所示：延长 交 于点 ，
则点 为 与 轴的切点，即 ，
设 ，，
则 ，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的半径为：；
当 在线段 上， 与 轴相切时，如图 所示：
延长 交 于点 ，过点 作 轴于 ，
则点 为 与 轴的切点，即 ，，
设 ，，
则 ，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的半径为：；
当 在 延长线， 与 轴相切时，
如图 所示：点 与 重合，
的横坐标为 ，
的半径为： 的纵坐标的值，即：；
当 在 延长线， 与 轴相切时，如图 所示：
延长 交 轴于 ，过点 作 轴于 ，
则点 为 与 轴的切点，即 ，，
设 ，，
则 ，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的半径为：．
综上所述， 的半径为 或 或 或 ．
【知识点】切线的性质、y=ax^2+bx+c的图象、二次函数与方程、解直角三角形、等边三角形的判定、二次函数的解析式
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