高中数学苏教版 (2019)必修 第二册15.3 互斥事件和独立事件精品教案

编号：039     课题:§15.3.2  独立事件的概率

目标要求

1、理解并掌握独立事件的概念．

2、理解并掌握事件独立性的判断．

3、会求相互独立事件的概率．

4、理解并掌握独立事件概率的应用.

学科素养目标

通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．

重点难点

重点：求相互独立事件的概率；

难点：独立事件概率的应用．

教学过程

基础知识点

独立事件

(1)定义:

一般地,如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率,那么称A,B为相互独立事件.

(2)独立事件的概率计算公式: A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).

说明:若A,B相互独立,则与B,A与也相互独立.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 不可能事件与任何一个事件相互独立.

B. 必然事件与任何一个事件相互独立.

C. “P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.

D. 若事件A和B为独立事件,则.

题2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为                                 (     )

A.1-a-b            B.1-ab              C.(1-a)(1-b)     D.1-(1-a)(1-b)

题3.甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为0.35,乙译出密码的概率为0.25,则恰有1人译出密码的概率为________.

关键能力·合作学习

类型一 事件独立性的判断(逻辑推理)

【题组训练】

题4.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与是                          (    )

A.相互独立事件     B.不相互独立事件    C.互斥事件     D.对立事件

题5.抛掷3枚质地均匀的硬币,若A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有1枚

反面向上},则A与B                           (    )

A.是互斥事件    B.是对立事件        C.是相互独立事件    D.不是相互独立事件

题6.若,则事件A与B的关系是      (     )

A.事件A与B互斥                      B.事件A与B对立

C.事件A与B相互独立                  D.事件A与B既互斥又独立

【解题策略】

 两事件是否相互独立的判断

(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;

(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B相互独立.

类型二 求相互独立事件的概率(逻辑推理、数学运算)

【典例】题7.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.8,乙破译密码的概率为0.7.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.

(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;

(2)求恰有一人破译密码的概率;

(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下:

【跟踪训练】

题8.甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求:

(1)2个人都译出密码的概率;

(2)2个人都译不出密码的概率;

(3)至多1个人译出密码的概率.

类型三 独立事件概率的应用(逻辑推理、数学建模)

【典例】题9.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过三小时.

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.

【解题策略】

 求解概率综合应用问题的思路

(1)“大化小”,即将问题化为若干个彼此互斥或相互独立的事件.

(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立,只有相互独立才能运用乘法公式.

(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,若遇到“至少…”或“至多…”等概率问题,可从求对立事件的概率计算.

【跟踪训练】

题10.A,B,C三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,已知他们能达标的概率分别是,则三人都能达标的概率是________,三人中至少有一人能达标的概率是________.

题11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测,则

(1)三人都合格的概率;

(2)三人都不合格的概率;

(3)出现几人合格的概率最大.

课堂检测·素养达标

题12.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为                                     (     )

A.0.28             B.0.12             C.0.42              D.0.16

题13.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是                  (     )

A.互斥事件        B.相互独立事件      C.对立事件        D.不相互独立事件

题14.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是                             (     )

A.            B.            C.                D.  

题15.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是________.

题16.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为,求灯亮的概率.

编号：039     课题:§15.3.2  独立事件的概率

目标要求

1、理解并掌握独立事件的概念．

2、理解并掌握事件独立性的判断．

3、会求相互独立事件的概率．

4、理解并掌握独立事件概率的应用.

学科素养目标

通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．

重点难点

重点：求相互独立事件的概率；

难点：独立事件概率的应用．

教学过程

基础知识点

独立事件

(1)定义:

一般地,如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率,那么称A,B为相互独立事件.

(2)独立事件的概率计算公式: A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).

说明:若A,B相互独立,则与B,A与也相互独立.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 不可能事件与任何一个事件相互独立.

B. 必然事件与任何一个事件相互独立.

C. “P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.

D. 若事件A和B为独立事件,则.

【答案】选ABC

提示:A√.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.

B√.必然事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.

C√.根据相互独立的定义可知正确.

D×.若事件A和B为独立事件,则.

题2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为                                 (     )

A.1-a-b            B.1-ab              C.(1-a)(1-b)     D.1-(1-a)(1-b)

【解析】选C.设A表示“第一道工序的产品为正品”,B表示“第二道工序的产品为正品”,则P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).

题3.甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为0.35,乙译出密码的概率为0.25,则恰有1人译出密码的概率为________.

【解析】记甲,乙两人译出密码分别为事件A,B,则P(A)=0.35,P(B)=0.25,恰有一人译出密码为事件,所以

0.35×(1-0.25)+0.25×(1-0.35)=0.425.

答案:0.425

关键能力·合作学习

类型一 事件独立性的判断(逻辑推理)

【题组训练】

题4.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与是                          (    )

A.相互独立事件     B.不相互独立事件    C.互斥事件     D.对立事件

【解析】选A.由题意可得表示第二次摸到的不是白球,即表示第二次摸到的是黄球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球互不影响,故事件与是相互独立事件.

题5.抛掷3枚质地均匀的硬币,若A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有1枚

反面向上},则A与B                           (    )

A.是互斥事件    B.是对立事件        C.是相互独立事件    D.不是相互独立事件

【解析】选C.抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),

(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},事件A中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),因此,事件B中所含的样本点为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此,事件AB中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),

因此,因此P(AB)=P(A)P(B),即事件A、B相互独立.

题6.若,则事件A与B的关系是      (     )

A.事件A与B互斥                      B.事件A与B对立

C.事件A与B相互独立                  D.事件A与B既互斥又独立

【解析】选C.因为,所以,又,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立但不一定互斥.

【解题策略】

 两事件是否相互独立的判断

(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;

(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B相互独立.

类型二 求相互独立事件的概率(逻辑推理、数学运算)

【典例】题7.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.8,乙破译密码的概率为0.7.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.

(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;

(2)求恰有一人破译密码的概率;

(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下:

解:“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”,所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5.

请指出小明同学错误的原因并给出正确解答过程.

【解题策略】

 求相互独立事件概率的步骤

(1)确定各事件之间是相互独立的.

(2)确定这些事件可以同时发生.

(3)求出每个事件发生的概率,再根据相互独立事件的概率计算公式求解.

【跟踪训练】

题8.甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求:

(1)2个人都译出密码的概率;

(2)2个人都译不出密码的概率;

(3)至多1个人译出密码的概率.

【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码“为事件B,A

与B为相互独立事件,且.

(1)“2个人都译出密码”的概率为:.

(2)“2个人都译不出密码”的概率为:

.

(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”,所以至多1个

人译出密码的概率为:.

类型三 独立事件概率的应用(逻辑推理、数学建模)

【典例】题9.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过三小时.

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.

【思路导引】(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,求出概率,由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率.

(2)先分析两人费用之和大于或等于8的事件所包含的事件,由此能求出两人费用之和大于或等于8的概率.

【解析】(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元.都付2元的概率为;

都付4元的概率为;都付6元的概率为;故所付费用相同的概率为.

(2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A,B,C,

;;.

设两人费用之和大于或等于8的事件为W,则W=A+B+C,

所以,两人费用之和大于或等于8的概率.

【解题策略】

 求解概率综合应用问题的思路

(1)“大化小”,即将问题化为若干个彼此互斥或相互独立的事件.

(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立,只有相互独立才能运用乘法公式.

(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,若遇到“至少…”或“至多…”等概率问题,可从求对立事件的概率计算.

【跟踪训练】

题10.A,B,C三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,已知他们能达标的概率分别是,则三人都能达标的概率是________,三人中至少有一人能达标的概率是________.

【解析】A,B,C三人将参加某项测试,三人都能达标的概率是;A,B,C三人将参加某项测试,都没有达标的概率是,因此A,B,C三人将参加某项测试,三人中至少有一人能达标的概率是.

答案:     

题11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测,则

(1)三人都合格的概率;

(2)三人都不合格的概率;

(3)出现几人合格的概率最大.

【解析】记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件A,B,C,显然事件

A,B,C相互独立,则.

设恰有k人合格的概率为,

(1)三人都合格的概率:.

(2)三人都不合格的概率: .

(3)恰有两人合格的概率: .

恰有一人合格的概率.

综合(1)(2)(3)可知最大.所以出现恰有1人合格的概率最大.

课堂检测·素养达标

题12.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为                                     (     )

A.0.28             B.0.12             C.0.42              D.0.16

【解析】选B.甲未通过的概率为0.3,则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4=0.12.

题13.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是                  (     )

A.互斥事件        B.相互独立事件      C.对立事件        D.不相互独立事件

【解析】选D.互斥事件是在一定条件下不可能同时发生的事件,故可判断A,B不互斥,则也不对立,事件A发生对事件B的概率有影响,故A与B是不相互独立事件.

题14.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是                             (     )

A.            B.            C.                D.  

【解析】选A.因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P(甲),P(乙),所以他们都中靶的概率是.

题15.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是________.

【解析】透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为,恰在第二次落地打破的概率为,恰在第三次落地打破的概率为,所以落地3次以内被打破的概率.

答案:0.958

题16.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为,求灯亮的概率.

【解析】因为A,B断开且C,D至少有一个断开时线路才断开,导致灯不亮,.

所以灯亮的概率为.