人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质第1课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质第1课时学案，共10页。
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
2.若从二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A.相等
B.互补
C.互余
D.无法确定
3.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有3对.
5.如图所示,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=12AD,求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小.
6.如图所示,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值___.
7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,
∠ACB=90°,AC=12AA1,D是棱AA1的中点.
证明:平面BDC1⊥平面BDC.
8.如图所示,几何体是某圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是 FD 的中点.
(1)设P是 EC 上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
9.实际应用问题如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了.
10.探索性问题如图所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,
AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+3,过点A作AE⊥CD,垂足为E.现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
(1)求证:BC⊥平面CDE.
(2)在线段AE上是否存在一点R,使得平面BDR⊥平面BDC,若存在,求出点R的位置;若不存在,请说明理由.
第八章 立体几何初步
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β.因为m⊂α,由面面垂直的判定定理,所以α⊥β.
答案:C
2.若从二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A.相等
B.互补
C.互余
D.无法确定
解析:如图所示,BD,CD分别为AB,AC所在平面与α,β的交线,
则∠BDC为二面角α-l-β的平面角,且∠ABD=∠ACD=90°,
所以∠A+∠BDC=180°.
答案:B
3.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
解析:因为BC⊥AD,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.
答案:D
4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有3对.
解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.
5.如图所示,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=12AD,求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小.
解:因为AC⊥平面 BCD,BD⊂平面 BCD,
所以BD⊥AC.
因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面 ACD.
因为AD⊂平面 ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
在Rt△ACD中,AC=12AD,所以∠ADC=30°,
所以平面ABD与平面BCD所成的二面角为30°.
6.如图所示,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是34.
解析:如图所示,作AO⊥β于点O,过点O作OC⊥l于点C,连接OB,AC,由线面垂直、线线垂直可得AC⊥l.设AB与β所成的角为θ,
则∠ABO=θ, 所以sin θ=AOAB=ACAB·AOAC=sin 30°·sin 60°=34.
7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,
∠ACB=90°,AC=12AA1,D是棱AA1的中点.
证明:平面BDC1⊥平面BDC.
证明:由题设知,BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
因为DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.
由题意知,∠A1DC1=∠ADC=45°,
所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.
因为DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.
因为DC1⊂平面BDC1,
所以平面BDC1⊥平面BDC.
8.如图所示,几何体是某圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是 FD 的中点.
(1)设P是 EC 上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
解:(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB⊂平面ABP,AP⊂平面ABP,
AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.因为BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP.
因为∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.
(2)如图所示,取 EC 的中点H,连接EH,GH,CH.
取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,
所以∠EMC为所求二面角的平面角.
因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,
所以AE=GE=AC=GC=32+22=13.
因为AM=1,所以EM=CM=13-1=23.
在△BEC中,∠EBC=120°,
由余弦定理,得EC2=22+22-2×2×2×cs 120°=12,
所以EC=23=EM=CM,所以△EMC为等边三角形,
所以所求二面角为60°.
9.实际应用问题如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了面面垂直的判定定理.
解析:如图所示,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊂β,OC⊂β,且OB∩OC=O,根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β.由OA⊂α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.
10.探索性问题如图所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,
AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+3,过点A作AE⊥CD,垂足为E.现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
(1)求证:BC⊥平面CDE.
(2)在线段AE上是否存在一点R,使得平面BDR⊥平面BDC,若存在,求出点R的位置;若不存在,请说明理由.
(1)证明:因为AE⊥CD,所以AE⊥CE,AE⊥DE.
因为CE∩DE=E,所以AE⊥平面CDE.
由已知易得AE∥BC,所以BC⊥平面CDE.
(2)解:存在,当点R满足AR=14AE时,平面BDR⊥平面BDC.
理由:如图所示,过点E作EF⊥CD交CD于点F,
易得CF=14CD.
由(1)可知BC⊥平面CDE,则BC⊥EF,
所以EF⊥平面BCD.
过点F作FG∥BC交BD于点G,连接GR,
则FG=34BC.
因为AR=14AE,且BC∥AE,
所以四边形EFGR是平行四边形,
所以EF∥GR,
所以GR⊥平面BCD.
因为GR⊂平面BDR,
所以平面BDR⊥平面BDC.