多维层次练47-直线与圆、圆与圆的位置关系学案

这是一份多维层次练47-直线与圆、圆与圆的位置关系学案，共10页。

1．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：由题意，过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3，1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3，1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.
答案：B
2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
解析：直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
所以点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．
答案：C
3．若圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为( )
A．±1 B．±eq \f(\r(2),4)
C．±eq \r(2) D．±eq \f(\r(3),2)
解析：由题知圆的圆心坐标为(－1，3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1，3)到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，即eq \f(|－1＋3a＋1|,\r(1＋a2))＝1，解得a＝±eq \f(\r(2),4).
答案：B
4．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析：依题意，设圆心坐标为(a，1)，其中a>0，则有eq \f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)，因此所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：A
5．(2019·全国联考)若倾斜角为60°的直线l与圆C：x2＋y2－6y＋3＝0交于M，N两点，且∠CMN＝30°，则直线l的方程为( )
A.eq \r(3)x－y＋3＋eq \r(6)＝0或eq \r(3)x－y＋3－eq \r(6)＝0
B.eq \r(3)x－y＋2＋eq \r(6)＝0或eq \r(3)x－y＋2－eq \r(6)＝0
C.eq \r(3)x－y＋eq \r(6)＝0或eq \r(3)x－y－eq \r(6)＝0
D.eq \r(3)x－y＋1＋eq \r(6)＝0或eq \r(3)x－y＋1－eq \r(6)＝0
解析：依题意，圆C：x2＋(y－3)2＝6.设直线l：eq \r(3)x－y＋m＝0，由∠CMN＝30°，且圆的半径r＝eq \r(6)，得圆心C到直线l的距离d＝eq \f(\r(6),2)＝eq \f(|m－3|,2)，解得m＝3±eq \r(6).故直线l的方程为eq \r(3)x－y＋3＋eq \r(6)＝0或eq \r(3)x－y＋3－eq \r(6)＝0.故选A.
答案：A
6．在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－3)2＋(y－a)2＝4上存在两点A，B满足：∠AOB＝60°，则实数a的最大值是( )
A．5 B．3
C．eq \r(7) D．2eq \r(3)
解析：根据题意，圆C的圆心为(3，a)，在直线x＝3上，
分析可得，当圆心距离x轴的距离越远，∠AOB越小．
如图，当a>0时，圆心C在x轴上方，若OA，OB为圆的切线且∠AOB＝60°，此时a取得最大值，
此时∠AOC＝30°，
有|OC|＝2|AC|＝4，即(3－0)2＋(a－0)2＝16，
解得a＝eq \r(7)，故实数a的最大值是eq \r(7)，故选C.
答案：C
7．(2020·天津卷)已知直线x－eq \r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
解析：由题意，得r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|8|,\r(12＋（－\r(3)）2))))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))eq \s\up12(2)＝25.又r>0，所以r＝5.
答案：5
8．(2020·浙江卷)已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.
解析：由题意，设圆x2＋y2＝1的圆心坐标为C1(0，0)，半径r1＝1，圆(x－4)2＋y2＝1的圆心坐标为C2(4，0)，半径r2＝1.因为这两圆的半径都为1，圆心都在x轴上，直线y＝kx＋b的斜率大于0，所以直线y＝kx＋b(k>0)经过线段C1C2的中点，即点(2，0)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＋b＝0，
\f(|b|,\r(k2＋（－1）2))＝1.))因为k>0，所以解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(\r(3),3)，
b＝－\f(2\r(3),3).))
答案：eq \f(\r(3),3) －eq \f(2\r(3),3)
9．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \(OM,\s\up15(→))·eq \(ON,\s\up15(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，
所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.
解得eq \f(4－\r(7),3)所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2).
eq \(OM,\s\up15(→))·eq \(ON,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq \f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8.
由题设可得eq \f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
10．(2020·茂名五校联考)已知圆C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0与圆O：x2＋y2＝4相外切，切点为A，过点P(4，1)的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积．
解：(1)圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－3)2＝25－F，圆心C(4，3)，半径为eq \r(25－F)，
由圆C与圆O相外切知eq \r(25－F)＋2＝eq \r(16＋9)，
所以F＝16.
圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝9，点P(4，1)在圆C内，弦MN过点P，且Q是MN中点，则CQ⊥MN，
所以点Q的轨迹就以CP为直径的圆，方程为(x－4)2＋(y－2)2＝1.
(2)线段OC与圆O的交点为A，联立y＝eq \f(3,4)x与x2＋y2＝4，解得点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(6,5))).
若|AQ|＝|AP|，则P，Q是以点A为圆心，AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(6,5)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)－4))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)－1))eq \s\up12(2)与(x－4)2＋(y－2)2＝1得3x＋y－13＝0，所以直线MN的方程为3x＋y－13＝0.
因为C(4，3)到直线MN的距离d＝eq \f(|12＋3－13|,\r(10))＝eq \f(2,\r(10))，|MN|＝2eq \r(9－d2)＝eq \f(2\r(86),\r(10))，
点A到直线MN的距离h＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(24,5)＋\f(6,5)－13)),\r(10))＝eq \f(7,\r(10))，
所以△AMN的面积S＝eq \f(1,2)|MN|·h＝eq \f(7\r(86),10).
[综合应用练]
11．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
解析：因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为eq \f(|2×1－1－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(2\r(5),5)或eq \f(|2×5－5－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(2\r(5),5)，故选B.
答案：B
12．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )
A．3 B．4
C．2eq \r(3) D．8
解析：连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.
在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq \f(\r(5),5)，所以Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝2，所以|AB|＝2|AC|＝4.故选B.
答案：B
13．(2020·安阳模拟)已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．
解析：圆心C(0，1)，设∠PCA＝α，|PC|＝m，
则|PA|2＝m2＋1－2mcs α，
|PB|2＝m2＋1－2mcs(π－α)＝m2＋1＋2mcs α，
所以|PA|2＋|PB|2＝2m2＋2.
又C到直线y＝x－1的距离d＝eq \f(|0－1－1|,\r(2))＝eq \r(2)，
即m的最小值为eq \r(2)，
所以|PA|2＋|PB|2的最小值为2×(eq \r(2))2＋2＝6.
答案：6
14．已知直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3eq \(AD,\s\up15(→))＝5eq \(DB,\s\up15(→))，则r＝________．
解析：如图，过O作OE⊥AB于E，连接OA，则|OE|＝eq \f(|0＋0－2|,\r(12＋12))＝eq \r(2)，
易知|AE|＝|EB|，
不妨令|AD|＝5m(m>0)，
由3eq \(AD,\s\up15(→))＝5eq \(DB,\s\up15(→))可得
|BD|＝3m，|AB|＝8m，
则|DE|＝4m－3m＝m，
在Rt△ODE中，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)r))eq \s\up12(2)＝(eq \r(2))2＋m2，①
在Rt△OAE中，有r2＝(eq \r(2))2＋(4m)2，②
联立①②，解得r＝eq \r(10).
答案：eq \r(10)
15．已知以点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(2,t)))(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
(1)证明：由题意知圆C过原点O，所以半径r＝|OC|.
因为|OC|2＝t2＋eq \f(4,t2)，
所以设圆C的方程为(x－t)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,t)))eq \s\up12(2)＝t2＋eq \f(4,t2).
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，则A(2t，0)．
令x＝0，得y1＝0，y2＝eq \f(4,t)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,t))).
所以S△OAB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,t)))×|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)解：因为|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
所以OC垂直平分线段MN.
因为kMN＝－2，所以kOC＝eq \f(1,2)，所以直线OC的方程为y＝eq \f(1,2)x.
所以eq \f(2,t)＝eq \f(1,2)t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，r＝|OC|＝eq \r(5)，
此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝eq \f(1,\r(5))圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，r＝|OC|＝eq \r(5)，
此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝eq \f(9,\r(5))>eq \r(5)，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交．
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
[拔高创新练]
16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>－\f(5,2))).
则eq \f(|4a＋10|,5)＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝4，
y＝k（x－1），))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq \f(k2－4,k2＋1).
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN，即eq \f(y1,x1－t)＋eq \f(y2,x2－t)＝0，
则eq \f(k（x1－1）,x1－t)＋eq \f(k（x2－1）,x2－t)＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
亦即eq \f(2（k2－4）,k2＋1)－eq \f(2k2（t＋1）,k2＋1)＋2t＝0，解得t＝4，
所以当点N坐标为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．