多维层次练17-利用导数证明不等式（全国百强重点中学复习资料，含答案解析）-新高考学案

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(1)求a的值；
(2)求证：当0eq \f(1,2)x.
(1)解：f′(x)＝2ax－ln x－1－eq \f(1,x)，
由题意，可得f′(1)＝2a－2＝0，所以a＝1.
(2)证明：由(1)得f(x)＝x2－(x＋1)ln x，
要证当0eq \f(1,2)x，
只需证当0eq \f(1,2)，
即x－ln x>eq \f(ln x,x)＋eq \f(1,2).
令g(x)＝x－ln x，h(x)＝eq \f(ln x,x)＋eq \f(1,2)，
令g′(x)＝1－eq \f(1,x)＝0，得x＝1，
易知g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，
故当0eq \f(2（x1－x2）,x1＋x2).
令eq \f(x1,x2)＝t，则t>1，即证ln t>eq \f(2（t－1）,t＋1).
令h(t)＝ln t－eq \f(2（t－1）,t＋1)(t>1)，则h′(t)＝eq \f(1,t)－eq \f(4,（t＋1）2)＝eq \f(（t－1）2,t（t＋1）2)>0.所以函数h(t)在(1，＋∞)上是增函数，
所以h(t)>ln 1－eq \f(2×（1－1）,1＋1)＝0，即ln t>eq \f(2（t－1）,t＋1)得证．
所以x1·x2>e2.
6．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝sin2 x sin 2x.
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性．
(2)证明：|f(x)|≤eq \f(3\r(3),8)；
(3)设n∈N*，证明：sin2x sin22x sin24x…sin22nx≤eq \f(3n,4n).
(1)解：f′(x)＝cs x(sin xsin 2x)＋sin x(sin xsin 2x)′＝2sin xcs xsin 2x＋2sin2xcs 2x＝2sin xsin 3x.
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))时，f′(x)>0；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))时，f′(x)