高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用优秀教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用优秀教案，共22页。教案主要包含了课前基础演练，变式探究，解题策略，跟踪训练，补偿训练，题组训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。

编号：009 课题:§9.4 向量的应用
目标要求
1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题．
2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用．
3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用．
4、理解并掌握向量在物理中的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量在平面几何计算问题中的应用；
难点：向量在物理中的应用．
教学过程
基础知识点
1.用向量方法解决平面几何问题
(1)“三步曲”:
①建立平面几何与向量的联系,用____________表示问题中涉及的几何元素,将平面几
何问题转化为_________________;
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如__________、___________等问题;
③把运算结果“翻译”成_______________.
(2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.
(3)应用(其中):
①证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:;
②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:;
③求夹角问题,用夹角公式:(θ为与的夹角);
④计算线段长度,常用模长公式:.
【思考】 联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?

2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有_____________________等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的___________和___________中.
(3)动量mv是向量的____________运算.
(4)功是__________与____________的数量积.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 若△ABC是直角三角形,则有.
B. 若，则直线AB与CD平行.
C. 求力和的合力可利用向量加法的平行四边形法则.
D. 已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为梯形.

题2.若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是 ( )
A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形

题3.在平面直角坐标系中,力作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力对物体作的功为________.

关键能力·合作学习
类型一 向量在平面几何证明问题中的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】题4.已知点O,P在△ABC所在平面内,且，则点O,P依次是△ABC的 ( )
A.重心,垂心 B.重心,内心 C.外心,垂心 D.外心,内心

题5.四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量方法证明:PA=EF.


【变式探究】
题6.若O是△ABC内一点,，则O为△ABC的 ( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心


【解题策略】
利用向量证明问题
(1)常见的利用向量证明的问题.
①利用向量共线定理证明线段平行或点共线;
②利用向量的模证明线段相等;
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法.
①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明;
②坐标法:先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
【跟踪训练】
题7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.


【补偿训练】
题8.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.
求证:AD⊥CE.


类型二 向量在平面几何计算问题中的应用(数学运算)
【典例】
题9.如图所示,在矩形ABCD中,,垂足为E,求ED的长.



【解题策略】
1.用向量方法求长度的策略
(1)利用图形特点选择基底、向量的数量积转化,用公式求解;
(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若,则.
2.向量数量积、夹角的计算
利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.
【跟踪训练】
题10.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.

【补偿训练】
题11.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.


类型三 向量在物理中的应用(数学建模)
角度1 矢量分解合成问题
【典例】题12.如图,用两根分别长5 米和10米的绳子,将100 N的物体吊在水平屋顶
AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略
不计).


角度2 做功问题
【典例】题13.已知力(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力的作用在动摩擦因数μ=0.02 的水平面上运动了20 m.问力和摩擦力所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)


【解题策略】
用向量方法解决物理问题的步骤
(1)把物理问题中的相关量用向量表示;
(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
(3)结果还原为物理问题.
【题组训练】
题14.若物体在共点力的作用下产生位移,则共点力对物体所做的功W为 ( )
A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2

题15.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处, 船速为,水速为,则船
行到B处时,行驶速度的大小为 ( )
A. B. C. D.

【补偿训练】
题16.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中N,方向为北偏东30°;,方向为北偏东60°; ,方向为北偏西30°,求合力所做的功.


课堂检测·素养达标
题17.如图所示,一力作用在小车上,其中力的大小为10 N,方向与水平面成60°角,
当小车向前运动10米,则力做的功为 ( )
A.100焦耳 B.50焦耳 C.焦耳 D.200焦耳

题18.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

题19.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 ( )
A. B. C. D.

题20.某人从点O向正东走30 m到达点A,再向正北走m到达点B,则此人的位移
的大小是________m,方向是北偏东________.

题21.如图,正方形ABCD中的边长为a,E,F分别为AB,BC的中点,AF与DE交于点M.求∠EMF.




编号：009 课题:§9.4 向量的应用
目标要求
1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题．
2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用．
3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用．
4、理解并掌握向量在物理中的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量在平面几何计算问题中的应用；
难点：向量在物理中的应用．
教学过程
基础知识点
1.用向量方法解决平面几何问题
(1)“三步曲”:
①建立平面几何与向量的联系,用__向量___表示问题中涉及的几何元素,将平面几
何问题转化为___向量问题______;
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如__距离___、__夹角___等问题;
③把运算结果“翻译”成____几何关系_____.
(2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.
(3)应用(其中):
①证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:;
②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:;
③求夹角问题,用夹角公式:(θ为与的夹角);
④计算线段长度,常用模长公式:.
【思考】 联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?
提示:两种思路:一种思路是选择一个基底(选择的基底的长度和夹角应该是已知的,这样方便计算),利用基向量表示涉及的向量;另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.
2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有______力、速度、位移_________等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的__合成___和__分解___中.
(3)动量mv是向量的___数乘__运算.
(4)功是__力__与__位移__的数量积.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 若△ABC是直角三角形,则有.
B. 若，则直线AB与CD平行.
C. 求力和的合力可利用向量加法的平行四边形法则.
D. 已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为梯形.
【答案】选CD
提示:A×.因为△ABC为直角三角形,B并不一定是直角,有可能是A或C为直角.
B×.向量 时,直线AB∥CD或AB与CD重合.
C√.物理中的力既有大小又有方向,所以力可以看作向量,求和的合力可利用向量加法的平行四边形法则.
D√.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),所以，即，且，所以此四边形为梯形.
题2.若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是 ( )
A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【解析】选C.由，得平面四边形ABCD是平行四边形,由，得，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,则该四边形一定是菱形.
题3.在平面直角坐标系中,力作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力对物体作的功为________.
【解析】根据题意,力对物体作的功.
答案:4
关键能力·合作学习
类型一 向量在平面几何证明问题中的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】题4.已知点O,P在△ABC所在平面内,且，则点O,P依次是△ABC的 ( )
A.重心,垂心 B.重心,内心 C.外心,垂心 D.外心,内心
【思路导引】注意三角形的外心到三个顶点距离相等、内心到三边距离相等、垂心是高所在直线的交点、重心是中线的交点.
【解析】选C.由，知点O为△ABC的外心.
因为，所以，所以,所以,所以CA⊥PB.同理,PA⊥CB,所以点P为△ABC的垂心.
题5.四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量方法证明:PA=EF.

【思路导引】建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算证明.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,DP=λ(0<λ<),则A(0,1),



【变式探究】
题6.若O是△ABC内一点,，则O为△ABC的 ( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

【解析】选D.如图,取AB的中点E,连接OE, 则，又，
所以，又O为公共点,所以O,C,E三点共线,且，
所以O为△ABC的重心.
【解题策略】
利用向量证明问题
(1)常见的利用向量证明的问题.
①利用向量共线定理证明线段平行或点共线;
②利用向量的模证明线段相等;
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法.
①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明;
②坐标法:先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
【跟踪训练】
题7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.
【证明】方法一:因为∠CDA=∠DAB=90°,AB∥CD,CD=DA=AB,
故可设,则.
所以.
而.
所以，即.
方法二:如图,建立平面直角坐标系,

设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).
所以(-1,1),(1,1).所以(-1,1)·(1,1)=-1+1=0.
所以AC⊥BC.
【补偿训练】
题8.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.
求证:AD⊥CE.
【证明】如图所示,以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面
直角坐标系.设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D,

所以，所以，所以AD⊥CE.
类型二 向量在平面几何计算问题中的应用(数学运算)
【典例】
题9.如图所示,在矩形ABCD中,,垂足为E,求ED的长.


【解题策略】
1.用向量方法求长度的策略
(1)利用图形特点选择基底、向量的数量积转化,用公式求解;
(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若,则.
2.向量数量积、夹角的计算
利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.
【跟踪训练】
题10.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
【解析】如图,分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立
平面直角坐标系,

设A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),所以,
不妨设的夹角为θ,则.
故所求钝角的余弦值为.
【补偿训练】
题11.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.

【解析】设，，
而，
所以，所以，又， 所以，即.
类型三 向量在物理中的应用(数学建模)
角度1 矢量分解合成问题
【典例】题12.如图,用两根分别长5 米和10米的绳子,将100 N的物体吊在水平屋顶
AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略
不计).

【思路导引】画图分析A处所受力,B处所受力,物体的重力这三个力的关系.
【解析】如图,由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角,BG与铅垂方向成60°角.
设A处所受力为处所受力为,物体的重力为G,
因为∠EGC=60°,∠EGD=45°,
则有，且
由①②解得,所以A处所受力的大小为.

角度2 做功问题
【典例】题13.已知力(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力的作用在动摩擦因数μ=0.02 的水平面上运动了20 m.问力和摩擦力所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)
【思路导引】解答本题首先要确定摩擦力f的大小及其与位移所成的角,然后利用向量数量积运算求值.
【解析】如图所示,设木块的位移为,
(J).
将力分解,它在铅垂方向上的分力的大小为
,所以摩擦力的大小为
(N),
因此(J).
即和所做的功分别为J和-22 J.

【解题策略】
用向量方法解决物理问题的步骤
(1)把物理问题中的相关量用向量表示;
(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
(3)结果还原为物理问题.
【题组训练】
题14.若物体在共点力的作用下产生位移,则共点力对物体所做的功W为 ( )
A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2
【解析】选D. .
题15.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处, 船速为,水速为 ,则船
行到B处时,行驶速度的大小为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.如图,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,
可得,所以.

【补偿训练】
题16.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中N,方向为北偏东30°;,方向为北偏东60°; ,方向为北偏西30°,求合力所做的功.

【解析】以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,
则,所以.
又,故.
合力所做的功为J.

课堂检测·素养达标
题17.如图所示,一力作用在小车上,其中力的大小为10 N,方向与水平面成60°角,
当小车向前运动10米,则力做的功为 ( )
A.100焦耳 B.50焦耳 C.焦耳 D.200焦耳
【解析】选B.设小车的位移为,则米, (焦耳).

题18.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【解析】选A.由题意得,所以，
所以四边形为梯形.
题19.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. BC中点为，所以.
题20.某人从点O向正东走30 m到达点A,再向正北走m到达点B,则此人的位移
的大小是________m,方向是北偏东________.
【解析】如图所示,此人的位移是,且，则(m)，，

所以∠BOA=60°.所以方向为北偏东30°.
答案:60 30°
题21.如图,正方形ABCD中的边长为a,E,F分别为AB,BC的中点,AF与DE交于点M.求∠EMF.

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,因为正方形ABCD的边长为a,所以
，
因为，所以，即AF⊥DE.所以∠EMF=90°.