初中数学苏科版九年级上册1.2 一元二次方程的解法随堂练习题

苏科版九年级数学上册靶向培优训练

1.2一元二次方程的解法公式法

一、选择题

1．观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是

A.  B.  C.  D.

2．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有     个；

方程是倍根方程；

若是倍根方程，则；

若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；

若方程是倍根方程，则必有．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数的图象上的“好点”共有   

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，斜边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点，，，均在反比例函数的图象上，则的值为

A.  B. 6 C.  D.

5．如图，把一个长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置，且交恰好过BC的中点若，，则   

A.  B.  C.  D.

6．一元二次方程的两个实数根中较大的根是

A.  B.  C.  D.

二、填空题

7．用公式法解方程，其中          ，方程的根          ，          ．

8．如果，则的值是______ ．

9．若，则的值为______．

10．若实数x、y满足，则__________．

11．定义新运算“”   或者如，若的根为、，则的值为：_________________．

12．李伟同学在解关于x的一元二次方程时，误将看作，结果解得，，则原方程的解为______．

三、计算题

13．用合适的方法解下列方程：

                  ．

14．解下列方程：

；               ．

15．用适当的方法解下列方程：

                             ．

四、解答题

16．已知关于x的一元二次方程．

若方程有一根为1，则________；

当时，求出方程的根；

若方程无实数根，试确定a的取值范围．

17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．

求这两个函数的表达式；

在x轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．

18．我们知道，配方法是解一元二次方程的一种方法，其实质就是将一元二次方程由一般式化成，然后利用直接开平方法求一元二次方程的解的过程，公式法中用到的求根公式也可由此方法得到．配方法是把一个代数式变成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式的形式，这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用．

【例】

已知a，b为任意实数，

即对于任意实数a，b，总有，且当时代数式取得最小值为2ab，仿照上面的方法，对于正数a，b，试比较和的大小关系．

【类比应用】

运用上面的结论，完成填空：

______，此时代数式有最______值为______

当时，______，此时代数式有最______值为______

当时，代数式有最______值为______

【问题解决】

若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？

【参考答案】

一、选择题

1．B

【解析】解：，

，

，

，

，，

，

，

，

即一元二次方程的一个解x所在的范围是．

故选：B．

根据公式法求出方程的解，进一步根据，依此即可求出一元二次方程的一个解x所在的范围．

考查了解一元二次方程公式法，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值注意符号；求出的值若，方程无实数根；在的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：；．

2．C

【解析】

【分析】

本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．

求出方程的解，再判断是否为倍根方程，

根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，

当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，

用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．

【解答】

解：解方程得，，，得，，

方程不是倍根方程；

故不正确；

若是倍根方程，，

因此或，

当时，，

当时，，

，

故正确；

，则：，

，，

，

因此是倍根方程，

故正确；

方程的根为：，，

若，则，，

即，

，

，

，

．

若时，则，，

则，

，

，

，

，

．

故正确，

正确的有：共3个．

故选C

3．C

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分及两种情况，找出关于x的一元二次方程是解题的关键．分及两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】

解：当时，，

解得：不合题意，舍去，；

当时，，

解得：，．

函数的图象上的“好点”共有3个．

故选C．

4．A

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的性质，依次设反比例函数图象上各点的纵坐标，表示横坐标，代入反比例函数解析式求解，发现规律，

分别过、、作x轴的垂线，垂足为、、，则，，为等腰直角三角形，根据、、上点的横坐标与纵坐标的积为4，分别求各点的横坐标的值和纵坐标的值，发现规律．

【解答】

解：分别过、、作x轴的垂线，垂足为、、，

则，，为等腰直角三角形，

设，则，

解得舍去负值，即的横坐标为2，纵坐标为2，

设，则，

解得舍去负值，即的横坐标为，的纵坐标为，

设，则，即，

解得舍去负值，即的横坐标为，的纵坐标为，

同理：，

．

故选A．

5．B

【解析】

【分析】 

本题考查矩形的性质，折叠与对称，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，

先根据平角的定义计算出，再根据折叠的性质得和平行线的性质求得，再根据含30度角的直角三角形的性质，设，则，，在中，由勾股定理得方程，解方程即可解答．

【解答】

解：，

，

长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置，

，

．

，

，，

，

长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置，

，

，．

，

点O是BC中点，，

，

设，

则，，

在中，

由勾股定理得：，

，

解得：，舍去

．

故选B．

6．B

【解析】解：一元二次方程中，，，，

，

，

，

一元二次方程的两个实数根中较大的根是．

故选B．

利用公式求得方程的两个根，然后找出较大的根即可．

本题考查了解一元二次方程公式法，熟记求根公式即可解答该题．

二、填空题

7．4；  ； 

【解析】

【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，主要考查学生的计算能力先移项，根据，，代入求出即可，最后代入公式求出即可．

【解答】解：将化为一般形式，得，

所以，，，

所以，

所以，所以，．

故答案为4；  ；  ．

8．

【解析】解：方程，

解得：，

故答案为：

把看做一个整体，利用公式法求出的值即可．

此题考查了解分式方程，熟练掌握解一元二次方程的法则是解本题的关键．

9．

【解析】解：，

，

令，

，

，

，

，

故答案为：．

根据换元法以及一元二次方程的解法即可求出答案．

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．

10．3

【解析】

【分析】

本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点设，将原方程变为，解出m的值即可．

【解答】

解：设，

则可得，

即，

或，

解得或3，

，

．

故答案为3．

11．或11

【解析】

【分析】

本题考查了运用公式法解一元二次方程，注意定义运算规则里的两种情况．关键是理解或者的规则  根据公式法求得一元二次方程的两个根，然后根据新运算规则计算的值即可．

【解答】

解：解方程，

，

，或，，

或者，

当时，；

当时，

．

故答案为或11．

12．，

【解析】解：由题意得：的解为，，

可得，

方程为，

分解因式得：，

解得：，．

故答案为：，．

将错就错把看做，把方程的解代入求出m的值，进而确定出正确的解．

此题考查了解一元二次方程公式法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

三、计算题

13．解：因式分解，得，

于是得或，

，．

方程两边同除以2，得，

于是得，

，．

，，，

，

方程有两个不相等的实数根

，

，．

移项，得，

因式分解，得，

于是得或，

，．

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程．

利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解；

将原方程转化为的形式，然后直接开平方法进行解答；

利用公式法解答；

先移项得到，然后利用因式分解法解方程．

14．解：，

，

，

，．

，

，，，

则，

，

即，．

【解析】利用直接开平方法求解即可；

利用公式法求解即可．

本题考查了解一元二次方程中的公式法和直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

15．解：配方，得，

，

，；

这里，，，

，

，

解得：，．

【解析】方程整理后，利用配方法求出解即可；

找出a，b，c的值，代入求根公式求出解即可．

此题考查了解一元二次方程公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

四、解答题

16．解：

当时，方程为，

，，，

，

解得，

即，．

无实数根，

．

．

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程的解、解一元二次方程及根的判别式．

利用方程的解的定义代入可得a的方程，解方程即可；

把a的值代入利用公式法解方程即可；

根据一元二次方程根的判别式可得a的不等式，解不等式即可．

【解答】

解：方程有一根为1，

，

解得，

故答案为8；

见答案；

见答案．

17．解：把代入，得到，

反比例函数的解析式为．

在上，

，

由题意，解得，

一次函数的解析式为．

，，

，

当时，，

，

，

不合题意舍弃．

当时，，

，

．

当时，，

，

．

综上所述，或．

【解析】本题考查反比例函数综合题．一次函数的性质、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

利用待定系数法即可解决问题；

分三种情形讨论当时，可得当时，可得当时，可得分别解方程即可解决问题；

18．2；小；2；6；小；6；小；3；

【解析】解：类比应用：

，代数式有最小值为2．

故答案为：2；小；2．

结合探究方法中得出的结论可知：

当时，，代数式有最小值为6．

故答案为：6；小；6．

结合探究方法中得出的结论可知：

当时，，代数式有最小值为3．

故答案为：小；3．

问题解决：

设该矩形的长为a，宽为，

根据题意知：周长，且当时，代数式取得最小值为，

此时．

故若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为．

类比应用：根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；

根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；

将代数式化简为，根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；

问题解决：设该矩形的长为a，宽为，根据，结合矩形的周长和面积公式，即可得出结论．

本题考查了矩形的面积公式、矩形的周长公式以及完全平方式的展开式，解题的关键：类比应用结合前面得出的结论套入数据；问题解决利用前面结论找出周长的最值．本题属于中档题，难度不大，由于本题篇幅较长，孩子们很难耐下心来细读，其实像这样的阅读形题，只要读懂题意仿照例题给定方法，套入数据即可得出结论，为此应加强这方面的练习．