2021学年第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.2 向量数量积的运算律评优课课件ppt

8.1.2 向量数量积的运算律

本节课是人教B版必修3第八章的第二课时，上节课学习了向量的数量积的定义及基本性质，并做了简单的运算。学生对运算的意义的理解，通过集合运算、向量的加法、减法、数乘运算，已突破了算术运算的框架。学生在形式上已接受了数量积的定义，但还是向学生说明，之所以定义这种运算，是因为它具有一套优良的运算律。认真证明分配律，解释分配律的几何意义，为用分配律解集合题打下坚实的基础。本节课通过经历探究过程，掌握向量数量积的运算律及几何意义，特别是分配律的几何意义，两个向量和的投影等于各向量投影之和；通过向量运算律的探究，会用运算律证明简单的几何问题；通过问题的解决，培养学生观察问题，分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生观察问题，分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识，合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力。

【教学重点】

掌握数量积的运算律及几何意义，利用数量积求模、求夹角，利用向量数量积判断两个向量的垂直关系以及其他相关应用问题

【教学难点】

数量积的运算律的几何意义，数量积的应用

引入：

当是两个非零向量时，因为，所以根据

，

可知，即向量的数量积满足交换律。

当是实数且是向量时，是向量，与都是实数，那么这两个实数相等吗？

事实上，当都是非零向量且时，

（1）如果，则，且的方向与的方向相同，从而，

因此：

（2）如果，则，且的方向与的方向相反，从而，

因此：

当中至少有一个是零向量或时，显然有

用同样的方法可以得到.

因为是向量时，仍是向量，因此都是实数，而且，从形式上可以猜出

也就是向量的数量积对加法满足分配率。

当中至少有一个是零向量时，分配率显然成立，因此下面只要说明都不是零向量的情形即可。 此时，设，即是与同向的单位向量。

如图所示，设点O与都在直线l上，且，则。

过A，B分别作直线l的垂线，则由向量投影的定义可知，在上的投影为，在上的投影为，又因为

所以根据向量数量积的几何意义可知

在这个式子两边同时乘以，即可知

由向量数量积满足以上的运算律还可以得到：

，

新知新学：

向量数量积的运算律

1．交换律：a·b＝b·a.

2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).

3．对加法满足分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c，

推广结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

【对点快练】

1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　)

A．－2　　 B．－1　　

C．1　　　 D．2

答案：B　因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.

2．对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(　　)

A．|a·b|＝|a||b|　　 B．|a＋b|＝|a|＋|b|

C．(a·b)c＝a(b·c)　　 D．|a|＝

答案：D　因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为(a·b)c是向量，且与向量c共线，a(b·c)是向量，且与向量a共线，所以C错误；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以，|a|＝，所以D正确．

例1.求证：

（1）；   （2）

证明：（1）

(2)

类似的，还可以证明。

【变式练习】

已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝5，向量a，b的夹角是120°，a，c的夹角是45°.求：

(1)a·b；

(2)(a－2b)·(3a＋b)；

(3)a·(a－4b＋c)．

解　(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6.

(2)(a－2b)·(3a＋b)＝3a2＋a·b－6a·b－2b2＝3|a|2－5a·b－2|b|2＝3×32－5×3×4×cos 120°－2×42＝25.

(3)a·(a－4b＋c)＝a2－4a·b＋a·c＝|a|2－4|a||b|cos 120°＋|a||c|cos 45°

＝32－4×3×4×＋×3×5×＝48.

例2.（1）已知，求；

（2）已知，求。

解：（1）由题意可知，

所以

因此.

(2)由题意可知即，因此

，

因此。

【变式练习1】

已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：

(1)|a＋b|；

(2)|(a＋b)·(a－2b)|.

解　由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.

(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2.

(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.

【变式练习2】

若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为(　　)

A．2　　　 B．4　　　

C．6　　　 D．12

答案：C　∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，

∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6

例3. (1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，若(2a＋b)⊥(a＋λb)，则λ＝____________.

（2）已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，则b与a＋b的夹角是____________．

答案：(1)－　[∵(2a＋b)⊥(a＋λb)，

∴(2a＋b)·(a＋λb)＝0，

∴2a2＋2λa·b＋a·b＋λb2＝0.

∵|a|＝|b|＝1，且a与b的夹角为，

∴2＋λ＋＋λ＝0.

∴λ＝.]

(2)30°　[由|a|＝|b|，得|a|2＝|b|2，

又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，

所以a·b＝|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，

所以|a＋b|＝|a|.设b与a＋b的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝，又0≤θ≤180°，所以θ＝30°.]

【变式练习】

平面内三个向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则向量a，b的夹角大小是____________．

答案：　设向量a与b夹角为θ，∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，

∴(a＋b)2＝(－c)2即a2＋2a·b＋b2＝c2，亦即2＋2cos θ＝3，

∴cos θ＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

例4.利用向量证明菱形的两条对角线互相垂直。

如图所示，已知是菱形，AC与BD是两条对角线，求证：。

证明：由已知可得：，

所以：

又因为ABCD为菱形，所以，即，

因此，从而.

例5.利用向量证明三角形的三条高相交于一点。

如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接AO并延长，与BC相交于点D，求证：。

证明：因为，所以即

因此，    （1）

又因为所以即

因此，    (2)

由（1）-（2）可得：，因此

从而，故，即。

【变式练习1】

如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝，＝.

(1)用a，b表示；

(2)若|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，分别求||和·的值．

解　(1)＝－＝－＝－＋＝－a＋b.

(2)因为|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，

所以||2＝2＝|b|2－a·b＋|a|2＝－×1×4×cos 60°＋＝.

所以||＝.

·＝(a＋b)·＝|a|2＋a·b－|b|2＝＋×1×4×cos 60°－＝－4.

【变式练习2】

如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.

证明　·＝(＋)·(＋)

＝·

＝·

＝·

＝－||2＋||2.

因为CA＝CB，所以－||2＋||2＝0，故AD⊥CE. 

小结：

1．向量数量积的运算律

2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．