课时跟踪检测（十五） 复数的加、减运算及其几何意义

这是一份课时跟踪检测（十五） 复数的加、减运算及其几何意义，共5页。试卷主要包含了故选A.，计算等内容，欢迎下载使用。

1．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：选A 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋4＝0，,a＋3＝0，,4－b≠0，))解得a＝－3，b＝－4.故选A.
2．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
解析：选A 由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A.
3．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2eq \r(2)，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于( )
A．1 B. eq \f(1,2)
C．2 D．2eq \r(2)
解析：选D 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2eq \r(2).故选D.
4．已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( )
A．12 B．3
C．3eq \r(17) D．9
解析：选C 由题意知z＝7－i－(2i－5)＝12－3i，
∴|z|＝ eq \r(122＋－32)＝3eq \r(17).故选C.
5．设向量eq \(OP,\s\up7(―→))，eq \(PQ,\s\up7(―→))，eq \(OQ,\s\up7(―→))对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( )
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
解析：选D ∵eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(PQ,\s\up7(―→))＝eq \(OQ,\s\up7(―→))，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.故选D.
6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ eq \r(32＋42)＝5.
答案：5
7．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1.
答案：－1
8．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量eq \(OA,\s\up7(―→))和eq \(OB,\s\up7(―→))，其中O为坐标原点，则|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝________.
解析：由题意eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))，∴eq \(AB,\s\up7(―→))对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝2.
答案：2
9．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)
＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.
(2)原式＝(－1＋i)＋eq \r(0＋12)＋(1＋i)
＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝5，,2－y＝－6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝8.))
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
B级——面向全国卷高考高分练
1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.故选D.
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z( )
A．在实轴上 B．在虚轴上
C．在第一象限 D．在第二象限
解析：选B 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋1|得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化简得：x＝0.故选B.
3．若|z|＋z＝3＋i，则z等于( )
A．1－eq \f(4,3)i B．1＋eq \f(4,3)i
C.eq \f(4,3)＋i D．－eq \f(4,3)＋i
解析：选C 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|＋z＝3＋i得eq \r(x2＋y2)＋x＋yi＝3＋i，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x2＋y2)＋x＝3，,y＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝1.))所以z＝eq \f(4,3)＋i.故选C.
4．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．故选A.
5．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
解析：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又z＝13－2i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－3y＝13，,x＋4y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
答案：5－9i －8－7i
6．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋eq \f(a,2)i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.
解析：因为eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))，所以2＋eq \f(a,2)i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－b＝－2a，,\f(a,2)＋a＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝6.))
故a－b＝－4.
答案：－4
7.复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
因为eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(OD,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))，
所以eq \(AD,\s\up7(―→))对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，
因为eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))，
所以eq \(BC,\s\up7(―→))对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
因为eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，所以它们对应的复数相等，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝1，,y－2＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
故点D对应的复数为2－i.
C级——拓展探索性题目应用练
已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量eq \(BA,\s\up7(―→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up7(―→))对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)∵向量eq \(BA,\s\up7(―→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up7(―→))对应的复数为3－i，
∴向量eq \(AC,\s\up7(―→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，
∴向量eq \(AD,\s\up7(―→))对应的复数为3－i，
即eq \(AD,\s\up7(―→))＝(3，－1)．设D(x，y)，
则eq \(AD,\s\up7(―→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝0.))
∴点D对应的复数为5.
(2)∵eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝|eq \(BA,\s\up7(―→))||eq \(BC,\s\up7(―→))|cs B，
∴cs B＝eq \f(\(BA,\s\up7(―→))·\(BC,\s\up7(―→)),|\(BA,\s\up7(―→))||\(BC,\s\up7(―→))|)＝eq \f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq \f(\r(2),10).
∵0∴S四边形ABCD＝|eq \(BA,\s\up7(―→))||eq \(BC,\s\up7(―→))|sin B＝eq \r(5)×eq \r(10)×eq \f(7\r(2),10)＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.