高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第12章 复数12.4 复数的三角形式优秀教案设计

编号：022     课题:§12.2.1  复数的加减运算

目标要求

1、理解并掌握复数加减法的运算法则及加法运算律．

2、理解并掌握复数的加、减法运算．

3、理解并掌握利用复数的加、减法运算求参数．

4、理解并掌握复数加、减法法则与其他知识的结合.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：利用复数的加、减法运算求参数；

难点：复数加、减法法则与其他知识的结合．

教学过程

基础知识点

复数加、减法的运算法则及加法运算律

(1)加、减法的运算法则

设是任意两个复数,则.

即:两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).

提示:两个复数的加减仍是一个复数;复数的加法、减法可以推广到多个复数相加或相减;

(2)加法运算律

对任意,有

①交换律:.

②结合律:.

【思考】

若复数满足,能否认为?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 两个虚数的和或差可能是实数.

B. 复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.

C. 复数的减法不满足.

D. 两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减.

题2.已知复数,则等于         (     )

A.8i             B.6             C.6+8i         D.6-8i

题3.计算:(5-5i)+(-2-i)-(3+4i)=__________.

关键能力·合作学习

类型一 复数的加、减法运算(数学运算)

【题组训练】

题4.(2+i)+(3+i)=       (      )

A.5+2i   B.5+5i  C.6+i  D.6+5i

题5.已知z+3-2i=4+i,则z等于    (     )

A.1+i          B.1+3i         C.-1-i          D.-1-3i

题6.计算:

(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i);

(2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i);

(3)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a,b∈).

【补偿训练】

题7.计算下列各式的值.

(1) ;

(2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i],其中a,b∈.

类型二 复数的加、减法运算的应用(数学运算)  

 角度1 应用复数的加、减运算求参数

【典例】题8.设,其中i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a=________.

【解题策略】

应用复数的加、减运算求参数的方法

此类问题通常先利用复数的加、减运算得到复数的结果,然后根据复数的相等或复数的分类进行限制,从而得出所求参数的值.

【变式探究】

题9.设,其中i为虚数单位,若为实数,为纯虚数,则a,b的值分别为    (     )

A.-3,-4         B.-3,4         C.3,-4          D.3,4

角度2 复数加、减法则与其他知识的结合

【典例】题10.已知为实数,i为虚数单位,且,则的值为________.

【解题策略】

复数加、减法则与其他知识的结合的处理方法

复数的加、减运算法则与其他知识结合时,关键还是找到实质的加、减运算部分,利用复数的加、减运算法则得出一定的关系,然后利用与之相关的其他知识辅助求解.

【题组训练】

题11.若(1-i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈,i是虚数单位),则a,b的值分别等于    (     )

A.3,-2             B.3,2          C.3,-3             D.-1,4

题12.计算:

(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2 008+2 009i)+(2 009-2 010i)+(-2 010+2 011i).

题13.瑞士数学家欧拉提出复数的三角方程:,根据三角方程,计算的值为       (     )

A.-1          B.0              C.1              D.i

课堂检测·素养达标

题14.已知i是虚数单位,那么(3+i)+(1+2i)=       (     )

A.2+3i          B.4+i             C.4+2i          D.4+3i

题15.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为    (     )

A.5-3i      B.3+5i              C.7-8i      D.7-2i

题16.若复数z满足z+(3-4i) =1,则z的虚部是      (      )

A.-2          B.4              C.-3          D.3

题17.下面四个说法:①0比-i大;②两个复数当且仅当其和为实数时,它们的虚部互为相反数;③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1;④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误说法的序号是________.

题18.(1)计算:;

(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.

编号：022     课题:§12.2.1  复数的加减运算

目标要求

1、理解并掌握复数加减法的运算法则及加法运算律．

2、理解并掌握复数的加、减法运算．

3、理解并掌握利用复数的加、减法运算求参数．

4、理解并掌握复数加、减法法则与其他知识的结合.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：利用复数的加、减法运算求参数；

难点：复数加、减法法则与其他知识的结合．

教学过程

基础知识点

复数加、减法的运算法则及加法运算律

(1)加、减法的运算法则

设是任意两个复数,则.

即:两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).

提示:两个复数的加减仍是一个复数;复数的加法、减法可以推广到多个复数相加或相减;

(2)加法运算律

对任意,有

①交换律:.

②结合律:.

【思考】

若复数满足,能否认为?

提示:不能,如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大小.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 两个虚数的和或差可能是实数.

B. 复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.

C. 复数的减法不满足.

D. 两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减.

【答案】选AD

提示:A√.例如(2+i)+(2-i)=4.

B×.复数的加法可以推广到多个复数相加,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部.

C×.复数的加减法满足结合律.

D√.这是两个复数相减的减法法则.

题2.已知复数,则等于         (     )

A.8i             B.6             C.6+8i         D.6-8i

【解析】选B..

题3.计算:(5-5i)+(-2-i)-(3+4i)=__________.

【解析】(5-5i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)-(5+1+4)i=-10i.

答案:-10i

关键能力·合作学习

类型一 复数的加、减法运算(数学运算)

【题组训练】

题4.(2+i)+(3+i)=       (      )

A.5+2i   B.5+5i  C.6+i  D.6+5i

【解析】选A. (2+i)+(3+i)=5+2i.

题5.已知z+3-2i=4+i,则z等于    (     )

A.1+i          B.1+3i         C.-1-i          D.-1-3i

【解析】选B.因为z+3-2i=4+i,

所以z=4+i- (3-2i)=1+3i.

题6.计算:

(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i);

(2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i);

(3)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a,b∈).

【解析】(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i.

(2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i.

(3)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.

【解题策略】

解决复数加、减运算的思路

两个复数相加(减),就是把两个复数的实部相加(减),虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算,两个复数相减,也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时,可将这些复数的所有实部相加(减),所有虚部相加(减).

【补偿训练】

题7.计算下列各式的值.

(1) ;

(2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i],其中a,b∈.

【解析】(1)根据复数的加减运算,展开化简可得

(2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i]

=[(a+b)-(a-b)]+[(a-b)+(a+b)]i=2b+2ai.

类型二 复数的加、减法运算的应用(数学运算)  

 角度1 应用复数的加、减运算求参数

【典例】题8.设,其中i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a=________.

【思路引导】先通过复数的运算求出,再根据纯虚数的定义即可求出.

【解析】因为,

所以,因为复数是纯虚数,所以a+1=0,2a-1≠0,所以a=-1.

答案:-1

【解题策略】

应用复数的加、减运算求参数的方法

此类问题通常先利用复数的加、减运算得到复数的结果,然后根据复数的相等或复数的分类进行限制,从而得出所求参数的值.

【变式探究】

题9.设,其中i为虚数单位,若为实数,为纯虚数,则a,b的值分别为    (     )

A.-3,-4         B.-3,4         C.3,-4          D.3,4

【解析】选A.因为,所以为实数,

所以4+b=0,解得b=-4.因为为纯虚数,

所以a+3=0且4-b≠0,解得a=-3且b≠4.故a=-3,b=-4.

角度2 复数加、减法则与其他知识的结合

【典例】题10.已知为实数,i为虚数单位,且,则的值为________.

【思路导引】根据复数减法和复数相等的条件列方程组,结合两角和的余弦公式,化简求得的值.

【解析】因为,所以,所以

,得,即.

答案:

【解题策略】

复数加、减法则与其他知识的结合的处理方法

复数的加、减运算法则与其他知识结合时,关键还是找到实质的加、减运算部分,利用复数的加、减运算法则得出一定的关系,然后利用与之相关的其他知识辅助求解.

【题组训练】

题11.若(1-i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈,i是虚数单位),则a,b的值分别等于    (     )

A.3,-2             B.3,2          C.3,-3             D.-1,4

【解析】选B.由题可知(1-i)+(2+3i)=a+bi,

即3+2i=a+bi,所以a=3,b=2,即a,b的值分别等于3,2.

题12.计算:

(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2 008+2 009i)+(2 009-2 010i)+(-2 010+2 011i).

【解析】原式=(1-2+3-4+…-2 008+2 009-2 010)+(-2+3-4+5+…+2 009-2 010+2 011)i

=-1 005+1 005i.

题13.瑞士数学家欧拉提出复数的三角方程:,根据三角方程,计算的值为       (     )

A.-1          B.0              C.1              D.i

【解析】选B.由,得.

课堂检测·素养达标

题14.已知i是虚数单位,那么(3+i)+(1+2i)=       (     )

A.2+3i          B.4+i             C.4+2i          D.4+3i

【解析】选D.(3+i)+(1+2i)=4+3i.

题15.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为    (     )

A.5-3i      B.3+5i              C.7-8i      D.7-2i

【解析】选C.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1+2)+(-3-3-2)i=7-8i.

题16.若复数z满足z+(3-4i) =1,则z的虚部是      (      )

A.-2          B.4              C.-3          D.3

【解析】选B.因为z+(3-4i) =1,所以z=-2+4i,所以z的虚部是4.

题17.下面四个说法:①0比-i大;②两个复数当且仅当其和为实数时,它们的虚部互为相反数;③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1;④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误说法的序号是________.

【解析】①实数与虚数不能比较大小,故错误;

②两个复数当且仅当其和为实数时,它们的虚部互为相反数,正确;

③当y=-i,x=i时,x+yi=1+i,所以x+yi=1+i时,不一定x=y=1,故错误;

④若z=bib≠0）为纯虚数,则,故正确.

答案:①③

题18.(1)计算:;

(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.

【解析】(1).

(2)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.