优化提升专题训练（新高考） 计数原理与二项式定理（含答案解析）学案

  专题21  计数原理与二项式定理

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．

【答案】

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，

先取2名同学看作一组，选法有：.

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，

故答案为：.

2、某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________．

【答案】

【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有种方法，其中恰好选中2名女生的方法有种，因此所求概率为．故答案为：．

3、从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)

【答案】1260

【解析】若不取0，则排列数为；若取0，则排列数为，因此一共可以组成个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．

4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（   ）种

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；

第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；

∴

故选：A.

5、【2020年高考北京】在的展开式中，的系数为

A．  B．5 

C．  D．10

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

6、【2020年高考全国III卷理数】的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

【答案】

【解析】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

7、【2020年高考天津】在的展开式中，的系数是_________．

【答案】10

【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．

所以的系数为．

故答案为：．

8、（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】的展开式通项为：

当，即时，

项的系数为：

本题正确选项：

9、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知，则_____，_______.

【答案】0    665   

【解析】因为，

令可得：.

所以：；

；

；

；

……

；

；

故.

故答案为：0，665.

【问题探究，变式训练】

题型一、排列与组合

例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

A．120种  B．90种

C．60种  D．30种

【答案】C

【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C．

变式1、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，其和等于30的有3种方法，分别是7和23，11和19，13和17，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为，选C．

变式2、（2020·全国高三专题练习（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，

共有种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，

综上，共有种方法.

故选：D

变式3、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，

有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，

他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，

则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p．

故选：B．

题型二、二项式定理项的问题

例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】的展开式中x3y3的系数为

A．5  B．10 

C．15  D．20

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C.

变式1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12 B．16 C．20      D．24

【答案】A

【解析】由题意得x3的系数为，故选A．

变式2、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】的展开式中的系数为

A．10 B．20 C．40 D．80

【答案】C

【解析】由题可得的展开式的通式为，令，得，所以展开式中的系数为．故选C．

变式3、【2020年高考浙江】二项展开式，则_______，________．

【答案】80；122

【解析】的通项为，令，则，故；.

故答案为：80；122.

题型三、二项式定理的综合性问题

例3、【2019年高考江苏卷理数】设．已知．

（1）求n的值；

（2）设，其中，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

（2）由（1）知，．

．

解法一：

因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．

变式1、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知，．记．

（1）求的值；

（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．

【解析】由二项式定理，得；

（1）；

（2）因为，

所以

，

，

因为，所以能被整除.

变式2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______.

【答案】10       

【解析】

，

令可得展开式中各项系数和为，且二项式系数和，

展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，

解得，

则展开式中最大的二项式系数为；

设展开式中第项的系数最大，

由二项式定理可得展开式为，

则，

所以，

解得：，

因为，

所以，

因此当时展开式中第5项系数最大的项为

故答案为：10；

变式3、【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．

【答案】   

【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．

变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是    ．

【答案】7

【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得，，令，可得常数项为7.

变式5、（2020届浙江省温州市高三4月二模）若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】展开式的通项为：，故，

，

根据对称性知：.

故选：.