课时跟踪检测（三十一） 直线与平面垂直的判定

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1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：选A ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．故选A.
2．正方体ABCD­A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB1
解析：选D ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1. 故选D.
3.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：选A ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cs∠ABO＝eq \f(1,2)， 即∠ABO＝60°.故选A.
4．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
解析：选D 如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.
5．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于( )
A．20° B．70°
C．90° D．110°
解析：选B ∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.
6．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________．
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形．
答案：4
7．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
解析：如图所示，连接B1D1.
则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq \f(BB1,B1D1)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
8.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1∥DF.由已知可得A1B1＝eq \r(2)，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝eq \f(1,2)h.
又2×eq \r(2)＝h eq \r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq \f(2 \r(3),3)，DE＝eq \f(\r(3),3).
在Rt△DB1E中，B1E＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(6),6).
在Rt△DB1F中，由面积相等得eq \f(\r(6),6)×eq \r( x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)x，
解得x＝eq \f(1,2).
即线段B1F的长为eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq \r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，所以EF⊥PC.
又BP＝ eq \r(AP2＋AB2)＝2eq \r(2)＝BC，
F是PC的中点，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，
所以PC⊥平面BEF.
10.如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．
求证：(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
证明：(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以CD⊥AA1.
(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A⊂平面A1B1BA，
所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA，
所以CD⊥AB1.
又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CED，
所以AB1⊥平面CED.
B级——面向全国卷高考高分练
1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：选B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．故选B.
2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
解析：选C 如图，连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．故选C.
3.如图，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )
A．A1D B．AA1
C．A1D1 D．A1C1
解析：选D 由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1⊂平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.故选D.
4．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
解析：选A 原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，所以AH⊥△EFH所在平面．故选A.
5．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：如图，连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝eq \r(5)，则tan∠FEB＝eq \f(\r(5),5).
答案：eq \f(\r(5),5)
6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是______________．
解析：BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
答案：线段B1C
7.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．
解：取AC的中点E，连接BE，DE.由题意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圆的直径，
∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC.
∵AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，∴CD⊥BE.
∵AB＝BC＝2，AB⊥BC，∴BE⊥AC且BE＝eq \r(2)，
又AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，
∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，
又BD＝eq \r(2)BC＝2eq \r(2)，
∴sin∠BDE＝eq \f(BE,BD)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴∠BDE＝30°，即BD与平面ACD所成的角为30°.
C级——拓展探索性题目应用练
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
解：如图，连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，
∴AB1⊥平面A1BCD1.
又D1E⊂平面A1BCD1，
∴AB1⊥D1E.
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.