高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算优质教学设计及反思

7.2.2　复数的乘除运算

[学习目标]　1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.

知识点一　复数的乘法

1.复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

2.复数乘法的运算律

对任意复数z1、z2、z3∈C，有

思考　写出下列各题的计算结果.

(1)(a±b)2＝        ；

(2)(3a＋2b)(3a－2b)＝        ；

(3)(3a＋2b)(－a－3b)＝        .

答案　(1)a2±2ab＋b2；(2)9a2－4b2；

(3)－3a2－11ab－6b2.

知识点二　共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示.即z＝a＋bi，则＝a－bi.

思考　判断.

(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(　　)

(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　)

(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.(　　)

(4)在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

知识点三　复数的除法

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

则＝＝＝＋i.

思考　写出下列各题的计算结果.

(1)＝        .

(2)＝        .

(3)＝        .

答案　(1)－i；(2)i；(3)－i.

题型一　复数乘除法的运算

例1　计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.

解　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；

(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.

反思与感悟　(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.

(2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a＋bi和a－bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.

跟踪训练1　计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；

(2)(3＋4i)(3－4i)；

(3)(1＋i)2.

解　(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)

＝－20＋15i；

(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；

(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.

例2　计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；

(2)6＋.

解　(1)(1＋2i)÷(3－4i)＝＝

＝＝－＋i；

(2)原式＝6＋

＝i6＋＝－1＋i.

反思与感悟　复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).

跟踪训练2　计算：(1)；(2).

解　(1)＝＝＝1－i；

(2)＝＝＝－1－3i.

题型二　共轭复数及应用

例3　若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z).

解　因为f(z)＝2z＋－3i，

所以f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i

＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i.

又f(＋i)＝6－3i，

所以2＋z－2i＝6－3i.

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，

所以2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，

即3a－bi＝6－i.

由复数相等的定义，得

解得

所以z＝2＋i，

故f(－z)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.

反思与感悟　共轭复数有如下几个性质：

(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2.

(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数.

(3)若z≠0，且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可以证明一个复数是纯虚数.

(4)若干个复数进行加减运算后的共轭复数等于这些复数的共轭复数进行相同的加减运算.

跟踪训练3　已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i.

解　将z·－3i＝1＋3i，①

两边取共轭复数，得·z＋3iz＝1－3i，②

②－①得＝－2－z，代入①得z2＋(2－3i)z＋1－3i＝0，即(z＋1)(z＋1－3i)＝0，∴z＝－1或z＝－1＋3i.

复数运算的应用

复数的运算在复数开平方运算和分解因式中有广泛应用，下面通过具体的实例加以说明.

1.求复数的平方根

复数z＝a＋bi开平方，只要令其平方根为x＋yi，利用平方根的定义，以及复数相等的充要条件，即可求出未知量，从而得到复数z的平方根.

例4　求8－6i的平方根.

解　设8－6i的平方根为x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)2＝8－6i，即(x2－y2)＋2xyi＝8－6i，由复数相等的充要条件，得解得或则8－6i的平方根为3－i或－3＋i.

2.分解因式

由于a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，则很多在实数集内不能分解的因式在复数集内可分解因式.

例5　分解因式：(1)x2＋2xy＋y2＋z2；(2)x4－81.

解　(1)x2＋2xy＋y2＋z2＝(x＋y)2＋z2

＝(x＋y＋zi)(x＋y－zi)；

(2)x4－81＝(x2＋9)(x2－9)

＝(x＋3i)(x－3i)(x＋3)(x－3).

1.设a是实数，且＋是实数，则a等于(　　)

A.  B.1  C.  D.2

答案　B

解析　∵＋＝＋＝＋i，

又∵∈R，∴＝0，解得a＝1.

2.复数的共轭复数为(　　)

A.3＋4i   B.3－4i

C.＋i   D.－i

答案　C

解析　的共轭复数为＝＝＝＋i.

3.设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部等于        .

答案　1

解析　∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i，∴虚部为1.

4.若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数＝        .

答案　i

解析　∵z＝＝＝－i，∴＝i.

5.计算：28＋(10＋i29)－.

解　原式＝14＋10＋i29

－

＝(－i)14＋10＋i－

＝－1＋10＋i＋i＝9＋2i.

利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式.

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝，据此可将问题实数化，同时根据模的几何意义可将问题转化为平面解析几何问题，如点的轨迹问题.

一、选择题

1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)

A.－i   B.i

C.－1   D.1

答案　A

解析　z＝＝－i.

2.i为虚数单位，＋＋＋等于(　　)

A.0  B.2i  C.－2i  D.4i

答案　A

解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0.

3.已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z等于(　　)

A.－3＋4i   B.－3－4i

C.3＋4i   D.3－4i

答案　D

解析　方法一　由(3＋4i)z＝25，

得z＝＝＝3－4i.

方法二　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即3a－4b＋(4a＋3b)i＝25，所以解得故z＝3－4i.

4.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

答案　B

解析　＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限.

5.i是虚数单位，等于(　　)

A.－i   B.＋i

C.＋i   D.－i

答案　B

解析　＝＝＝＋i.

6.已知复数z1＝2－3i，z2＝，则等于(　　)

A.－4＋3i   B.3＋4i

C.3－4i   D.4－3i

答案　D

解析　＝＝＝＝4－3i.

二、填空题

7.设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是        .

答案　1

解析　由i(z＋1)＝－3＋2i得，z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.

8.已知z是纯虚数，是实数，那么z＝        .

答案　－2i

解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.

9.复数z＝－，则1＋z＋z2＝        .

答案　0

解析　z＝－＝＝－

＝－＋i.∴1＋z＋z2＝1－＋i＋2＝1－＋i＋＝0.

10.若z∈C，ω＝为纯虚数，则|z|的值为      .

答案　

解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则ω＝＝＝，∵ω是纯虚数，

∴∴x2＋y2＝(y≠0)，故|z|＝＝.

三、解答题

11.计算.

解　方法一　原式＝

＝＝＝1.

方法二　原式

＝

＝

＝＝＝1.

方法三　原式

＝

＝＝＝1.

12.已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值.

解　由z＝，

得z＝＝＝1－i，

又z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，

∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1.

13.已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.

解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①

因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，

所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②

由①②联立，解得或

所以＝－i，或＝－＋i.