初中数学苏科版七年级上册6.5 垂直学案

这是一份初中数学苏科版七年级上册6.5 垂直学案，共12页。学案主要包含了学习目标，重点难点，导学指导等内容，欢迎下载使用。

1、在具体情境中进一步丰富对两条直线相互垂直的认识，会用符号表示两条直线相互垂直.
2、会用三角尺、量角器、方格纸画垂线，并在操作、思考活动中探索垂线的基本性质.
【重点难点】会用三角尺、量角器、方格纸画垂线，并在操作活动中探索、了解垂线的基本性质
【导学指导】：
一、自主学习
1.观察思考： 如果将两根木棒看作是两条相交的直线，在旋转过程中有哪些量在发生变化？会不会出现四个角都相等的特殊时刻？这时四个角相等，都是多少度呢？
2.形成概念：
（1）垂直的定义：
如图1，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直， 记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言．
（2）垂直定义的应用：
（1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则AB⊥CD．
这个推理过程可表示为：

（2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90
这个推理过程可表示为：

3.实践操作
(1) 已知直线a与直线a外一点P，过点P画直线a的垂线。这样的直线能画几条？

(2) 已知直线a与直线a上一点Q，过点Q画直线a的垂线。这样的直线能画几条？
垂线性质一：过一点 与已知直线垂直。
二、例题评析：
1．在下面的方格纸中经过点C画与线段AB互相平行的直线l1，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线l2．
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，求∠NOD．
（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC与∠MOD．
三、巩固知识
[典型问题]
1、(1)在图①中,过AB外一点M作AB的垂线;
(2)在图②中,过点A，B分别作OB ，OA的垂线。

① ②
2.如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥CD,垂足为O,OC平分∠AOE,∠BOD=280，
求 = 1 \* GB3 ①∠AOM、∠BOE的度数. = 2 \* GB3 ②指出图中∠AOM的余角.
四基训练
1、如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条

2、如图，直线AB、CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是( )
A．∠AOD＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠BOC＋∠BOD＝180° D．∠AOC＋∠BOD＝180°

3、在同一平面内，下列语句正确的是( )
A.过一点有无数条直线与已知直线垂直 B.和一条直线垂直的直线有两条
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.两直线相交,则一定垂直
4、在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，于点，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6.如图,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O.若∠1=145° ,则∠3的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
7.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为____
8.如图,直线EO⊥CD ,垂足为O,AB平分∠EOD,则∠BOD的度数为 。
9.已知，如图所示，三条直线AB．CD．EF相交于点O，且，，若OG平分，则__________．
10.如图，直线与直线相交于点，⊥垂足为，∠则∠=___．
11.如图,直线AB,CD相交于点O,0M⊥AB.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;
(2)若∠1= eq \f(1,2) ∠AOC,求∠BOC和∠MOD的度数.
拓展提升
12．如图，点O是直线AB、CD的交点，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的平分线．
（1）填空：
①由OM是∠BOF的平分线，可得∠FOM=∠ ；
②若∠AOC=34°，则∠BOD= 度；
③根据 ，可得∠EOF=∠AOC；
（2）若∠AOC=α，求∠COM．（用含α的代数式表示，并写出过程）
答案：
一、自主学习
1.观察思考： 如果将两根木棒看作是两条相交的直线，在旋转过程中有哪些量在发生变化？会不会出现四个角都相等的特殊时刻？这时四个角相等，都是多少度呢？
答：会出现四个角都相等的特殊时刻，这时四个角相等，都是90度.
2.形成概念：
（1）垂直的定义：
如图1，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直， 记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言．
（2）垂直定义的应用：
（1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则AB⊥CD．
这个推理过程可表示为： ∵∠BOC＝90°
∴AB⊥CD
（2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90
这个推理过程可表示为： ∵AB⊥CD
∴∠BOC＝90°
3.实践操作
(1) 已知直线a与直线a外一点P，过点P画直线a的垂线。这样的直线能画几条？

(2) 已知直线a与直线a上一点Q，过点Q画直线a的垂线。这样的直线能画几条？

垂线性质一：过一点 有一条而且只有一条直线 与已知直线垂直。
二、例题评析：
1．在下面的方格纸中经过点C画与线段AB互相平行的直线l1，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线l2．
解：如图所示，
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，求∠NOD．
（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC与∠MOD．
解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠NOC=∠2+∠AOC=90°，
∴∠NOD=180°﹣∠NOC=180°﹣90°=90°；
（2）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°，
∵∠1=∠BOC，
∴∠BOC=∠1+90°=3∠1，
解得∠1=45°，
∠AOC=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，
∠MOD=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°．
三、巩固知识
[典型问题]
1、(1)在图①中,过AB外一点M作AB的垂线;
(2)在图②中,过点A，B分别作OB ，OA的垂线。

① ②
解: (1) 如图①所示。(2)如图②所示。

2.如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥CD,垂足为O,OC平分∠AOE,∠BOD=280，
求 = 1 \* GB3 ①∠AOM、∠BOE的度数. = 2 \* GB3 ②指出图中∠AOM的余角.
解： = 1 \* GB3 ①∵OM⊥CD
∴∠DOM=900
∴∠AOM=1800-∠DOM-∠BOD=1800-900-280=620
∵ ∠BOD、∠COA是对顶角
∴∠BOD=∠COA=280
∵OC平分∠AOE
∴∠AOE=2∠COA=560
∴∠BOE=1800-∠AOE=1240
= 2 \* GB3 ②∠AOM的余角: ∠BOD, ∠COA, ∠COE
四基训练
1、如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（ D ）
A．4条B．3条C．2条D．1条

2、如图，直线AB、CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是( C )
A．∠AOD＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠BOC＋∠BOD＝180° D．∠AOC＋∠BOD＝180°

3、在同一平面内，下列语句正确的是( C )
A.过一点有无数条直线与已知直线垂直 B.和一条直线垂直的直线有两条
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.两直线相交,则一定垂直
4、在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线时，有一部分同学画出下列四种图形，
请你数一数，错误的个数为( C )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，于点，，若，则等于（ D ）
A．B．C．D．
6.如图,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O.若∠1=145° ,则∠3的度数为( C )
A.35° B.45° C.55° D.65°
7.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为_55°___
8.如图,直线EO⊥CD ,垂足为O,AB平分∠EOD,则∠BOD的度数为 135° 。
9.已知，如图所示，三条直线AB．CD．EF相交于点O，且，，若OG平分，则___________．
10.如图，直线与直线相交于点，⊥垂足为，∠则∠=__120°__．
11.如图,直线AB,CD相交于点O,0M⊥AB.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;
(2)若∠1= eq \f(1,2) ∠AOC,求∠BOC和∠MOD的度数.
解: (1)因为OM⊥AB.
所以∠AOM=∠BOM=90°，
所以∠1+∠AOC=90°.
因为∠1=∠2.
所以∠2+∠AOC= 90°，即∠CON=90°，
所以∠NOD=180°一∠CON=90°.
(2)设∠1=x°，则∠AOC=2x°，∠AOM=∠1+∠AOC=3x°.
因为∠AOM= 90° ,即3x°= 90°所以x=30，所以∠1=30°，
所以∠BOC=∠1+∠BOM=120°，∠MOD=180°-∠1=150°.
拓展提升
12．如图，点O是直线AB、CD的交点，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的平分线．
（1）填空：
①由OM是∠BOF的平分线，可得∠FOM=∠ BOM ；
②若∠AOC=34°，则∠BOD= 34 度；
③根据 同角的余角相等 ，可得∠EOF=∠AOC；
（2）若∠AOC=α，求∠COM．（用含α的代数式表示，并写出过程）
解：（1）①由OM是∠BOF的平分线，可得∠FOM=∠BOM；
②若∠AOC=34°，则∠BOD=34度；
③根据同角的余角相等，可得∠EOF=∠AOC；
故答案为：∠BOM，34，同角的余角相等；
（2）∵∠AOC=α，
∴∠BOD=∠AOC=α，
∵OF⊥CD，
∴∠BOF=90°﹣∠BOD=90°﹣α，
∵OM是∠BOF的平分线，
∴∠MOF=∠BOF=45°﹣α，
∵OF⊥CD，
∴∠COM=90°+∠MOF
=90°+45°﹣α
=135°﹣α．