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多维层次练64-离散型随机变量及其分布列和期望综合学案
展开这是一份多维层次练64-离散型随机变量及其分布列和期望综合学案，共12页。
(1)在这10名被调查者中任取2人，求这2人的居住满意度指标z相同的概率；
(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n.记随机变量X＝m－n、求随机变量X的分布列及其数学期望．
解：(1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同”，则居住满意度指标z为0的只有编号为9的1名；居住满意度指标z为1的编号有2，4，5，7，10共5名；居住满意度指标z为2的编号有1，3，6，8共4名．
从10名被调查者中任取2人，所有可能的结果为Ceq \\al(2,10)＝45(种)，这2人的居住满意度指标z相同的结果为Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,4)＝10＋6＝16(种)，所以在这10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同的概率为P(A)＝eq \f(16,45).
(2)计算10名被调查者的综合指标，可列下表：
其中居住满意度为一级的编号有1，2，3，5，6，8共6名，则m的值可能为4，5，6；居住满意度不是一级的编号有4，7，9，10共4名，则n的值可能为1，2，3，所以随机变量X所有可能的取值为1，2，3，4，5.
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(1,4))＝eq \f(1,4)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,1)＋Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(1,4))＝eq \f(7,24)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,1)＋Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,1)＋Ceq \\al(1,1)·Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(1,4))＝eq \f(7,24)，
P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(1,1)·Ceq \\al(1,1)＋Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,1),Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(1,4))＝eq \f(1,8)，
P(X＝5)＝eq \f(Ceq \\al(1,1)·Ceq \\al(1,1),Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(1,4))＝eq \f(1,24)，
所以随机变量X的分布列为
E(X)＝1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(7,24)＋3×eq \f(7,24)＋4×eq \f(1,8)＋5×eq \f(1,24)＝eq \f(29,12).
2．(2020·河北衡水联考)按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合条件下，重量为2.7克，其重量的误差在区间[－0.081，0.081]内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布．现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：
(1)计算上述10件产品的误差的平均数eq \(\s\up8(—),\s\d4(x))及标准差s；
(2)①利用(1)中求的平均数eq \(\s\up8(—),\s\d4(x))，标准差s，估计这批产品的合格率能否达到96%；
②如果产品的误差服从正态分布N(0，0.040 52)，那么从这批产品中随机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少？
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ
s2＝eq \f(1,10)×(0.022×2＋0.052＋0.042＋0.012＋0.12×2)＝0.002 5，
所以s＝0.05，
(2)①由(1)中计算得μ＝0，σ＝0.05.
所以P(μ－2σ
②因为产品重量的误差服从正态分布N(0，0.040 52)，
所以μ＝0，σ＝0.040 5.
又μ－2σ
3．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图．
(1)求a，b，c的值；
(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的数学期望E(ξ)；
(3)某评估机构以指标M(M＝eq \f(E（ξ）,D（ξ）)，其中D(ξ)表示ξ的方差)来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
解：(1)由题知，样本容量为eq \f(6,0.005×20)＝60，b＝60×(0.01×20)＝12，a＝60－6－12－24＝18.c＝eq \f(18,60×20)＝0.015.
(2)在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生人数为eq \f(24,60)×10＝4，“合格”的学生人数为10－4＝6.
由题意可得ξ的所有可能取值为0，5，10，15，20.
P(ξ＝0)＝eq \f(Ceq \\al(4,4),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(1,210)，P(ξ＝5)＝eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(4,35)，P(ξ＝10)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(3,7)，P(ξ＝15)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(8,21)，P(ξ＝20)＝eq \f(Ceq \\al(4,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(1,14).
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0＋5×eq \f(4,35)＋10×eq \f(3,7)＋15×eq \f(8,21)＋20×eq \f(1,14)＝12.
(3)因为D(ξ)＝(0－12)2×eq \f(1,210)＋(5－12)2×eq \f(4,35)＋(10－12)2×eq \f(3,7)＋(15－12)2×eq \f(8,21)＋(20－12)2×eq \f(1,14)＝16，所以M＝eq \f(E（ξ）,D（ξ）)＝eq \f(12,16)＝0.75>0.7，故可以认定教育活动是有效的，该校不用调整安全教育方案．
4．已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：
(1)请根据上表数据在图中绘制散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，并估计当x＝20时eq \(y,\s\up6(^))的值；
(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(\s\up8(—),\s\d4(y))－beq \(\s\up8(—),\s\d4(x))
解：(1)散点图如图所示．
(1)依题意得，eq \(\s\up8(—),\s\d4(x))＝eq \f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
eq \(\s\up8(—),\s\d4(y))＝eq \f(1,5)×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
eq \i\su(i＝1,5, )xeq \\al(2,i)＝4＋16＋36＋64＋100＝220
eq \i\su(i＝1,5, ) xi yi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
eq \(b,\s\up6(^))＝＝eq \f(272－5×6×7.6,220－5×62)＝1.1，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝7.6－1.1×6＝1，
所以线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.1x＋1，
故当x＝20时，eq \(y,\s\up6(^))＝23.
(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－4>0，
所以符合条件的点的坐标为(6，7)，(8，10)，(10，12)，
故ξ的所有可能取值为1，2，3.
P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，
P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
故ξ的分布列为
E(ξ)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(9,5).
5．(2020·石家庄质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a＝950.记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望(数学期望值保留到个位数字)；
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5 000元，一辆非事故车盈利10 000元；
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值．
解：(1)由题意可知，X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a.
由统计数据可知：
P(X＝0.9a)＝eq \f(1,6)，P(X＝0.8a)＝eq \f(1,12)，P(X＝0.7a)＝eq \f(1,12)，
P(X＝a)＝eq \f(1,3)，P(X＝1.1a)＝eq \f(1,4)，P(X＝1.3a)＝eq \f(1,12).
所以X的分布列为
所以E(X)＝0.9a×eq \f(1,6)＋0.8a×eq \f(1,12)＋0.7a×eq \f(1,12)＋a×eq \f(1,3)＋1.1a×eq \f(1,4)＋1.3a×eq \f(1,12)＝eq \f(11.9a,12)＝eq \f(11 305,12)≈942(元)．
(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为eq \f(1,3)，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(3)＋Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(20,27).
②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为－5 000，10 000.
所以Y的分布列为
所以E(Y)＝(－5 000)×eq \f(1,3)＋10 000×eq \f(2,3)＝5 000，所以该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E(Y)＝500 000元．
6．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
解：(1)X的所有可能取值为－1，0，1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，
即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．
②由①可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq \f(48－1,3)p1.
由于p8＝1，故p1＝eq \f(3,48－1)，
所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq \f(44－1,3)p1＝eq \f(1,257).
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq \f(1,257)≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
人员编号
1
2
3
4
5
(x，y，z)
(1，1，2)
(2，1，1)
(2，2，2)
(0，1，1)
(1，2，1)
人员编号
6
7
8
9
10
(x，y，z)
(1，2，2)
(1，1，1)
(1，2，2)
(1，0，0)
(1，1，1)
人员编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
综合指标
4
4
6
2
4
5
3
5
1
3
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,4)
eq \f(7,24)
eq \f(7,24)
eq \f(1,8)
eq \f(1,24)
2.72
2.68
2.7
2.75
2.66
2.7
2.6
2.69
2.7
2.8
等级
不合格
合格
得分
[20，40)
[40，60)
[60，80)
[80，100)
频数
6
a
24
b
ξ
0
5
10
15
20
P
eq \f(1,210)
eq \f(4,35)
eq \f(3,7)
eq \f(8,21)
eq \f(1,14)
x
2
4
6
8
10
y
3
6
7
10
12
ξ
1
2
3
P
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
eq \f(1,10)
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素
浮动比率
A1
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
A2
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
A3
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
A4
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮10%
A6
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
类型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
数量
10
5
5
20
15
5
X
0.9a
0.8a
0.7a
a
1.1a
1.3a
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,12)
eq \f(1,12)
eq \f(1,3)
eq \f(1,4)
eq \f(1,12)
Y
－5 000
10 000
P
eq \f(1,3)
eq \f(2,3)
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)
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