九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法习题

苏科版九年级数学上册靶向培优训练

1.2一元二次方程的解法直接开平方法

一、选择题

1．若一次函数的图像经过点，则关于x的方程实数根为

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数“i”，使其满足即方程有一个根为并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，从而对于任何正整数n，我们可以得到，同理可得，，那么的值为   

A. 0 B. 1 C.  D. i

3．方程的根是   

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有

；；；；；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5．关于x的方程无实数根，那么m满足的条件是   

A.  B.  C.  D.

6．若a，b分别为方程和的正实数根，则的值为   

A. 13 B. 7 C.  D.

二、填空题

7．如果是方程的一个根，那么m的值为________，另一个根为____________________．

8．一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个方程是，则另一个一次方程是________________．

9．若，则___________．

10．对于任意实数p、q，我们用符号表示p、q两数中较小的数，如，若，则_________．

11．对于实数a，b，先定义一种新运算“”如下：若，则实数      ．

12．完成下面的解题过程：

解方程：；

解：原方程化成____________．

开平方，得____________．

则____________，____________；

解方程：．

解：原方程化成____________．

开平方，得____________．

则____________，____________．

三、计算题

13．利用直接开平方法解方程：．

四、解答题

14．用直接开平方法解下列方程：

；

；

；

．

15．用直接开平方法解方程：

；

；

；

．

16．用直接开平方法解一元二次方程：

．

解：移项，得，

直接开平方，得，

上述解题过程是从第______步开始出现错误的，原因是___________________，请写出正确的解答过程．

17．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：

    如：解方程．

    解：原方程可变形，得：．

    ，，

    直接开平方并整理，得，我们称小明这种解法为“平均数法”．

下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．

    解：原方程可变形，得：．

    ，．

    直接开平方并整理，得，．

    上述过程中的__________、___________、___________、___________．

请用“平均数法”解方程：．

【参考答案】

一、选择题

1．C

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，正确的理解题意是解题的关键．根据一次函数的图像经过点，把点代入，求出k的值，可得一元二次方程为，再解方程即可．

【解答】

解：一次函数的图像经过点，

，

，

关于x的方程为：，

解得：，．

故选C．  

2．D

【解析】

【分析】

本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．，，，，，，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．

【解析】

解：由题意得，，，，，，，

故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，

，

．

故选D．  

3．B

【解析】略

4．D

【解析】解：都是或可变形为；b同号且；；，而这四种形式都可用直接开平方法，

故选：D．

直接开平方法必须具备两个条件：

方程的左边是一个完全平方式；右边是非负数．根据这两个条件即可作出判断．

需要同学们注意，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；b同号且；；c同号且．

5．C

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数．

方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于m的不等式，求解不等式即可．

【解答】

解：当时，方程无解．

即．

故选C．

6．B

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的解和直接开平方法解一元二次方程．本题逆用一元二次方程解的定义易得出a、b的值，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．根据题意，解出方程和的解，然后根据已知条件“且a、b都是正数”求得a、b的值，将其代入并求值．

【解答】

解：由，得

，

为方程的一根，且a、是正数，

；

由，得

，

为方程的一根，且b是正数，

；

；

故选B．  

二、填空题

7．0；1

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．根据一元二次方程的解的定义将代入方程，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值，再将m的值代入方程，再解方程即可得到方程的另一个根．

【解答】

解：是方程的一个根，

满足方程，

，

解得．

将代入方程得，         

解得，

则方程的另一个根为1．

故答案是：0；1．  

8．

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的解法．

本题运用的是直接开平方法．本题可对方程直接开方．一个数开平方后有正负两种情况，由此可知本题的答案． 

【解答】

解：依题意得：，则另一个方程为，

故答案为．

9．13

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次方程的解法把看成一个整体，直接用开平方法解答．

【解答】

解：．

．

舍去，．

故答案为13．

10．2或

【解析】

【分析】

此题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意先理解题意，进而可得时再分情况讨论，当时，时和时，进而可得答案．

【解答】

解：，当时，，不可能得出最小值为1；

当时，，则，，

解得：，不合题意，舍去；

当时，，则，解得：不合题意，舍去，；

故答案为2或．  

11．2或

【解析】当时，，即，解得或舍去．

当时，，即，解得．

综上所述，m的值为2或．

12．；；2；；

；；；．

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查的是直接开平方法解一元二次方程的有关知识．

先将给出的方程进行变形，然后开平方求解即可；

先将给出的方程进行变形，然后开平方求解即可．

【解答】

解：解方程：；

解：原方程化成，

开平方，得．

则，；

故答案为；；2；；

解方程：．

解：原方程化成．

开平方，得．

则，．

故答案为；；；．  

三、计算题

13．解：，

，

解得，．

【解析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．两边同时除以2得到，然后利用直接开平方法解方程．

四、解答题

14．解：，

，

，；

，

，

则，

，

则，；

，

，

则，

；

，

，

则或，

解得，．

【解析】利用直接开平方法求解可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

15．解：，

，

解得，；

，

，

则，

，

，；

，

，

则，

，即，；

．

或，

解得，．

【解析】利用直接开平方法求解可得；

利用直接开平方法求解可得；

先整理成，再直接开平方可得；

利用直接开平方法求解可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

16．；漏掉了一种情况．

正确的解答过程如下：

移项，得，

直接开平方，得，

即或．

．

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查了开平方法解一元二次方程．熟练掌握开平方法解一元二次方程即可解答本题．直接开平方得，即或，进一步求得答案．

【解答】

解：正确的解答过程如下：

移项，得，

直接开平方，得，

即或．

．

故答案为；漏掉了一种情况．

17．解：

；2；；；

原方程可变形，得：

，

，

，

，．

【解析】

【分析】

此题考查了“平均数法”解一元二次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．

根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；

利用“平均数法”解方程即可．

【解答】

解：原方程可变形，得：．

，

．

直接开平方并整理，得．，．

上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、2、、，

故答案为5；2；；．

见答案．