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高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念获奖教案
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这是一份高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念获奖教案，共8页。教案主要包含了情景引入，探索新知，达标检测，小结，作业等内容，欢迎下载使用。
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等
1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
多媒体
本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用.因此,本课的目标应体现出这一地位。具体有如下三个方面:
(1)形成平面向量的概念,特别是要让学生体会“向量集形与数于一身的特征;
（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量
(3)通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路(思路)。
许多老师认为本课概念多但不难理解,多次观摩本课的教学,看到的大多是沉闷的课堂,教师讲得乏味,学生学得无趣,事实上,许多概念课都有这种弊端.有的老师可以把解题讲得头头是道,但概念教学就没词、没招了.我认为,概念再多也不能成为“讲起来枯燥乏味”的理由
让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾,激发认知冲突,把学生卷入其中;另方面要让学生有参与的时间与机会,特别是有思维的实质性参与课程目标
学科素养
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
D、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
E、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
1.数学抽象：平面向量的概念；
2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量；
3.直观想象：向量的几何表示；
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、情景引入
1. 老鼠以10m/s的速度向东跑，猫以50m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？
分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.
2.问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？
质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向。
二、探索新知
（一）向量的实际背景与概念
1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？
【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。
2.（1）向量与数量的定义：
既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量);
只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).
注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.
练习：下列量不是向量的是（ ）
质量 （2） 速度 （3） 位移 （4）力 （5）加速度
面积 （7）年龄 （8） 身高
【答案】（1）（6） （7） （8）
（二）向量的几何表示
探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？
1.有向线段的定义
A(起点)
B
（终点）
a
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.A(起点)
B
（终点）
a
A(起点)
B
（终点）
a
如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 .
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？
【答案】三个要素：起点、方向、长度.
向量的几何表示
画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
向量的表示方法：
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。
A(起点)
B
（终点）
a
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）.
注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向量.
（2）.有向线段与向量的区别：
有向线段：三要素：起点、大小、方向。
向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
4.向量的模
向量的大小，就是向量的长度（或模），记作或记作。
思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
【答案】可以为0,1，不能为负数。
5.零向量：长度为0的向量，记作.
单位向量：长度等于1个单位的向量.
说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向.
故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.
（2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.
例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）
（三）.相等向量与共线向量
思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？
【答案】模相等，方向相同； 模相等，方向不相同；
模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；
1.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
2.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
3.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
牛刀小试;
填空：
（1）平行向量是否一定方向相同？（ ）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（ ）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（ ）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（ ）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（ ）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（ ）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（ ）
【答案】（1）不一定 （2）不一定 (3零向量
（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同
（7）不一定
例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与向量、、相等的向量.
通过生动的例子及物理知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过物理量路程与位移引入向量概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
提高练习，进一步巩固向量的概念。
通过探究，引入向量表示，提高学生分析问题、概括能力。
通过思考，进一步理解向量的表示。
提高思考，引入特殊的向量，增强对概念的理解，提高学生分析问题的能力。
通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。
通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。
通过练习，进一步巩固所学的向量有关知识，提高学生解决问题的能力。
通过例题的讲解，让学生进一步理解共线向量、相等向量，提高学生解决与分析问题的能力。
三、达标检测
1．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量．
A．0B．1C．2D．3
【解析】 只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．
【答案】 B
2．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤
【解析】 由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确，故选D．
【答案】 D
3．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A．e1＝e2B．e1∥e2
C．|e1|＝|e2|D．以上都不对
【解析】 单位向量的模都等于1个单位，故C正确．
【答案】 C
4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．
【解析】 由向量的相关概念可知④⑥正确．
【答案】 ④⑥
5.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量．
【解】 由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的长度相等且方向相同，所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq \(DC,\s\up6(→))和eq \(ED,\s\up6(→)).
通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.向量及向量的有关概念、表示方法；
2还知道有两个特殊向量；
3.学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量
五、作业
习题6.1 2,3题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等
1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
多媒体
本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用.因此,本课的目标应体现出这一地位。具体有如下三个方面:
(1)形成平面向量的概念,特别是要让学生体会“向量集形与数于一身的特征;
（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量
(3)通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路(思路)。
许多老师认为本课概念多但不难理解,多次观摩本课的教学,看到的大多是沉闷的课堂,教师讲得乏味,学生学得无趣,事实上,许多概念课都有这种弊端.有的老师可以把解题讲得头头是道,但概念教学就没词、没招了.我认为,概念再多也不能成为“讲起来枯燥乏味”的理由
让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾,激发认知冲突,把学生卷入其中;另方面要让学生有参与的时间与机会,特别是有思维的实质性参与课程目标
学科素养
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
D、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
E、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
1.数学抽象：平面向量的概念；
2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量；
3.直观想象：向量的几何表示；
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、情景引入
1. 老鼠以10m/s的速度向东跑，猫以50m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？
分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.
2.问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？
质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向。
二、探索新知
（一）向量的实际背景与概念
1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？
【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。
2.（1）向量与数量的定义：
既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量);
只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).
注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.
练习：下列量不是向量的是（ ）
质量 （2） 速度 （3） 位移 （4）力 （5）加速度
面积 （7）年龄 （8） 身高
【答案】（1）（6） （7） （8）
（二）向量的几何表示
探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？
1.有向线段的定义
A(起点)
B
（终点）
a
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.A(起点)
B
（终点）
a
A(起点)
B
（终点）
a
如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 .
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？
【答案】三个要素：起点、方向、长度.
向量的几何表示
画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
向量的表示方法：
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。
A(起点)
B
（终点）
a
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）.
注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向量.
（2）.有向线段与向量的区别：
有向线段：三要素：起点、大小、方向。
向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
4.向量的模
向量的大小，就是向量的长度（或模），记作或记作。
思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
【答案】可以为0,1，不能为负数。
5.零向量：长度为0的向量，记作.
单位向量：长度等于1个单位的向量.
说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向.
故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.
（2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.
例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）
（三）.相等向量与共线向量
思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？
【答案】模相等，方向相同； 模相等，方向不相同；
模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；
1.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
2.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
3.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
牛刀小试;
填空：
（1）平行向量是否一定方向相同？（ ）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（ ）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（ ）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（ ）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（ ）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（ ）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（ ）
【答案】（1）不一定 （2）不一定 (3零向量
（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同
（7）不一定
例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与向量、、相等的向量.
通过生动的例子及物理知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过物理量路程与位移引入向量概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
提高练习，进一步巩固向量的概念。
通过探究，引入向量表示，提高学生分析问题、概括能力。
通过思考，进一步理解向量的表示。
提高思考，引入特殊的向量，增强对概念的理解，提高学生分析问题的能力。
通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。
通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。
通过练习，进一步巩固所学的向量有关知识，提高学生解决问题的能力。
通过例题的讲解，让学生进一步理解共线向量、相等向量，提高学生解决与分析问题的能力。
三、达标检测
1．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量．
A．0B．1C．2D．3
【解析】 只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．
【答案】 B
2．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤
【解析】 由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确，故选D．
【答案】 D
3．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A．e1＝e2B．e1∥e2
C．|e1|＝|e2|D．以上都不对
【解析】 单位向量的模都等于1个单位，故C正确．
【答案】 C
4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．
【解析】 由向量的相关概念可知④⑥正确．
【答案】 ④⑥
5.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量．
【解】 由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的长度相等且方向相同，所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq \(DC,\s\up6(→))和eq \(ED,\s\up6(→)).
通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.向量及向量的有关概念、表示方法；
2还知道有两个特殊向量；
3.学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量
五、作业
习题6.1 2,3题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
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