多维层次练51- 抛物线学案

这是一份多维层次练51- 抛物线学案，共13页。

1．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)．由题意得eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.
答案：D
2．(2020·广东广州模拟)已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|＝( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：抛物线y2＝6x的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(3,2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＝3|BF|，所以x1＋eq \f(3,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(3,2)))，所以x1＝3x2＋3，
因为|y1|＝3|y2|，所以x1＝9x2，所以x1＝eq \f(9,2)，x2＝eq \f(1,2)，
所以|AB|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(3,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(3,2)))＝8.故选B.
答案：B
3．(2020·河南郑州第二次模拟)已知抛物线C：y2＝2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为( )
A．2 B．3
C．eq \f(3,2) D．4
解析：设直线AB的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋t，,y2＝2x))⇒y2－2my－2t＝0⇒y1y2＝－2t，
由OA⊥OB⇒x1x2＋y1y2＝eq \f(（y1y2）2,4)＋y1y2＝0⇒
y1y2＝－4，
所以t＝2，即直线AB过定点(2，0)．
所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).故选C.
答案：C
4．(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．(1，0) D．(2，0)
解析：法一 可设点D位于第一象限．由OD⊥OE，结合抛物线的对称性，可得直线OD的方程为y＝x，与x＝2联立求得D(2，2)．将点D的坐标代入抛物线的方程可得p＝1，所以C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).故选B.
法二 将x＝2代入y2＝2px(p>0)，得y＝±2eq \r(p).由OD⊥OE，得kOD·kOE＝－1，即eq \f(2\r(p),2)·eq \f(－2\r(p),2)＝－1，解得p＝1.所以C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).故选B.
答案：B
5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F且斜率为eq \r(3)的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN等于( )
A.eq \f(8,3)p2 B.eq \f(2\r(3),3)p2
C.eq \f(4\r(3),3)p2 D.eq \f(8\r(3),3)p2
解析：不妨设P在第一象限，过Q作QR⊥PM，垂足为R，设准线与x轴的交点为E，
因为直线PQ的斜率为eq \r(3)，所以直线PQ的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝eq \f(p,1－cs 60°)＋eq \f(p,1＋cs 60°)＝eq \f(2p,sin2 60°)＝eq \f(8,3)p.在Rt△PRQ中，sin ∠RPQ＝eq \f(|QR|,|PQ|)，所以|QR|＝|PQ|·
sin ∠RPQ＝eq \f(8,3)p×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3),3)p，由题意可知|MN|＝|QR|＝eq \f(4\r(3),3)p，所以S△MNF＝eq \f(1,2)|MN|·|FE|＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(3),3)p×p＝eq \f(2\r(3),3)p2.故选B.
答案：B
6．(2021·广东省适应性考试)已知抛物线y2＝2px上三点A(2，2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为( )
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
解析：把A(2，2)代入y2＝2px得p＝1，
又直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，
易知AB方程为y－2＝eq \r(3)(x－2)，
AC方程为y－2＝－eq \r(3)(x－2)，
联立AB方程和抛物线方程得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)－\f(4,\r(3))，\f(2,\r(3))－2))，
同理Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)＋\f(4,\r(3))，－\f(2,\r(3))－2))，
所以选B.
答案：B
7．(多选题)已知O是坐标原点，A，B是抛物线y＝x2上不同于O的两点，OA⊥OB，则下列结论正确的是( )
A．|OA|·|OB|≥2
B．|OA|＋|OB|≥2eq \r(2)
C．直线AB过抛物线y＝x2的焦点
D．O到直线AB的距离小于等于1
解析：设A(x1，xeq \\al(2,1))，B(x2，xeq \\al(2,2))，则eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))＝0，即x1x2(1＋x1x2)＝0，所以x2＝－eq \f(1,x1).对于A，|OA|·|OB|＝eq \r(xeq \\al(2,1)（1＋xeq \\al(2,1)）·\f(1,xeq \\al(2,1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,xeq \\al(2,1)))))＝eq \r(1＋xeq \\al(2,1)＋\f(1,xeq \\al(2,1))＋1)≥2，当且仅当x1＝±1时取等号，正确；对于B，|OA|＋|OB|≥2eq \r(|OA|·|OB|)≥2eq \r(2)，正确；对于C，直线AB的方程为y－xeq \\al(2,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1)))(x－x1)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1)))x－y＋1＝0，不过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))，错误；对于D，原点到直线AB：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1)))x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1)))\s\up12(2)＋1))≤1，正确．
答案：ABD
8．[2020·新高考卷Ⅰ(山东卷)]斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝____________．
解析：由y2＝4x，得2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．因为直线AB的斜率为eq \r(3)，且过焦点，所以直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x－1)，与y2＝4x联立，消去y得3(x－1)2＝4x，即3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(10,3).由焦点弦长公式得|AB|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝eq \f(10,3)＋2＝eq \f(16,3).
答案：eq \f(16,3)
9．(2020·山东省模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________．
解析：由题意知eq \f(p,2)＝1，从而p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
法一 当直线l的斜率不存在时，将x＝1代入，解得|AF|＝|BF|＝2，从而eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1.
法二 设AB的方程为y＝k(x－1)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))
整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2k2＋4,k2)，,x1x2＝1.))
从而eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋1)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋x1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋2)＝1.
法三 利用二级结论：eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，即可得结果．
答案：2 1
10．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
其中c＝eq \r(a2－b2).
不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为eq \f(b2,a)，－eq \f(b2,a)；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝eq \f(2b2,a)，|CD|＝4c.
由|CD|＝eq \f(4,3)|AB|得4c＝eq \f(8b2,3a)，即3×eq \f(c,a)＝2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2).
解得eq \f(c,a)＝－2(舍去)，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
所以C1的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知a＝2c，b＝eq \r(3)c，故C1：eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1.
所以C1的四个顶点坐标分别为(2c，0)，(－2c，0)，(0，eq \r(3)c)，(0，－eq \r(3)c)，C2的准线为x＝－c.
由已知得3c＋c＋c＋c＝12，即c＝2.
所以C1的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1，C2的标准方程为y2＝8x.
11．设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
(1)解：当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2，2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝eq \f(1,2)x＋1或y＝－eq \f(1,2)x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－2），,y2＝2x，))得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝eq \f(2,k)，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝eq \f(x2y1＋x1y2＋2（y1＋y2）,（x1＋2）（x2＋2）).①
将x1＝eq \f(y1,k)＋2，x2＝eq \f(y2,k)＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝eq \f(2y1y2＋4k（y1＋y2）,k)＝eq \f(－8＋8,k)＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.
[综合应用练]
12．(多选题)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|.则直线AB的斜率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3)
C．－eq \r(2) D．－eq \r(3)
解析：如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，所以|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为eq \r(3)；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为－eq \r(3).
答案：BD
13．(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线的斜率为eq \r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2 B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
解析：如图，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的斜率为eq \r(3)，
则直线方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝eq \f(3,2)p，xB＝eq \f(1,6)p，
由|AF|＝eq \f(3,2)p＋eq \f(p,2)＝2p＝4，得p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
xB＝eq \f(1,6)p＝eq \f(1,3)，则|BF|＝eq \f(1,3)＋1＝eq \f(4,3)，
|BD|＝eq \f(|BF|,cs 60°)＝eq \f(\f(4,3),\f(1,2))＝eq \f(8,3)，所以|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝eq \f(4,3)＋eq \f(8,3)＝4，则F为AD中点，
所以运算结论正确的是A、B、C.
故选ABC.
答案：ABC
14．(2020·辽宁五校联考)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为________．
解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1，0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥l，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，所以N
(－1，eq \r(2))，M(0，2eq \r(2))，所以|NF|＝eq \r(6)，|NM|＝eq \r(3)，所以△MNF的面积为eq \f(3\r(2),2).
答案：eq \f(3\r(2),2)
15．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，则p＝________．
解析：过点A，B向抛物线的准线x＝－eq \f(p,2)作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E，因为A，B两点在抛物线上，所以|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
因为BE⊥AC，所以|AE|＝|AF|－|BF|，
因为直线AB的倾斜角为60°，
所以在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，
即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，所以|AF|＝3|BF|，
因为|AF|＝2，所以|BF|＝eq \f(2,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(8,3).
设直线AB的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，代入y2＝2px，
得3x2－5px＋eq \f(3p2,4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝eq \f(5,3)p，因为|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(8,3)，所以p＝1.
答案：1
16．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
(1)由x2＝2py得y′＝eq \f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为eq \f(x1x2,p2)＝－eq \f(2,p)，
因为点N在以AB为直径的圆上，
所以AN⊥BN，所以－eq \f(2,p)＝－1，所以p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝eq \f(x1,p)(x－x1)，直线BN：y－y2＝eq \f(x2,p)(x－x2)，联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－y1＝\f(x1,p)（x－x1），,y－y2＝\f(x2,p)（x－x2），))结合①式，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1)．
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋k2)·
eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4p2k2＋8p)，
点N到直线AB的距离
d＝eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，
则△ABN的面积SABN＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \r(p（pk2＋2）3)≥2eq \r(2p)，当k＝0时，取等号，
因为△ABN的面积的最小值为4，
所以2eq \r(2p)＝4，所以p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
[拔高创新练]
17.如图，由抛物线y2＝8x与圆E：(x－2)2＋y2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P(2，0)的直线始终与图形Ω有交点，则|AB|的取值范围为( )
A．[2，3] B．[3，4]
C．[4，5] D．[5，6]
解析：设抛物线的焦点为F，由y2＝8x可知焦点F的坐标为(2，0)．圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为E(2，0)，因此点P，F，E重合，所以|PA|＝3.设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋2，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,（x－2）2＋y2＝9，))得(x－2)2＋8x＝9，整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝3＋x0＋2＝x0＋5，所以|AB|＝x0＋5∈[5，6]，故选D.
答案：D