高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第14章 统计14.4 用样本估计总体优秀教案及反思

编号：030     课题:§14.4.1  用样本估计总体的集中趋势参数

目标要求

1、理解并掌握平均数、中位数、众数的定义．

2、理解并掌握平均数、中位数和众数的计算．

3、理解并掌握集中趋势参数与统计图的综合应用．

4、理解并掌握平均数、中位数和众数的实际应用.

学科素养目标

数据能够帮助人们认识世界、作出决策和预测，而统计正是与数据打交道的科学，用一句话来概括统计：统计是用以“收集数据、整理数据、分析数据、由数据得出结论”的概念、法则和方法．由此可以看出，学习统计学有助于学生适应现代社会的需要，有助于培养学生形成数据意识以及运用数据进行推断的思考方式，有助于学生形成以数学的眼光看世界的习惯，增强学生运用数学分析问题、解决问题的能力．

在学习运用样本估计总体的过程中，要通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本数据具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定的偏差．但是，如果抽样的方法比较合理，样本信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据．由此使学生认识统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异.

重点难点

重点：集中趋势参数与统计图的综合应用；

难点：平均数、中位数和众数的实际应用．

教学过程

基础知识点

平均数、中位数、众数的定义

(1)平均数、均值

①(算术)平均数:一组数据的_______除以数据个数所得到的数.

②总体均值:一般地,我们把总体中所有数据的_________________,称为总体的均值.

③一个平均数的计算公式

一般地,若取值为的频率分别为,则其平均数为.

(2)众数

一般地,我们将一组数据中出现次数__最多___的那个数据叫作该组数据的众数.

(3)中位数

一般地,将一组数据按照从小到大的顺序排成一列,如果数据的个数为奇数,那

么排在____________的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,那么,排

在正中间的___________________________即为这组数据的中位数.

【思考】

(1)中位数一定是样本数据中的一个数吗?

(2)一组数据的众数可以有几个?中位数是否也具有相同的结论?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A. 中位数是一组数据中间的数.

B. 众数是一组数据中出现次数最多的数数.

C. 一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的.

D. 若改变一组数据中其中的一个数,则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变.

题2.一组样本数据为:19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则这组数据的众数和

中位数分别为                                    (     )

A.14,14            B.12,14            C.14,15.5        D.12,15.5

题3.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.

关键能力·合作学习

类型一  平均数、中位数和众数的计算(数学运算、数据分析)

【题组训练】

题4.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是______.

题5.已知10名工人生产同一零件,生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有                    (     )

A.a>b>c            B.a>c>b             C.c>a>b            D.c>b>a

题6.一个样本数据按从小到大的顺序排列为:13,14,19,x,23,27,28,31,中位数为22,则x=________.

【解题策略】

(1)求样本数据的中位数和众数时,把数据按照从小到大的顺序排列后,按照其求法进行.

(2)求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性.

注意:一组数据中的众数可能不止一个,中位数是唯一的,求中位数时,必须先排序.

【补偿训练】

题7.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2,则样本平均数约为     (     )

A.4.55            B.4.5            C.12.5            D.1.64

题8.某市地铁1号线12月28日开通运营,某趟车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、中位数、平均数的和为                                             (     )

A.170            B.165            C.160            D.150

题9.已知一组数据2,1,x,7,3,5,3,2的众数是2,则这组数据的中位数是      (     )

A.2                B.2.5            C.3                D.5

类型二 集中趋势参数与统计图的综合应用(数据分析)

【题组训练】

题10.如图是根据某地2019年4月上旬每天的最低气温绘成的折线图,那么这段时间最低气温的众数、中位数依次是                                              (     )

A.5℃,4.5℃       B.5℃,4℃           C.5℃,5℃           D.4℃,5℃

题11.小王数学成绩分别为:测验一得89分,测验二得78分,测验三得85分,期中考试得90分,期末考试得87分,如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分,那么小王该学期的总评成绩应该为多少?

题12.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.

(1)若n=19,求y与x的函数解析式.

(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值.

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?

【解题策略】

利用折线图求众数、中位数时,首先由折线图读出相应数据,然后再求其值.

类型三 平均数、中位数和众数的实际应用(数据分析)

【典例】题13.某校高一(1)(2)班各有49名学生,两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位:分)统计如表:

(1)请你对下面的一段话给予简要分析:

高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了.”

(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建议.

【解题策略】

利用样本数字特征进行决策时的两个关注点

(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.

(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值.

【跟踪训练】

题14.某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):

甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;

乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.

(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征?

(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征?

课堂检测·素养达标

题15.下列说法正确的是                   (     )

A.一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数

B.统计中,我们可以用样本平均数去估计总体平均数

C.样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据

D.众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势

题16.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中

平均数、中位数和众数的大小关系是       (     )

A.平均数>中位数>众数                   B.平均数<中位数<众数

C.中位数<众数<平均数                   D.众数=中位数=平均数

题17.某厂抽查了某节能灯泡的使用寿命数据如下:

则这些节能灯泡使用寿命的平均数是________. 

题18.某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,

则这组数据的中位数是________.

题19.某学校抽查了某班级某月5天的用电量,数据如表(单位:度):

(1)求这个班级这5天用电量的平均数;

(2)求这个班级这5天用电量的众数、中位数;

(3)学校共有36个班级,若该月按22天计,试估计该校该月的总用电量.

编号：030     课题:§14.4.1  用样本估计总体的集中趋势参数

目标要求

1、理解并掌握平均数、中位数、众数的定义．

2、理解并掌握平均数、中位数和众数的计算．

3、理解并掌握集中趋势参数与统计图的综合应用．

4、理解并掌握平均数、中位数和众数的实际应用.

学科素养目标

数据能够帮助人们认识世界、作出决策和预测，而统计正是与数据打交道的科学，用一句话来概括统计：统计是用以“收集数据、整理数据、分析数据、由数据得出结论”的概念、法则和方法．由此可以看出，学习统计学有助于学生适应现代社会的需要，有助于培养学生形成数据意识以及运用数据进行推断的思考方式，有助于学生形成以数学的眼光看世界的习惯，增强学生运用数学分析问题、解决问题的能力．

在学习运用样本估计总体的过程中，要通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本数据具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定的偏差．但是，如果抽样的方法比较合理，样本信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据．由此使学生认识统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异.

重点难点

重点：集中趋势参数与统计图的综合应用；

难点：平均数、中位数和众数的实际应用．

教学过程

基础知识点

平均数、中位数、众数的定义

(1)平均数、均值

①(算术)平均数:一组数据的_和__除以数据个数所得到的数.

②总体均值:一般地,我们把总体中所有数据的_____算术平均数______,称为总体的均值.

③一个平均数的计算公式

一般地,若取值为的频率分别为,则其平均数为.

(2)众数

一般地,我们将一组数据中出现次数__最多___的那个数据叫作该组数据的众数.

(3)中位数

一般地,将一组数据按照从小到大的顺序排成一列,如果数据的个数为奇数,那

么排在____正中间___的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,那么,排

在正中间的________两个数据的平均数_________即为这组数据的中位数.

【思考】

(1)中位数一定是样本数据中的一个数吗?

提示:不一定.一组数据按大小顺序排列后,如果有奇数个数据,处于中间位置的数是中位数;如果有偶数个数据,则中间两个数据的平均数是中位数.

(2)一组数据的众数可以有几个?中位数是否也具有相同的结论?

提示:一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,中位数只有唯一一个.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A. 中位数是一组数据中间的数.

B. 众数是一组数据中出现次数最多的数数.

C. 一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的.

D. 若改变一组数据中其中的一个数,则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变.

【答案】选ACD

提示:A×.由中位数的定义可知,中位数与一组数据个数的奇偶性有关.

B√.由众数的定义可知,众数是一组数据中出现次数最多的数.

C×.由众数的定义可知,一个样本的众数可能有一个,也可能有多个.

D×.若改变一组数据中的一个数,则这组数据的平均数一定会改变,而中位数与众数可能不变.

题2.一组样本数据为:19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则这组数据的众数和

中位数分别为                                    (     )

A.14,14            B.12,14            C.14,15.5        D.12,15.5

【解析】选A.把这组数据按从小到大排列为:10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27,则可知其众数为14,中位数为14.

题3.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.

【解析】.

答案:6

关键能力·合作学习

类型一  平均数、中位数和众数的计算(数学运算、数据分析)

【题组训练】

题4.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是______.

【解析】由可知a=2.

答案:2

题5.已知10名工人生产同一零件,生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有                    (     )

A.a>b>c            B.a>c>b             C.c>a>b            D.c>b>a

【解析】选D.由题意得a=(16+18+15+11+16+18+18+17+15+13)==15.7,中位数为16,众数为18,则b=16,c=18,所以c>b>a.

题6.一个样本数据按从小到大的顺序排列为:13,14,19,x,23,27,28,31,中位数为22,则x=________.

【解析】由题意知,则x=21.

答案:21

【解题策略】

(1)求样本数据的中位数和众数时,把数据按照从小到大的顺序排列后,按照其求法进行.

(2)求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性.

注意:一组数据中的众数可能不止一个,中位数是唯一的,求中位数时,必须先排序.

【补偿训练】

题7.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2,则样本平均数约为     (     )

A.4.55            B.4.5            C.12.5            D.1.64

【解析】选A.由条件得样本平均数(4×3+3×2+5×4+6×2)≈4.55.

题8.某市地铁1号线12月28日开通运营,某趟车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、中位数、平均数的和为                                             (     )

A.170            B.165            C.160            D.150

【解析】选D.数据70,60,60,50,60,40,40,30,30,10的众数是60,中位数是45,平均数是45,故众数、中位数、平均数的和为150.

题9.已知一组数据2,1,x,7,3,5,3,2的众数是2,则这组数据的中位数是      (     )

A.2                B.2.5            C.3                D.5

【解析】选B.由众数的意义可知x=2,然后按照从小到大的顺序排列这组数据,则中位数应为.

类型二 集中趋势参数与统计图的综合应用(数据分析)

【题组训练】

题10.如图是根据某地2019年4月上旬每天的最低气温绘成的折线图,那么这段时间最低气温的众数、中位数依次是                                              (     )

A.5℃,4.5℃       B.5℃,4℃           C.5℃,5℃           D.4℃,5℃

【解析】选A.这10日的最低气温依次是2℃,5℃,5℃,6℃,4℃,5℃,4℃,6℃,2℃,1℃,故这10日的最低气温的众数是5℃,将这10日的最低气温按从小到大的顺序排列是1℃,2℃,2℃,4℃,4℃,5℃,5℃,5℃,6℃,6℃,中间两个数是4℃,5℃,

故这组数据的中位数为4.5℃.

题11.小王数学成绩分别为:测验一得89分,测验二得78分,测验三得85分,期中考试得90分,期末考试得87分,如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分,那么小王该学期的总评成绩应该为多少?

【解析】小王平时测试的平均成绩(分).

所以(分).

所以小王该学期的总评成绩应该为87.6分.

题12.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.

(1)若n=19,求y与x的函数解析式.

(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值.

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?

【解析】(1)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,

所以y与x的函数解析式为.

(2)由题图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.

(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).

比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

【解题策略】

利用折线图求众数、中位数时,首先由折线图读出相应数据,然后再求其值.

类型三 平均数、中位数和众数的实际应用(数据分析)

【典例】题13.某校高一(1)(2)班各有49名学生,两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位:分)统计如表:

(1)请你对下面的一段话给予简要分析:

高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了.”

(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建议.

【解题策略】

利用样本数字特征进行决策时的两个关注点

(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.

(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值.

【跟踪训练】

题14.某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):

甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;

乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.

(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征?

(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征?

【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为 (岁),中位数为15岁,众数为15岁.

平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.

(2)乙群市民年龄的平均数为(岁),中位数为5.5岁,众数为6岁.

由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.

课堂检测·素养达标

题15.下列说法正确的是                   (     )

A.一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数

B.统计中,我们可以用样本平均数去估计总体平均数

C.样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据

D.众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势

【解析】选BCD.对于A，用样本估计总体情况时,在一组数据中,众数、中位数和平均数可能是同一个数，所以选项A错误.

题16.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中

平均数、中位数和众数的大小关系是       (     )

A.平均数>中位数>众数                   B.平均数<中位数<众数

C.中位数<众数<平均数                   D.众数=中位数=平均数

【解析】选D.众数、中位数、平均数都是50.

题17.某厂抽查了某节能灯泡的使用寿命数据如下:

则这些节能灯泡使用寿命的平均数是________. 

【解析】这些节能灯泡使用寿命的平均数是(天).

答案:597.5天

题18.某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,

则这组数据的中位数是________.

【解析】因为6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,

从小到大排列为1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,位于中间的两个数值为1.75,

1.77,所以这组数据的中位数是(米).

答案:1.76米

题19.某学校抽查了某班级某月5天的用电量,数据如表(单位:度):

(1)求这个班级这5天用电量的平均数;

(2)求这个班级这5天用电量的众数、中位数;

(3)学校共有36个班级,若该月按22天计,试估计该校该月的总用电量.

【解析】(1)因为(9×3+10×1+11×1)÷5=9.6(度),

所以这个班级这5天用电量的平均数为9.6度.

(2)这个班级这5天用电量的众数是9度,中位数是9度.

(3)因为9.6×36×22=7 603.2(度),

所以估计该校该月的总用电量为7 603.2度