多维层次练49-直线与椭圆的位置关系学案

这是一份多维层次练49-直线与椭圆的位置关系学案，共13页。
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．
答案：A
2．过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
解析：设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故eq \f(xeq \\al(2,1),16)＋eq \f(yeq \\al(2,1),4)＝1，eq \f(xeq \\al(2,2),16)＋eq \f(yeq \\al(2,2),4)＝1，
两式相减得eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,16)＋eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,4)＝0.
因为P(3，1)是A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，
所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，故kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(3,4)，
直线AB的方程为y－1＝－eq \f(3,4)(x－3)，
即3x＋4y－13＝0，故选B.
答案：B
3．若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为eq \f(3,\r(a2＋b2)) >eq \r(3)，所以a2＋b20，
解得－eq \f(1,2)b>0)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线y＝eq \f(b,a)x与椭圆在第一象限内的交点，若eq \(FO,\s\up15(→))＋eq \(FC,\s\up15(→))＝λ(eq \(BO,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→)))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(2\r(2)＋1,7) B.eq \f(2\r(2)－1,7)
C.eq \f(2\r(2)－1,3) D.eq \r(2)－1
解析：连接BF，联立椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与直线y＝eq \f(b,a)x的方程，解得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(2))，\f(b,\r(2)))).因此线段OC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2\r(2))，\f(b,2\r(2)))).
因为eq \(FO,\s\up15(→))＋eq \(FC,\s\up15(→))＝λ(eq \(BO,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→)))，所以线段OC的中点在BF上，又直线BF的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，所以eq \f(a,2\r(2)c)＋eq \f(b,2\r(2)b)＝1，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2\r(2)－1)＝eq \f(2\r(2)＋1,7).故选A.
答案：A
13．已知直线MN过椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则eq \f(|PQ|2,|MN|)＝________．
解析：不妨取直线MN⊥x轴，椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F(－1，0)，令x＝－1，得y2＝eq \f(1,2)，所以y＝±eq \f(\r(2),2)，所以|MN|＝eq \r(2)，此时|PQ|＝2b＝2，则eq \f(|PQ|2,|MN|)＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2).
答案：2eq \r(2)
14．(2020·上饶模拟)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
解析：由题意知c＝1，离心率e＝eq \f(c,a)，
因为P在直线l：y＝x＋2上移动，
所以2a＝|PA|＋|PB|.
点A关于直线y＝x＋2的对称点C，
设C(m，n)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n,m＋1)＝－1，,\f(1,2)n＝\f(1,2)（m－1）＋2))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝1，))即有C(－2，1)，
则2a＝|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|≥|BC|＝eq \r(10)，
当C，P，B共线时，a有最小值eq \f(\r(10),2)，
对应的离心率e有最大值eq \f(\r(10),5).
答案：eq \f(\r(10),5)
15．(2020·山东东营第三次质检)已知直线x＋y＝1过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3))).
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点的直线l与线段AB相交(不含端点)且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．
解：(1)直线x＋y＝1与x轴交于点(1，0)，所以椭圆右焦点的坐标为(1，0)，故c＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(4,3)，y1＋y2＝eq \f(2,3)，eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－1，
又eq \f(xeq \\al(2,1),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，eq \f(xeq \\al(2,2),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,2),b2)＝1，所以eq \f(xeq \\al(2,2)－xeq \\al(2,1),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,2)－yeq \\al(2,1),b2)＝0，
则eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,a2)＋eq \f(（y2－y1）（y2＋y1）,b2)＝0，
得a2＝2b2，
因此2b2－b2＝1，则a2＝2，b2＝1，故椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,x＋y＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝－\f(1,3).))
不妨令A(0，1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，易知直线l的斜率存在，
设直线l：y＝kx，代入eq \f(x2,2)＋y2＝1，得(2k2＋1)x2＝2，则x＝eq \f(\r(2),\r(2k2＋1))或x＝－eq \f(\r(2),\r(2k2＋1)) .设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则|x3－x4|＝eq \f(2\r(2),\r(2k2＋1))，则|CD|＝eq \r(1＋k2)|x3－x4|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(2\r(2),\r(2k2＋1)).
A(0，1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(1,3)))到直线y＝kx的距离分别是d1＝eq \f(1,\r(1＋k2))，d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)k＋\f(1,3))),\r(1＋k2))，由于直线l与线段AB(不含端点)相交，
所以(k×0－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)k＋\f(1,3)))－eq \f(1,4)，
所以d1＋d2＝eq \f(\f(4,3)k＋\f(4,3),\r(1＋k2))＝eq \f(\f(4,3)（k＋1）,\r(1＋k2))，
四边形ACBD的面积S＝eq \f(1,2)|CD|·d1＋eq \f(1,2)|CD|·d2＝eq \f(1,2)|CD|·(d1＋d2)＝eq \f(4\r(2),3)·eq \f(k＋1,\r(2k2＋1)).
令k＋1＝t，则t>eq \f(3,4)，2k2＋1＝2t2－4t＋3，
S＝eq \f(4\r(2),3)·eq \f(t,\r(2t2－4t＋3))＝eq \f(4\r(2),3)·eq \r(\f(t2,2t2－4t＋3))＝eq \f(4\r(2),3)·eq \r(\f(1,2－\f(4,t)＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))\s\up12(2)))，当eq \f(1,t)＝eq \f(2,3)，即k＝eq \f(1,2)时，Smax＝eq \f(4\r(2),3)×eq \r(\f(1,2－\f(8,3)＋\f(12,9)))＝eq \f(4\r(3),3)，符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为eq \f(4\r(3),3).
[拔高创新练]
16．已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1M⊥PK于M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，eq \r(2))
C．(0，eq \r(3)) D．(0，2eq \r(3))
解析：如图，延长PF2，F1M相交于N点，
因为K点是△F1PF2内切圆的圆心，
所以PK平分∠F1PF2，
因为F1M⊥PK，所以|PN|＝|PF1|，M为F1N中点，
又因为O为F1F2中点，
所以|OM|＝eq \f(1,2)|F2N|＝eq \f(1,2)||PN|－|PF2||＝eq \f(1,2)||PF1|－|PF2||