优化提升专题训练（新高考） 三角形中的三角问题的探究（含答案解析）学案

  三角形中的三角问题的探究

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，若    ，则=（      ）

A．1 B．2         C．3 D．4

【答案】A

【解析】余弦定理将各值代入

得

解得或(舍去)选A.

2、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由题意可得，在中，因为，

所以，因为，

所以，，

结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，

所以，即，所以，

因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，

所以充分性不满足，

反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，

所以为既不充分也不必要条件，故选D.

3、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．

【答案】，

【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，

，，所以.

.

4、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，点为边上一点，且，则的面积为______.

【答案】    10   

【解析】因为，，，

由正弦定理可得：，

所以，

则；，

，

由余弦定理可得：，

解可得（舍或，所以，

．故答案为：，10．

5、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（    ）

A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m

【答案】A

【解析】如图,为“泉标”高度,设高为米，由题意,平面,米,，

．
在中,,在中,,
在中,，,，,
由余弦定理可得，
解得或 (舍去),
故选：B.

【问题探究，变式训练】

题型一  正余弦定理在三角形中的运用

知识点拨：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。

例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

【答案】

【解析】，，，

由勾股定理得，

同理得，，

在中，，，，

由余弦定理得，

，

在中，，，，

由余弦定理得.

故答案为：.

变式1、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．

【答案】　

【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了．

解法1 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝＝－，所以tanA＝－，于是

tan∠CAD＝tan(A－45°)＝＝.

解法2 由解法1得tanA＝－.由tan(45°＋∠CAD)＝－得＝－，即＝－，解得tan∠CAD＝.

变式2、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）在中，，的平分线交边于.若.，则___________.

【答案】

【解析】中，由正弦定理可得，，所以，

为的平分线即，

.

故答案为：.

变式3、【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

【解析】（1）在中，因为，

由余弦定理，得，

所以.

在中，由正弦定理，

得，

所以

（2）在中，因为,所以为钝角，

而,所以为锐角.

故则.

因为，所以，.

从而

变式4、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在中，已知点在边上，，，，．

（1）求的值；

（2）求的长．

解析：（1）在中，，，

所以．

同理可得，．

所以

．

（2）在中，由正弦定理得，．

又，所以．

在中，由余弦定理得，

．

题型二、运用正余弦定理研究三角形中的范围

知识点拨：无论是在利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，还是利用三角恒等式消元的过程中都需要有较强的目标意识．本题通过不同角度的消元将问题转化为利用基本不等式求最值的问题进行解决．由目标式的结构则容易联想利用斜三角形中的恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC将问题作进一步处理

例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）若，的面积为，求，的值；

（2）若，且角为钝角，求实数的取值范围.

【解析】△ABC中，4acosA＝ccosB+bcosC，

∴4sinAcosA＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（C+B）＝sinA，

∴cosA，

∴sinA；

（1）a＝4，

∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝b2+c2bc＝16①；

又△ABC的面积为：

S△ABCbc•sinAbc•，

∴bc＝8②；

由①②组成方程组，解得b＝4，c＝2或b＝2，c＝4；

（2）当sinB＝ksinC（k＞0），b＝kc，

∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝（kc）2+c2﹣2kc•c•（k2k+1）c2；

又C为钝角，则a2+b2＜c2，

即（k2k+1）+k2＜1，解得0＜k；

所以k的取值范围是．

变式1、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）在中，内角，，所对的边为，，，且，，则__________，若满足条件的有且仅有一个，则的取值范围是__________.

【答案】    或   

【解析】∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

则，，

又，代入到，得，

∵，∴，

由图可知，当或时，只有一个解，

故答案为：；或．

变式2、(2016盐城三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则－的取值范围是________．

【答案】、. 　

【答案】、 思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入，又因已知锐角和边的关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，本题所求为正切值，故可以构造直角三角形，用边的关系处理．

解法1 原式可化为－＝－＝＝.由b2－a2＝ac得，b2＝a2＋ac＝a2＋c2－2accosB，即a＝c－2acosB，也就是sinA＝sinC－2sinAcosB，即sinA＝sin(A＋B)－2sinAcosB＝sin(B－A)，由于△ABC为锐角三角形，所以有A＝B－A，即B＝2A，故－＝，在锐角三角形ABC中易知，<B<，<sinB<1，故－∈.

解法2 根据题意，作CD⊥AB，垂足为点D，画出示意图．因为b2－a2＝AD2－BD2＝(AD＋BD)(AD－BD)＝c(AD－BD)＝ac，所以AD－BD＝a，而AD＋BD＝c，所以BD＝，则c>a，即>1，在锐角三角形ABC中有b2＋a2>c2，则a2＋a2＋ac>c2，即2－－2<0，解得－1<<2，因此，1<<2.而－＝＝＝∈.

题型三  运用正余弦定理研究三角形中的三角函数问题

知识点拨：首先把函数化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，其中A＞0，ω＞0. 利用正弦、余弦定理，列出关于边a，b的方程组．

例3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求的值及函数的单调递减区间；

（2）如图，在锐角三角形中有，若在线段上存在一点使得，且，，求三角形的面积.

【解析】（1）.

因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以.

故.

令，解得.

所以的单调递减区间为；

（2）由，即.

由得，所以，解得.

再由己知：，，.

∴在中，由，得，

又，∴，∴.

又，

在中，由，得，

∴.

变式1、．（2020·鱼台县第一中学高三月考）已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，求的值.

【解析】（1），

的最小正周期为；

（2），

∴，

，则，

∴，

∵，

∴，

又的面积为，

∴，

∴，

则，，

由余弦定理得.

变式2、(2016扬州期末）已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx(ω>0)的周期为π.

(1) 当x∈时，求函数f(x)的值域；

(2)  已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（）＝，且a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积．

规范解答  (1) f(x)＝(1＋cos2ωx)＋sin2ωx＝sin2ωx＋＋.(2分)

因为f(x)的周期为π，且ω>0，所以＝π，解得ω＝1.所以f(x)＝sin2x＋＋.(4分)

又0≤x≤，得≤2x＋≤π，－≤sin2x＋≤1,0≤sin2x＋＋≤＋1，即函数y＝f(x)在x∈0，上的值域为0，＋1.(7分)

(2) 因为f＝，所以sinA＋＝.由A∈(0，π)，知<A＋<π，

解得A＋＝π，所以A＝.(9分)

由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝b2＋c2－bc.

所以16＝(b＋c)2－3bc，因为b＋c＝5，所以bc＝3.(12分)

所以S△ABC＝bcsinA＝.(14分)

题型四 运用正余弦定理研究三角形的综合性问题

知识点拨：主要研究三角形的基本量之间的关系以及面积周期的值或者范围等问题。

例4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（    ）

A．，，依次成等差数列

B．，，依次成等差数列

C．，，依次成等差数列

D．，，依次成等差数列

【答案】ABD

【解析】中，内角所对的边分别为，若，，依次成等差数列，
则：，
利用，
整理得：，
利用正弦和余弦定理得：，
整理得：，
即：依次成等差数列.

此时对等差数列的每一项取相同的运算得到数列，，或，，或，，，这些数列一般都不可能是等差数列，除非，但题目没有说是等边三角形，
故选：ABD.

变式1、（2020·山东新泰市第一中学高三月考），，分别为内角，，的对边.已知，且，则（    ）

A． B．

C．的周长为 D．的面积为

【答案】ABD

【解析】∵，

∴，

∴.

由余弦定理得，

整理得，又，

∴，.

周长为.

故的面积为.

故选：ABD.