优化提升专题训练（新高考） 平面向量的线性运算与数量积（含答案解析）学案

这是一份优化提升专题训练（新高考） 平面向量的线性运算与数量积（含答案解析）学案，共14页。学案主要包含了知识框图，自主热身，归纳总结，问题探究，变式训练，2020年高考江苏，2018年高考上海卷，2019年高考江苏卷，2020年高考天津，2020年高考北京等内容，欢迎下载使用。
   平面向量的线性运算与数量积【知识框图】    【自主热身，归纳总结】 1、已知向量，满足，，则A．4 B．3C．2 D．0【答案】B【解析】因为所以选B.2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知向量，，．若，则实数的值为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以,选C.3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）设是非零向量，则是成立的（   ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量所以成立;反之不成立.故选B4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，得，则，，.故选：C.5、（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，，，所以，所以.因为，所以.6、（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量满足， ，，则___________.【答案】【解析】由已知：， ，，所以，展开得到，所以，所以，所以；故答案为：．7、在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值为________. 【答案】. 　解析：如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，CE为AB边的中线，且AD∩CE＝O.在△AEO中，由正弦定理得＝；在△ACO中，由正弦定理得＝，两式相除得＝，因为AE＝AB＝1，AC＝3，所以＝.所以＝3，即－＝3(－)，即4＝3＋，所以4＝＋，从而＝＋，因为＝x＋y，所以x＝，y＝，于是x＋y＝.  【问题探究，变式训练】 题型一 平面向量的线性运算与基本定理的应用例1、【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则A．       B． C．       D．【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得 ，所以.故选A.变式1、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（    ）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得，A对；∵，∴，∴，又F为AE的中点，∴，B对；∴，C对；∴，D错；故选：ABC．变式2、【2020年高考江苏】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是   ▲    ．【答案】【解析】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.题型二 向量的坐标运算例2、【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．−3   B．−2C．2   D．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C．变式1、【2018年高考全国III卷理数】已知向量，，．若，则___________．【答案】【解析】由题可得，，，，即，故答案为.变式2、【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．变式3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）向量，若，则的值是(    )A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】B【解析】，故选B.变式4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量，且，则（    ）A．3 B．-3 C． D．【答案】C【解析】由题意，∵，∴，解得．故选：C. 题型三 向量数量积的简单运用例3、【2020年高考全国III卷理数】已知向量a，b满足，，，则A．   B．  C．   D． 【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D．变式1、【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A．   B． C．   D． 【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．变式2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.变式3、【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．变式4、【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.【答案】【解析】因为，，所以，，所以，所以 ． 题型四、运用平面向量的基底解决向量的数量积 例4、【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A．             B．    C．             D．【答案】A【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，.设 = 所以当时，上式取最大值，故选A. 变式1、【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．【答案】.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．，，得即故 变式2、(2019苏北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足＝＋2，则·的值为________．【答案】、 －1　 【解析】、因为＝＋2，所以－＝(－)－2，解得＝＋，故·＝(－)·＝·＝2－·＝－×2×3×cos60°＝－1. 题型五 运用建系法解决向量的数量积例5、【2020年高考天津】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】(1). ；(2). 【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.变式1、【2020年高考北京】已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案；【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.变式2、【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，，所以.所以.