优化提升专题训练（新高考） 等差数列与等比数列基本量的问题（含答案解析）学案

   等差数列与等比数列基本量的问题

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则

A．16  B．8 

C．4  D．2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

2、【2018年高考全国I卷理数】设为等差数列的前项和，若，，则

A．            B．

C．            D．

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B．

3、【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=___________．

【答案】

【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，

所以所以．

4、【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________．

【答案】4

【解析】设等差数列{an}的公差为d,

因，所以，即，

所以．

5、【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________．

【答案】 0，.

【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,

由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.

6、【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是___________．

【答案】16

【解析】由题意可得：，

解得：，则.

7、【2018年高考全国I卷理数】记为数列的前项和，若，则___________．

【答案】

【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是.

8、【2018年高考北京卷理数】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为___________．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，

9、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】等比数列的公比，

和异号， ，故A正确；

但不能确定和的大小关系；故B不正确；

和异号，且且，

和中至少有一个数是负数，

又 ， ，故D正确，

一定是负数，即 ，故C不正确；

故选：AD

10、（多选题）（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是(    )

A．S2019<S2020 B．

C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值

【答案】AB

【解析】

当时，，不成立；

当时，，不成立；

故，且，故，正确；

，故正确；

是数列中的最大值，错误；

故选：

11、（恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中  襄阳三中）已知数列的前项和为，.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，求数

【解析】（1）对任意的，，则且，

所以，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列；

（2）由（1）可得，.

当时，，也适合上式，

所以，.

所以

【问题探究，变式训练】

题型一、等差数列与等比数列的基本量

例1、【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则

A．  B． 

C．  D．

【答案】A

【解析】由题知，，解得，∴，,故选A．

变式1、【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

【答案】C

【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，

则是以9为首项，9为公差的等差数列，，

设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为，因为下层比中层多729块，

所以，

即

即，解得，

所以.

故选：C

变式2、【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．

【答案】

【解析】因为，所以．

即．

故答案为：.

变式3、【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则

A． 当 B． 当

C． 当 D． 当

【答案】A

【解析】①当b=0时，取a=0，则.

②当时，令，即.

则该方程，即必存在，使得，

则一定存在，使得对任意成立，

解方程，得，

当时，即时，总存在，使得，

故C、D两项均不正确.

③当时，，

则，

.

（ⅰ）当时，，

则，

，

，

则，

，

故A项正确.

（ⅱ）当时，令，则，

所以，以此类推，

所以，

故B项不正确.

故本题正确答案为A.

变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知数列中，，()，则等于（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】∵，()，
，
，
，
，
…，
∴数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故选：A.

题型二、等差数列与等比数列的性质

例2、【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是

A．    B． 

C．   D．

【答案】D

【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；

对于B，由题意可知，，，

∴，，，．

∴，．

根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；

对于C，，

当时，，C正确；

对于D，，，

．

当时，，∴即；

当时，，∴即，所以，D不正确．

故选：D.

变式1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题：

①数列{|an|}是等比数列；　　　　②数列{anan＋1}是等比数列； 

③数列是等比数列；  ④数列{lga}是等比数列．

其中正确的命题有________个．

【答案】. 3

【解析】设等比数列{an}的公比为q，对于①中数列{|an|}，＝q，且首项|a1|≠0，所以为等比数列；对于②中数列，＝q2，且首项a1a2≠0，所以为等比数列；对于③中数列，＝，且首项≠0，所以为等比数列， 对于④中数列，若a1＝1，则lga1＝0，所以不是等比数列．则正确的命题有3个，故答案为3.

变式2、(2018南京、盐城一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________．

【答案】 4034

【解析】　因为a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝1009a1009＝2018，所以a1009＝2，故S2017＝a1＋a2＋…＋a2017＝2017a1009＝4034.

变式3、(2018苏北四市期末）已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，a－a＝36，则a11的值为________．

【答案】 11　

【解析】设等差数列{an}的公差为d，由a－a＝36得6a5d＝18.由a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10得a5＝2，从而6d＝9，a11＝a5＋6d＝2＋9＝11.

题型三、等差数列与等比数列的证明与判断

例3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；

（2）求数列的前项和.

【解析】（1）证明：因为，

所以．

因为

所以

所以．

又，

所以是首项为，公比为2的等比数列，

所以．

（2）解：由（1）可得，

所以

．

变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，是和的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，证明数列是等比数列，并求的前n项和.

【解析】因为是和的等比中项，所以

设数列的首项为，公差为，则，

即，∵，∴①

，整理得②

（或，∴）

由①②解得

所以

（2）

因为

所以数列是以为首项，4为公比的等比数列

所以数列的前n项和为

变式2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.

（1）试问数列是否为等差数列？为什么？

（2）求数列的前项和.

【解析】（1），

.

，

为常数，

是等差数列.

（2），

.

变式3、(2016苏锡常镇调研（二））已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且对任意的正整数n，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常数λ>0.设bn＝ (n∈N*)﹒

(1) 若λ＝3，求数列的通项公式；

(2) 若λ≠1且λ≠3，设cn＝an＋×3n(n∈N*)，证明数列是等比数列；

【解析】 因为Sn＋1＝λSn＋3n＋1，n∈N*，

所以当n≥2时，Sn＝λSn－1＋3n，

从而an＋1＝λan＋2·3n，n≥2，n∈N*﹒

又在Sn＋1＝λSn＋3n＋1中，令n＝1，可得a2＝λa1＋2×31，满足上式，

所以an＋1＝λan＋2·3n, n∈N*﹒ (2分)

(1) 当λ＝3时， an＋1＝3an＋2·3n，n∈N*，

从而＝＋，即bn＋1－bn＝，

又b1＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，

所以bn＝.(4分)

(2) 当λ>0且λ≠3且λ≠1时，

cn＝an＋×3n＝λan－1＋2×3n－1＋×3n

  ＝λan－1＋×3n－1(λ－3＋3)

  ＝λ(an－1＋×3n－1)＝λ·cn－1, (7分)

 又c1＝3＋＝≠0，

所以是首项为，公比为λ的等比数列，

cn＝·λn－1﹒(8分)