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人教版14.2.1 平方差公式教案设计
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这是一份人教版14.2.1 平方差公式教案设计，共13页。
[教学设计思路]
本节课的整个教学程序是这样的：首先，学生通过复习计算，发现平方差公式的计算规律，进而产生应用的愿望。通过对规律验证过程的体验，使学生进一步的认识到数学学科的严谨性与科学性，体会数学来源于实践，又应用于实践的道理。在公式的应用过程中，学生们将遇到挑战，转化思想、整体化思想在这里成为解题的关键。在教师的引导下，学生开始尝试对研究的问题进行转化，开展自主探究。同时，教师适当介入，并引导学生发现解决这个问题的关键是把握知识的本质——公式的结构。在练习中采取分层测试的方式，使得不同的学生都有所收获，有效的维护学生的求知欲与自信心。总之，整个教学过程围绕着 “实践中观察、发现——产生猜想——验证猜想——获得新知——实践应用” 这一过程展开的。
一、教材分析（本课在教材中的地位、作用和意义）：
乘法公式实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数学运算中经常用到，就把它们作为公式。《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，体现教材从一般到特殊的意图，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.教材为学生在教学活动中获得数学的思想方法、能力、素质提供了良好的契机，对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。因此，平方差公式在教材中有承上启下的作用，它对培养学生符号感和抽象概括能力有着重要的作用，同时，在利用公式过程中，所反映出的转化思想、整体化思想以及应用意识，都将对学生产生潜移默化的影响，对提高学生的数学素养有着积极的作用。
因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式，也是最基本、用途最广泛的公式之一，可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归、换元、整体的数学思想方法的重要载体，让学生感受数学的再创造性。是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应技能的重要内容。
二、学情分析：
1．学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感．经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力．学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能．通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，培养学生具有独立探索、合作交流的习惯．
2．学生活动经验基础：学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号及漏项等问题，学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解，当公式中a、b是式时，要把它括号再平方。 因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，让学生经历“引入→形式→理解→应用→深化公式”的知识发生过程，并有条理地表达自己的思想，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。
经过一段时间的整式学习，学生们基本上掌握了多项式的乘法的方法，进一步学习它的特殊形式——公式，是激发学生求知欲的良好时机。公式的出现，为学生在繁琐的运算中辟出了一条新路。
教法与学法：
（一）教法分析
1、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解。
2、采用启发式、探索式教学方法,整个探究学习的过程充满了师生之间、学生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者，而学生才是学习的主体。以创设情境激发学生的兴趣；合作探究得出公式，领会公式的结构特征；多媒体演示及讨论理解几何意义，达到形象直观化的视觉效果以突破难点，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。
(二)学法分析
在教学中引导学生观察、分析多项式乘法及其结果的基础上，逐步完成平方差公式的符号语言、文字语言和图形语言的互化，领会一般到特殊的研究数学问题的方法，最终能正确运用公式，从而落实重点。学生积极参与、大胆猜想、自主探索和合作交流。
平方差公式教学设计
【课题】 14.2.1 平方差公式
【教材】 人教版八年级数学上册
【课时安排】 2个课时.
【教学对象】 八年级（上）学生.
【授课教师】 湖北省赤壁市车站学校 李道生
一、教学目标
1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在计算的过程中发现规律，掌握平方差公式的结构特征，并能用符号表达，体验符号运算对证明猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美，从而体会数学语言的简洁美,培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦.培养学生的建模思想和抽象思维能力，感受换元和化归的思想。
2、理解平方差公式的结构特征与本质特征----形变质不变，即“结构特征的不变性，字母形式的可变性”；掌握平方差公式：(a+b) (a-b)＝ a2-b2，达到正用公式的水平，形成正向产生式：
“﹙□+△﹚﹙□– △﹚”→“□2 – △2”.
在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.通过练习渗透数学中的“整体思想”与“配凑思想”，提高同学们解决问题的能力。
3、在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法，体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值。
二、教学重点和难点
重点：经历探索并归纳平方差公式的过程，理解公式的本质和结构特征，能用自己的语言说明公式及其特点，灵活运用平方差公式进行简单的运算。
难点：1.利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，从实际中抽象出字母符号式子的符号化的过程，发展观察、归纳、概括等能力。
2.平方差公式的本质：形变质不变，即“结构特征的不变性，字母形式的可变性”(强调平方差公式的本质，即结构特征的不变性，字母形式的可变性；指出学习此公式的用途；通过问题进一步化解‚结构的不变性，字母的可变性‛这一难点，并为下一节内容的学习埋下伏笔)
3.理解公式中字母的广泛含义
(预计学生学习上的困难：（1）对于平方差公式（a+b）（a-b）= a2-b2，引入是为了简化多项式乘法，没有这种认识之前，学生对左右两边都是多项式的“公式”还不认可，这会增加教学的困难.（2）数学公式都有其产生的背景、引入的目的、形成的过程和自身的结构特征，这些教材上是无法一一阐述的.我们教学时往往不去刻意创设学习情景，营造公式产生的氛围，引导学生经历公式的探索过程，而是照本宣科，生搬硬套，过于直接的教学不利于化解难点.（3）数学公式中字母的高度概括性、广泛应用性及换元思想的渗透，对八年级学生的思维水平还难适应，（a+b）（a-b）= a2-b2；（1+2x）（1-2x）= 1-4x2；（-4a-1）（4a-1）=1-16a2 都是用平方差公式，102×98也能用平方差公式，使得习惯于机械模仿和解题程序化的学生思维受阻，造成困难.
基于以上情况，我们把教学难点定为：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，从实际中抽象出字母符号式子的符号化的过程，发展观察、归纳、概括等能力)
关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键． 教学方法 采用“情境──探究──猜想──归纳──验证──应用──拓展”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差.
三、教学过程
1.创设情境，导入课题
（1）速算王比拼：智力抢答
1. 21×19 2.103×97
3. 26×24 4. 55×45 5. 32×28
大家都在笔算，但有人能一口清，快速心算出来，他是用什么方法心算的呢？
（通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课）
2. 探索新知，尝试发现
问题1：这一组算式有什么共同特征，你能用统一的形式表示吗？
【生】这里的两个数相加都是整十或整百的数（21+19=40；103+97=200；26+24 =），都可以表示成两数和乘以这两数差的形式：（20+1）（20-1）；（100+3）（100-3）；（25+1）（25-1）；（50+5）（50-5）；（30+2）（30-2）
问题2：如果我们用字母表示这两个数，比如用字母a，b分别表示这两个数，那么以上各个算式，可以用字母表示成什么形式？
【生】（a+b）（a-b）
【师】这是两个二项式相乘的形式，利用多项式乘法法则，大家计算一下，结果是什么形式？
【生】（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2
【师】根据上面用字母a，b表示的算式的一般形式右边的结果，大家再回过头来，计算上面的智力抢答题：
【生】1. 21×19=（20+1）（20-1）=202-12=399 ； 2.103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991 ；3. 26×24=（25+1）（25-1）=252-12=624 ； 4. 55×45（=50+5）（50-5）=502-52=2475 ； 5. 32×28=（30+2）（30-2）=302-22=896
3.数形结合，几何说理
问题3：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明（a+b）（a-b）=a2-b2的正确性吗？
如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形。
（1）图中的阴影部分（即余下部分）的面积是__________
［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).
（2）你能否将阴影部分拼成一个完整的长方形图案吗？
［生］把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b)，(a－b)，面积为(a+b)(a－b).
（3）比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？
［生］割补不改变图形面积的大小,这两部分面积应该是相等的，即
(a+b)(a－b)=a2－b2.
观察思考，发现新知
问题4：观察等式(a+b)(a－b)=a2－b2的形式，你看到了什么？
引导学生进行观察，可介绍观察的方法：有序观察，局部观察（把握细节），整体观察（抓住关键），如从左到右的顺序，观察汉字“明”，可看到日与月，它们组成汉字“明”
［生］（1）看到等式出现两数和，两数差，两个数的平方差，两数和乘以两数差，及它们之间的相等关系，等式的左右两边都是围绕着两个数展开运算的。
（2）看到计算结果简单（四项差变成两项:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2）。
（3）看到等式两边都有整齐对称的特点: (a+b)¦(a-b)=a2¦-b2
问题5：看到等式以上特点，你有什么感觉与想法？
［生］（1）有一种“二”的感觉（这里是指成双成对的意思，采取诙谐的说法，感觉更强烈）；有一种“万变不离其宗”的感觉；有一种“生成”的感觉（对同一现象，不同人的感觉有时是不同的，不一定都准确，但产生感觉是非常重要的，尽管感觉有时说不清道不明）；有一种“好事成双”的感觉；有一种“阴阳合一”的感觉；有一种“并驾齐驱”的感觉。
（2）有一种“简单”的感觉。
（3）有一种”对称美”的感觉。
［师］跟着感觉走，有感觉就会有兴趣，就会思考其中的奥秘。科学上的许多重要发现，就是科学家对观察到的现象产生强烈感觉而去研究发现的。从感性到理性，才是科学的态度。
观察以上等式整齐对称的特点，特别是运算结果的简单性，感觉以上形式的多项式乘法，值得我们探索研究，总结规律。
5.剖析公式，总结规律
［师］上面，我们看到等式(a+b)(a－b)=a2－b2整齐对称，结果（平方差）简单易记的特点．因此，如果我们把具有以上特殊形式的等式作为公式，熟记入心，那么以后见到类似特殊形式的多项式相乘，就可以直接运用公式写出结果，不需要运用多项式乘法法则“项项相乘”这一复杂过程了，这就是我们研究以上特殊关系的多项式乘法的价值所在。
上面，我们已经看到等式(a+b)(a－b)=a2－b2的特点及作为公式使用的原因，为了更好的运用此公式简化多项式的乘法运算，我们必须剖析公式，总结规律。
（1）取名：在总结规律之前，先给它取个名称，以便称呼它，根据公式右边的特点，我们给它取名“平方差公式”。
(a+b)(a－b)=a2－b2
（2）你能用文字语言表示所发现的规律吗？
［生］两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述公式，教师巡回引导，并集思广益。从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力，平方差公式浮出水面，培养了学生的文字语言、符号语言的转化能力，推理能力)
质疑：根据上面的文字语言，我们还可写出下面的式子，(a+b)(a-b)=b2-a2 ， b2-a2也是这两个数a,b的平方差，如此看来书上的文字语言有不严密之嫌。
敢于怀疑，向权威挑战，才能有所发现有所创造。
［师］我们怎样理解文字语言，才不会产生歧义呢？
自圆其说：两个“这”，前一个“这”是指（a-b），不是（b-a），说明“这”暗含有“顺序”的意思，由前面两个数排列顺序，（→）a + b，（→）a - b，可知，后面“这”两个数的平方差就是（→）a 2 - b2了。（注意这里只是自圆其说，严格说来，课本上的文字语言是有漏洞的，文字语言的准确性应脱离外在形式独立存在的）
［师］我们再看一下平方差公式的变式：(b+a)(a-b)=a2-b2，可见：平方差的顺序是按两数差的顺序排列的,不是按两数和顺序排列的。
怎样表述平方差公式，才准确无误，不会产生歧义呢？
［生］两个数的和与这两个数的差的积 ，等于前面被减数与减数的平方差
6.牢记结构，套用公式
由前面的分析可看出，运用公式，关键是找出两个数a,b。注意先后顺序(a是被减数，b是减数），为此，首先看公式是否是标准形式，不是标准形式要化为标准形式，再找出两数a,b.
例1：运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ;
⑵ (b+2a)(2a-b);
(3) (-x+2y)(-x-2y).
分析：用公式的关键是找出两个数a与b，化为标准形式，是准确寻找a，b两个数的前提。
（b+2a）（2a-b）
=（2a+b）（2a- b）
=(2a)2-b2
=4a2-b2
例2 计算：
⑴ 102 ×98;
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
例2让学生明白用平方差公式计算数字问题的简洁性和符合公式特征的才能用公式简化运算，其余的仍然按乘法法则进行。准确运用公式的重点得以实现。
7.平方差公式的再认识
（1）从算术的角度认识平方差公式
从平方差公式的数学表达式(a+b)(a－b)=a2－b2及文字语言“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”，我们知道，平方差公式由三部分组成：“(a+b)两个数的和，(a－b)两个数的差，a2－b2两个数的平方差”，文字语言里出现的“和”与“差”，指的是算术运算（加法或减法运算）的结果，显然，这是从小学算术的角度认识平方差公式的（前面我们看到的及总结的规律都是从算术角度理解的）
（2）从代数的角度认识平方差公式
进入初中，我们知道，加法与减法可统一成加法，每一个数都包括前面的符号，（a+b）可看成a与b的和，（a-b）可看成a与-b的和，即把（a+b）与（a-b）看成两个二项式。于是“两数和×两数差”，可看作“两个二项式相乘”
这样，从代数的角度看待平方差公式，我们可以看到平方差公式具有两大的特征：
结构特征：
（a）左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同（a与a），另一项互为相反数（b与-b）；.（判断依据）
（b）右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方（a2-b2）。（计算依据）
本质特征：
结构特征的不变性，字母形式的可变性（公式中的a，b可以表示数，也可表示单项式或多项式）
（通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，能突破公式字面意义的局限性，建立起较高层次的有意义条件反射，而不是机械的记忆公式，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果）
平方差公式的特征形式：
相同项
相反项
相同项2-相反项2
(a+b)(a-b) = a2-b2
（3）揭示本质，活用公式
练习：下列各式都能用平方差公式吗?
（1）（2b+a）（a-2b） （ ）
（2）（m-n）(-m-n) （ ）
( 3 ) (x+y)(-x-y) ( )
( 4 ) (3b+2a)(2a-3b)( )
能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？
判断依据----两个二项式中：两项相等，两项互为相反数，牢牢抓住平方差公式的结构特征，则可快速判断两个二项式相乘能否运用平方差公式。这组练习主要是要考察学生有没有掌握平方差公式的结构特征。
想一想，判断下列计算对不对，如果不对应怎样改正？
（1）、(x + 6 )(x–6 )=x2-6
（2）、(2a2+b2)( 2a2–b2)=2a4–b4
（3）、(-5a-2b)( 5a–2b )=( 5a)2-(2b)2=25a2-4b2
（4）、(1+3x)( -1–3x)=1-(3x)2=1-9x2
对左边能否用平方差公式，可以根据平方差公式的结构特征进行判断，右边平方差这个结果，谁作被减数,谁作减数,你还有什么办法确定？
计算依据----相同项的平方减去互为相反数的项的平方，公式的结构特征被突破，是运用平方差公式的重点所在。
通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧：
①两个括号内其中一组相同字母的符号相同，另一组相同字母的符号相反才能运用平方差公式；
②运用平方差公式的结果等于符号相同的字母的平方减去符号相反的字母平方．
（这组练习主要是要考察学生有没有掌握平方差公式的结构，寻找相同的a与a，相反的b与-b，学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件，巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解）
(4)深化认识，变用公式：
计算：
(1)(3x＋1)(9x2＋1)(3x－1)；
(2)(2x－y)(y＋2x)－4(y－x)(－x－y)；
(3)20162－2015×2017.
(5)拓展应用，强化思维
表面上看，平方差公式仅适用于两个二项式相乘的情况，实际上，对两个三项式（或四项式……）相乘的情况，可按相同项、相反项分组添括号的方法，转化为平方差公式的特征形式进行计算。如
同
(－y+x－z)(x+z－y)=[(x－y)－z][(x－y)+z]=(x－y)2－z2=……
实际上，我们可省去中间一步“[(x－y)－z][(x－y)+z]”，直接由:同2 = (x－y)2，反2 = z 2 ,写出结果“同2－反2 = (x－y)2－z2 ”。
同
反
(x－y+6)(－x－y－2)=(x－y+2+4)(－x－y+2－4)=(－y+2)2－(x+4)2
这里巧在将6写成 2+4，将－2写成 2－4。
计算 3(22+1)(24+1)
解：原式=(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)
=(22－1)(22+1)(24+1)=(24－1)(24+1)
=28－1
本题巧在数的变形，3=2+1，1=2－1，并注意到一同任何数相乘都得原数。
采用达成训练、变式训练、延伸训练等方式进行强化练习，即可举一反三、融会贯通。
可见，从平方差公式的标准形式及各种变式中抽象出反映公式本质特征的应用模式，不为外在形式所迷惑，才能以不变应万变，走向公式应用的自由王国。
（教学效果表明，采用“淡化标准形式，注重公式实质”设计教学程序，可一步到位，不留任何后遗症。
总之，按照“淡化形式，注重实质”的观点设计教学程序，将大大改变教学现状，极大地提供课堂教学效益）
8.归纳反思，概括小结
1、本节课学习了哪些主要内容？
2、平方差公式的标准形式与特征形式是什么？
3、如何运用平方差公式？应用平方差公式时要注意什么？
①平方差公式的标准形式
(a+b)(a-b)=a2-b2
（算术形式）
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差。
（算术语言----算术特征）
上面是平方差公式的标准形式及文字语言，注重了公式应用的顺序性这一非公式的本质特征，造成公式应用的程序化与机械化。
当然，作为平方差公式的标准形式，带给我们美的感受，给我们提供一种程序化的思维方法
②平方差公式的特征形式
相同项
相反项
相同项2-相反项2
(a+b)(a-b) = a2-b2
（代数形式）
“一项对应相同，另一项对应相反的两个二项式相乘，等于相同项与相反项的平方差”。
（代数语言----代数特征）
按此本质特征运用平方差公式，就用不着调整二项式的顺序及项的位置（这一公式的非本质特征），变找两数和与两数差为找相同项与相反项， 结果为相同项的平方减去相反项的平方。
公式运用方法 ：
方法一 ：找两个数a（被减数），b（减数） -----先化为标准形式，再找a，b 两数（注重形式---标准形式）。 （慢）
方法二：找相同项（a，a），相反项（b，-b） -----不用化为标准形式，直接找a，b 两数（注重实质----特征形式）。 （快）
最佳方法：方法二------一目了然，直接快速，简洁方便。
(淡化形式，注重实质------方法由死变活，由慢变快)
9.作业：1.课本第（1）（3）（5）题
2.计算：1234567 ×1234569－1234568²
板书设计
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2-b2 算术形式--标准形式
两数和×这两数差 这两数平方差
(a+b)(a-b) = a2-b2 代数形式--特征形式
相同项
相同项2-相反项2
（相同项之积+相反项之积
相反项
公式运用方法 ：
方法一 ：找两个数a（被减数），b（减数） -----先化为标准形式，再找a，b 两数（注重形式---标准形式）。 （慢）
方法二：找相同项（a，a），相反项（b，-b） -----不用化为标准形式，直接找a，b 两数（注重实质----特征形式）。 （快）
最佳方法：方法二------一目了然，直接快速，简洁方便。
[教学设计思路]
本节课的整个教学程序是这样的：首先，学生通过复习计算，发现平方差公式的计算规律，进而产生应用的愿望。通过对规律验证过程的体验，使学生进一步的认识到数学学科的严谨性与科学性，体会数学来源于实践，又应用于实践的道理。在公式的应用过程中，学生们将遇到挑战，转化思想、整体化思想在这里成为解题的关键。在教师的引导下，学生开始尝试对研究的问题进行转化，开展自主探究。同时，教师适当介入，并引导学生发现解决这个问题的关键是把握知识的本质——公式的结构。在练习中采取分层测试的方式，使得不同的学生都有所收获，有效的维护学生的求知欲与自信心。总之，整个教学过程围绕着 “实践中观察、发现——产生猜想——验证猜想——获得新知——实践应用” 这一过程展开的。
一、教材分析（本课在教材中的地位、作用和意义）：
乘法公式实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数学运算中经常用到，就把它们作为公式。《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，体现教材从一般到特殊的意图，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.教材为学生在教学活动中获得数学的思想方法、能力、素质提供了良好的契机，对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。因此，平方差公式在教材中有承上启下的作用，它对培养学生符号感和抽象概括能力有着重要的作用，同时，在利用公式过程中，所反映出的转化思想、整体化思想以及应用意识，都将对学生产生潜移默化的影响，对提高学生的数学素养有着积极的作用。
因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式，也是最基本、用途最广泛的公式之一，可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归、换元、整体的数学思想方法的重要载体，让学生感受数学的再创造性。是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应技能的重要内容。
二、学情分析：
1．学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感．经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力．学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能．通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，培养学生具有独立探索、合作交流的习惯．
2．学生活动经验基础：学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号及漏项等问题，学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解，当公式中a、b是式时，要把它括号再平方。 因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，让学生经历“引入→形式→理解→应用→深化公式”的知识发生过程，并有条理地表达自己的思想，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。
经过一段时间的整式学习，学生们基本上掌握了多项式的乘法的方法，进一步学习它的特殊形式——公式，是激发学生求知欲的良好时机。公式的出现，为学生在繁琐的运算中辟出了一条新路。
教法与学法：
（一）教法分析
1、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解。
2、采用启发式、探索式教学方法,整个探究学习的过程充满了师生之间、学生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者，而学生才是学习的主体。以创设情境激发学生的兴趣；合作探究得出公式，领会公式的结构特征；多媒体演示及讨论理解几何意义，达到形象直观化的视觉效果以突破难点，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。
(二)学法分析
在教学中引导学生观察、分析多项式乘法及其结果的基础上，逐步完成平方差公式的符号语言、文字语言和图形语言的互化，领会一般到特殊的研究数学问题的方法，最终能正确运用公式，从而落实重点。学生积极参与、大胆猜想、自主探索和合作交流。
平方差公式教学设计
【课题】 14.2.1 平方差公式
【教材】 人教版八年级数学上册
【课时安排】 2个课时.
【教学对象】 八年级（上）学生.
【授课教师】 湖北省赤壁市车站学校 李道生
一、教学目标
1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在计算的过程中发现规律，掌握平方差公式的结构特征，并能用符号表达，体验符号运算对证明猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美，从而体会数学语言的简洁美,培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦.培养学生的建模思想和抽象思维能力，感受换元和化归的思想。
2、理解平方差公式的结构特征与本质特征----形变质不变，即“结构特征的不变性，字母形式的可变性”；掌握平方差公式：(a+b) (a-b)＝ a2-b2，达到正用公式的水平，形成正向产生式：
“﹙□+△﹚﹙□– △﹚”→“□2 – △2”.
在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.通过练习渗透数学中的“整体思想”与“配凑思想”，提高同学们解决问题的能力。
3、在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法，体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值。
二、教学重点和难点
重点：经历探索并归纳平方差公式的过程，理解公式的本质和结构特征，能用自己的语言说明公式及其特点，灵活运用平方差公式进行简单的运算。
难点：1.利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，从实际中抽象出字母符号式子的符号化的过程，发展观察、归纳、概括等能力。
2.平方差公式的本质：形变质不变，即“结构特征的不变性，字母形式的可变性”(强调平方差公式的本质，即结构特征的不变性，字母形式的可变性；指出学习此公式的用途；通过问题进一步化解‚结构的不变性，字母的可变性‛这一难点，并为下一节内容的学习埋下伏笔)
3.理解公式中字母的广泛含义
(预计学生学习上的困难：（1）对于平方差公式（a+b）（a-b）= a2-b2，引入是为了简化多项式乘法，没有这种认识之前，学生对左右两边都是多项式的“公式”还不认可，这会增加教学的困难.（2）数学公式都有其产生的背景、引入的目的、形成的过程和自身的结构特征，这些教材上是无法一一阐述的.我们教学时往往不去刻意创设学习情景，营造公式产生的氛围，引导学生经历公式的探索过程，而是照本宣科，生搬硬套，过于直接的教学不利于化解难点.（3）数学公式中字母的高度概括性、广泛应用性及换元思想的渗透，对八年级学生的思维水平还难适应，（a+b）（a-b）= a2-b2；（1+2x）（1-2x）= 1-4x2；（-4a-1）（4a-1）=1-16a2 都是用平方差公式，102×98也能用平方差公式，使得习惯于机械模仿和解题程序化的学生思维受阻，造成困难.
基于以上情况，我们把教学难点定为：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，从实际中抽象出字母符号式子的符号化的过程，发展观察、归纳、概括等能力)
关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键． 教学方法 采用“情境──探究──猜想──归纳──验证──应用──拓展”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差.
三、教学过程
1.创设情境，导入课题
（1）速算王比拼：智力抢答
1. 21×19 2.103×97
3. 26×24 4. 55×45 5. 32×28
大家都在笔算，但有人能一口清，快速心算出来，他是用什么方法心算的呢？
（通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课）
2. 探索新知，尝试发现
问题1：这一组算式有什么共同特征，你能用统一的形式表示吗？
【生】这里的两个数相加都是整十或整百的数（21+19=40；103+97=200；26+24 =），都可以表示成两数和乘以这两数差的形式：（20+1）（20-1）；（100+3）（100-3）；（25+1）（25-1）；（50+5）（50-5）；（30+2）（30-2）
问题2：如果我们用字母表示这两个数，比如用字母a，b分别表示这两个数，那么以上各个算式，可以用字母表示成什么形式？
【生】（a+b）（a-b）
【师】这是两个二项式相乘的形式，利用多项式乘法法则，大家计算一下，结果是什么形式？
【生】（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2
【师】根据上面用字母a，b表示的算式的一般形式右边的结果，大家再回过头来，计算上面的智力抢答题：
【生】1. 21×19=（20+1）（20-1）=202-12=399 ； 2.103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991 ；3. 26×24=（25+1）（25-1）=252-12=624 ； 4. 55×45（=50+5）（50-5）=502-52=2475 ； 5. 32×28=（30+2）（30-2）=302-22=896
3.数形结合，几何说理
问题3：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明（a+b）（a-b）=a2-b2的正确性吗？
如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形。
（1）图中的阴影部分（即余下部分）的面积是__________
［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).
（2）你能否将阴影部分拼成一个完整的长方形图案吗？
［生］把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b)，(a－b)，面积为(a+b)(a－b).
（3）比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？
［生］割补不改变图形面积的大小,这两部分面积应该是相等的，即
(a+b)(a－b)=a2－b2.
观察思考，发现新知
问题4：观察等式(a+b)(a－b)=a2－b2的形式，你看到了什么？
引导学生进行观察，可介绍观察的方法：有序观察，局部观察（把握细节），整体观察（抓住关键），如从左到右的顺序，观察汉字“明”，可看到日与月，它们组成汉字“明”
［生］（1）看到等式出现两数和，两数差，两个数的平方差，两数和乘以两数差，及它们之间的相等关系，等式的左右两边都是围绕着两个数展开运算的。
（2）看到计算结果简单（四项差变成两项:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2）。
（3）看到等式两边都有整齐对称的特点: (a+b)¦(a-b)=a2¦-b2
问题5：看到等式以上特点，你有什么感觉与想法？
［生］（1）有一种“二”的感觉（这里是指成双成对的意思，采取诙谐的说法，感觉更强烈）；有一种“万变不离其宗”的感觉；有一种“生成”的感觉（对同一现象，不同人的感觉有时是不同的，不一定都准确，但产生感觉是非常重要的，尽管感觉有时说不清道不明）；有一种“好事成双”的感觉；有一种“阴阳合一”的感觉；有一种“并驾齐驱”的感觉。
（2）有一种“简单”的感觉。
（3）有一种”对称美”的感觉。
［师］跟着感觉走，有感觉就会有兴趣，就会思考其中的奥秘。科学上的许多重要发现，就是科学家对观察到的现象产生强烈感觉而去研究发现的。从感性到理性，才是科学的态度。
观察以上等式整齐对称的特点，特别是运算结果的简单性，感觉以上形式的多项式乘法，值得我们探索研究，总结规律。
5.剖析公式，总结规律
［师］上面，我们看到等式(a+b)(a－b)=a2－b2整齐对称，结果（平方差）简单易记的特点．因此，如果我们把具有以上特殊形式的等式作为公式，熟记入心，那么以后见到类似特殊形式的多项式相乘，就可以直接运用公式写出结果，不需要运用多项式乘法法则“项项相乘”这一复杂过程了，这就是我们研究以上特殊关系的多项式乘法的价值所在。
上面，我们已经看到等式(a+b)(a－b)=a2－b2的特点及作为公式使用的原因，为了更好的运用此公式简化多项式的乘法运算，我们必须剖析公式，总结规律。
（1）取名：在总结规律之前，先给它取个名称，以便称呼它，根据公式右边的特点，我们给它取名“平方差公式”。
(a+b)(a－b)=a2－b2
（2）你能用文字语言表示所发现的规律吗？
［生］两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述公式，教师巡回引导，并集思广益。从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力，平方差公式浮出水面，培养了学生的文字语言、符号语言的转化能力，推理能力)
质疑：根据上面的文字语言，我们还可写出下面的式子，(a+b)(a-b)=b2-a2 ， b2-a2也是这两个数a,b的平方差，如此看来书上的文字语言有不严密之嫌。
敢于怀疑，向权威挑战，才能有所发现有所创造。
［师］我们怎样理解文字语言，才不会产生歧义呢？
自圆其说：两个“这”，前一个“这”是指（a-b），不是（b-a），说明“这”暗含有“顺序”的意思，由前面两个数排列顺序，（→）a + b，（→）a - b，可知，后面“这”两个数的平方差就是（→）a 2 - b2了。（注意这里只是自圆其说，严格说来，课本上的文字语言是有漏洞的，文字语言的准确性应脱离外在形式独立存在的）
［师］我们再看一下平方差公式的变式：(b+a)(a-b)=a2-b2，可见：平方差的顺序是按两数差的顺序排列的,不是按两数和顺序排列的。
怎样表述平方差公式，才准确无误，不会产生歧义呢？
［生］两个数的和与这两个数的差的积 ，等于前面被减数与减数的平方差
6.牢记结构，套用公式
由前面的分析可看出，运用公式，关键是找出两个数a,b。注意先后顺序(a是被减数，b是减数），为此，首先看公式是否是标准形式，不是标准形式要化为标准形式，再找出两数a,b.
例1：运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ;
⑵ (b+2a)(2a-b);
(3) (-x+2y)(-x-2y).
分析：用公式的关键是找出两个数a与b，化为标准形式，是准确寻找a，b两个数的前提。
（b+2a）（2a-b）
=（2a+b）（2a- b）
=(2a)2-b2
=4a2-b2
例2 计算：
⑴ 102 ×98;
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
例2让学生明白用平方差公式计算数字问题的简洁性和符合公式特征的才能用公式简化运算，其余的仍然按乘法法则进行。准确运用公式的重点得以实现。
7.平方差公式的再认识
（1）从算术的角度认识平方差公式
从平方差公式的数学表达式(a+b)(a－b)=a2－b2及文字语言“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”，我们知道，平方差公式由三部分组成：“(a+b)两个数的和，(a－b)两个数的差，a2－b2两个数的平方差”，文字语言里出现的“和”与“差”，指的是算术运算（加法或减法运算）的结果，显然，这是从小学算术的角度认识平方差公式的（前面我们看到的及总结的规律都是从算术角度理解的）
（2）从代数的角度认识平方差公式
进入初中，我们知道，加法与减法可统一成加法，每一个数都包括前面的符号，（a+b）可看成a与b的和，（a-b）可看成a与-b的和，即把（a+b）与（a-b）看成两个二项式。于是“两数和×两数差”，可看作“两个二项式相乘”
这样，从代数的角度看待平方差公式，我们可以看到平方差公式具有两大的特征：
结构特征：
（a）左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同（a与a），另一项互为相反数（b与-b）；.（判断依据）
（b）右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方（a2-b2）。（计算依据）
本质特征：
结构特征的不变性，字母形式的可变性（公式中的a，b可以表示数，也可表示单项式或多项式）
（通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，能突破公式字面意义的局限性，建立起较高层次的有意义条件反射，而不是机械的记忆公式，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果）
平方差公式的特征形式：
相同项
相反项
相同项2-相反项2
(a+b)(a-b) = a2-b2
（3）揭示本质，活用公式
练习：下列各式都能用平方差公式吗?
（1）（2b+a）（a-2b） （ ）
（2）（m-n）(-m-n) （ ）
( 3 ) (x+y)(-x-y) ( )
( 4 ) (3b+2a)(2a-3b)( )
能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？
判断依据----两个二项式中：两项相等，两项互为相反数，牢牢抓住平方差公式的结构特征，则可快速判断两个二项式相乘能否运用平方差公式。这组练习主要是要考察学生有没有掌握平方差公式的结构特征。
想一想，判断下列计算对不对，如果不对应怎样改正？
（1）、(x + 6 )(x–6 )=x2-6
（2）、(2a2+b2)( 2a2–b2)=2a4–b4
（3）、(-5a-2b)( 5a–2b )=( 5a)2-(2b)2=25a2-4b2
（4）、(1+3x)( -1–3x)=1-(3x)2=1-9x2
对左边能否用平方差公式，可以根据平方差公式的结构特征进行判断，右边平方差这个结果，谁作被减数,谁作减数,你还有什么办法确定？
计算依据----相同项的平方减去互为相反数的项的平方，公式的结构特征被突破，是运用平方差公式的重点所在。
通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧：
①两个括号内其中一组相同字母的符号相同，另一组相同字母的符号相反才能运用平方差公式；
②运用平方差公式的结果等于符号相同的字母的平方减去符号相反的字母平方．
（这组练习主要是要考察学生有没有掌握平方差公式的结构，寻找相同的a与a，相反的b与-b，学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件，巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解）
(4)深化认识，变用公式：
计算：
(1)(3x＋1)(9x2＋1)(3x－1)；
(2)(2x－y)(y＋2x)－4(y－x)(－x－y)；
(3)20162－2015×2017.
(5)拓展应用，强化思维
表面上看，平方差公式仅适用于两个二项式相乘的情况，实际上，对两个三项式（或四项式……）相乘的情况，可按相同项、相反项分组添括号的方法，转化为平方差公式的特征形式进行计算。如
同
(－y+x－z)(x+z－y)=[(x－y)－z][(x－y)+z]=(x－y)2－z2=……
实际上，我们可省去中间一步“[(x－y)－z][(x－y)+z]”，直接由:同2 = (x－y)2，反2 = z 2 ,写出结果“同2－反2 = (x－y)2－z2 ”。
同
反
(x－y+6)(－x－y－2)=(x－y+2+4)(－x－y+2－4)=(－y+2)2－(x+4)2
这里巧在将6写成 2+4，将－2写成 2－4。
计算 3(22+1)(24+1)
解：原式=(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)
=(22－1)(22+1)(24+1)=(24－1)(24+1)
=28－1
本题巧在数的变形，3=2+1，1=2－1，并注意到一同任何数相乘都得原数。
采用达成训练、变式训练、延伸训练等方式进行强化练习，即可举一反三、融会贯通。
可见，从平方差公式的标准形式及各种变式中抽象出反映公式本质特征的应用模式，不为外在形式所迷惑，才能以不变应万变，走向公式应用的自由王国。
（教学效果表明，采用“淡化标准形式，注重公式实质”设计教学程序，可一步到位，不留任何后遗症。
总之，按照“淡化形式，注重实质”的观点设计教学程序，将大大改变教学现状，极大地提供课堂教学效益）
8.归纳反思，概括小结
1、本节课学习了哪些主要内容？
2、平方差公式的标准形式与特征形式是什么？
3、如何运用平方差公式？应用平方差公式时要注意什么？
①平方差公式的标准形式
(a+b)(a-b)=a2-b2
（算术形式）
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差。
（算术语言----算术特征）
上面是平方差公式的标准形式及文字语言，注重了公式应用的顺序性这一非公式的本质特征，造成公式应用的程序化与机械化。
当然，作为平方差公式的标准形式，带给我们美的感受，给我们提供一种程序化的思维方法
②平方差公式的特征形式
相同项
相反项
相同项2-相反项2
(a+b)(a-b) = a2-b2
（代数形式）
“一项对应相同，另一项对应相反的两个二项式相乘，等于相同项与相反项的平方差”。
（代数语言----代数特征）
按此本质特征运用平方差公式，就用不着调整二项式的顺序及项的位置（这一公式的非本质特征），变找两数和与两数差为找相同项与相反项， 结果为相同项的平方减去相反项的平方。
公式运用方法 ：
方法一 ：找两个数a（被减数），b（减数） -----先化为标准形式，再找a，b 两数（注重形式---标准形式）。 （慢）
方法二：找相同项（a，a），相反项（b，-b） -----不用化为标准形式，直接找a，b 两数（注重实质----特征形式）。 （快）
最佳方法：方法二------一目了然，直接快速，简洁方便。
(淡化形式，注重实质------方法由死变活，由慢变快)
9.作业：1.课本第（1）（3）（5）题
2.计算：1234567 ×1234569－1234568²
板书设计
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2-b2 算术形式--标准形式
两数和×这两数差 这两数平方差
(a+b)(a-b) = a2-b2 代数形式--特征形式
相同项
相同项2-相反项2
（相同项之积+相反项之积
相反项
公式运用方法 ：
方法一 ：找两个数a（被减数），b（减数） -----先化为标准形式，再找a，b 两数（注重形式---标准形式）。 （慢）
方法二：找相同项（a，a），相反项（b，-b） -----不用化为标准形式，直接找a，b 两数（注重实质----特征形式）。 （快）
最佳方法：方法二------一目了然，直接快速，简洁方便。
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