优化提升专题训练（新高考） 二次函数及指、对数函数的问题的探究（含答案解析）学案

  专题04  二次函数及指、对数函数的问题的探究

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、【2020年高考北京】函数的定义域是____________．

【答案】

【解析】由题意得，

故答案为：

2、已知是奇函数，且当时，.若，则__________．

【答案】

【解析】由题意知是奇函数，且当时，，

又因为，，

所以，

两边取以为底数的对数，得，

所以，即．

3、已知，，，则的大小关系为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】因为，

，

，即，

所以.

故选A.

4、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1   B．10.1

C．lg10.1     D．10−10.1

【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足，

令，

则

从而.

故选A.

5、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则

A．ln(y−x+1)>0      B．ln(y−x+1)<0  

C．ln|x−y|>0       D．ln|x−y|<0

【答案】A

【解析】由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A．

6、【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则

A．a<0  B．a>0 

C．b<0  D．b>0

【答案】C

【解析】因为，所以且，设，则零点

为

当时，则，，要使，必有，且，

即，且，所以；

当时，则，，要使，必有.

综上一定有.

故选：C

7、已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】(1,4)；

【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

8、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，函数在上单调递减且是曲线，向下平移一个单位长度得，排除A，B，C，D，没有符合题意的;

当时，函数在上单调递增且是曲线，向下平移一个单位长度得，排除B，当时，，排除D.

此时，函数（且）在上单调递增，排除A.

故选：C.

9、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数是奇函数，则使的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，函数是奇函数，则，

即，可得，

则，有，解可得，

即函数的定义域为，

设，则，

，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，

若，即，解可得，

则，即，解得，

又由，则有，

即的取值范围为；

故选：A.

10、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若，则的值为__________；若（且），则实数的取值范围为__________.

【答案】       

【解析】∵，∴，

∴；

∵，即，

∴，解得，

故答案为：；．

11、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知函数，若，则实数_____；若存在最小值，则实数的取值范围为_____.

【答案】       

【解析】，

，

，

.

易知时，；

又时，递增，故，

要使函数存在最小值，只需，

解得：.

故答案为：，.

【问题探究，变式训练】

题型一、指对数中的比较大小

知识点拨：对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力。

例1、【2020年高考天津】设，则的大小关系为

A．      B．     

C．      D．

【答案】D

【解析】因为，

，

，

所以.

故选：D．

变式1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】

即

则．

故选B．

变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则

A．a<b<c  B．b<a<c 

C．b<c<a  D．c<a<b

【答案】A

【解析】由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

变式3、【2020年高考全国I卷理数】若，则

A．  B． 

C．  D．

【答案】B

【解析】设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B．

题型二、指、对数的运算与性质

知识点拨：考查指对数的运算法则以及指对数函数的单调性与及奇偶性等重要性质。

例2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)

A．是偶函数，且在单调递增    B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D．

变式1、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）

A．60        B．63    

C．66        D．69

【答案】C

【解析】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C．

变式2、【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

【答案】D

【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；

当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.

综上，选D.

变式3、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】

【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.

若函数为奇函数，则即，

即对任意的恒成立，

则，得.

若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，

即在R上恒成立，

又，则，

即实数的取值范围是.

变式5、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知正实数满足，的值为____________.

【答案】

【解析】正实数满足，

，

由，得，

，

.

故答案为：.

题型三、一元二次函数最值问题的探究

知识点拨：解决二次函数最值的关键是抓住图象的开口方向、对称轴与区间的相对位置；不等式恒成立问题关键是看不等式的特点，灵活运用函数的性质，如二次不等式恒成立问题可运用图象、分离变量运用函数值域法等；已知含参数的方程的解的个数求参数的取值范围时根据方程的特点，可运用函数的图象处理.

例1、（2018年泰州中学期末试题）求二次函数在区间上的最大值．

【解析】 ，对称轴为

①当时

（ⅰ）当时，即时，；

（ⅱ）当时，即时，；

②当时，

（ⅰ）当时，即时，；

（ⅱ）当时，即时，，

综上所述，

【变式1】（2018年金沙中学期中测试试题）已知函数f(x)＝4x2－4mx＋m2－2m＋2在区间[0，2]上有最小值3，求实数m的取值范围．

解析：本题是二次函数在给定区间上的最值问题，主要考查用分类讨论思想解决问题的能力，即具体要考虑二次函数的对称轴x＝与给定区间[0，2]的三种位置关系．

【解析】：由题意知f(x)＝4－2m＋2的图象开口向上，对称轴为x＝，

从而有或

或解得或 或∴ m＝5＋或m＝1－.

综上所述，实数m的取值范围是m＝1－或5＋.

题型四  根的分布

对于一元二次函数根的分布问题，主要就是根据条件正确列出等价条件。可以从一元二次函数的开口、对称轴和关键的点等入手。

例1、(2018苏锡常镇调研）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[1，2]上有两个不同的零点，则的取值范围为________．

【答案】[0，1)　

 由两个零点来表示，所以可设二次函数的零点式．

 利用二次函数的零点分布知识得到a，b，c的约束条件，将问题转化为线性规划问题解决．

解法1(二次函数的零点式) 设f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，其中1≤x1<x2≤2，则＝(x1－1)(x2－1)．因为0≤x1－1<x2－1≤1，所以的取值范围为[0，1)．

解法2(线性规划) 由题意得即令则

令z＝＝x＋y＋1，作可行域，如图．

解得0≤z＜1，即的取值范围为[0，1).

变式1、(2019苏州期末）已知函数．

（1）若的两个零点均小于2，求实数a的取值范围；

（2）方程在上有且只有一个实根，求实数a的取值范围．

解析 （1）由题意，等价于，解得或．

（2）①当时，此时在上有且只有一个实根，得；

②当时，即时，此时有，舍去；

③当时，即时，此时有或，舍去，

综上：．

变式2、(2017苏锡常镇调研） 已知函数，若有一个小于1与一个大于2的两个零点，求实数a的取值范围       ．

【答案】

解析 由题意，等价于，解得．

变式3、 已知函数，方程在上有实根，求实数a的取值范围．

解析1   ①当时，此时在上有且只有一个实根，得；

②当时，即时，此时有，舍去；

③当时，即时，此时有或，舍去，

④当时，此时在上有两个实根，无解；

综上：．

解析2 方程即为，因为时，于是，

令，设，即，，

所以在上单调递增，，所以．