初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试同步练习题

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2021-2022学年人教版九年级上册第二十二章二次函数C卷1.将二次函数化为的形式为(   )
A. B. C. D.2.下列关于抛物线和的说法中，错误的是(   )A.抛物线和有相同的顶点和对称轴B.在同一直角坐标系中，抛物线和既关于x轴对称，又关于原点对称C.抛物线和的开口方向相反D.点在抛物线上，也在抛物线上3.已知函数的图象如图所示，则(   )A. B. C. D.4.如图，过点且平行于x轴的直线与二次函数图像的交点坐标分别为，则不等式的解集为(   )A. B. C.或 D.5.已知二次函数的图像经过平移以后得到新的二次函数的图像，则原图像经过了怎样的平移?(   )A.向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度B.向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度C.向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度D.向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，每件销售价只能满，那么一周可获得的最大利润是(   )A.1554元 B.1556元 C.1558元 D.1560元7.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是，则这个二次函数的表达式为(   )A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图，点是该二次函数图像上的两点，其中，则下列结论正确的是(   )A. B. C.函数的最小值是-3 D.函数的最小值是-49.已知函数，当时，则；当时，的取值范围是(   )
A. B. C. D.10.二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x012tmn且当时，与其对应的函数值.有下列结论：
①；
②和3是关于x的方程的两个根；
③.
其中正确结论的个数是(   )A.0 B.1 C.2 D.311.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图像，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分.下列说法不正确的是(   )A.25 min~50 min，王阿姨步行的路程为800 mB.线段CD对应的函数表达式为C.5 min~20 min，王阿姨步行速度由慢到快D.曲线段AB对应的函数表达式为12.对称轴为直线的抛物线（a,b,c为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）；⑥当时，y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为(   )A.3 B.4 C.5 D.613.把二次函数化为一般形式为___________.14.把二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度.平移后抛物线的解析式是_________.15.已知二次函数，当x分别取时，函数值相等，则当x取时，函数值为____________.16.当时，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值_____.17.若点为二次函数图象上的三点，则的大小关系为__________.18.二次函数的最大值为____________.19.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线对应的函数表达式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线对应的函数表达式是___________.20.抛物线经过两点，则关于x的一元二次方程的解是_______.21.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与水池中心A的水平距离为1 m处达到最高点C，高度为3 m，水柱落地点D离水池中心A处3 m，则水管AB的长为__________m.22.在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别与函数和的图象相交于，两点.若平移直线，可以使，都在轴的下方，则实数的取值范围是__________.23.已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则周长的最小值是__________.24.二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的结论有__________.  25.如图，已知二次函数的图象经过点.（1）求的值和图象的顶点坐标.（2）点在该二次函数图象上.①当时，求的值；②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.26.如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为，我们称为此函数的特征数，如函数的特征数是.（1）若一个函数的特征数为，求此函数图像的顶点坐标.（2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为，将此函数的图像先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，求得到的图像对应的函数的特征数.②若一个函数的特征数为，问：此函数的图像经过怎样的平移，才能使得到的图像对应的函数的特征数为？27已知抛物线如图，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为.（1）求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标.（2）根据图像回答：当x取何值时，？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标.28.已知二次函数.（1）当时，求该二次函数图象的对称轴.（2）当时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由.（3）当时，y随x增大而增大，求a的取值范围.29.如图，抛物线与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且，点G为抛物线的顶点.（1）求抛物线对应的函数表达式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标的取值范围.30.如图,抛物线与x轴交于两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上.(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；(2)问在抛物线上是否存在一点M，使和全等?若存在,求出点M的坐标；若不存在,说明理由.31.如图，是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止运动.设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，是直角三角形？（2）设四边形APQC的面积为y（），求y（）与t（s）的函数关系式.是否存在某一时刻t（s），使得四边形APQC的面积有最值？若存在，求出最值.32.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点Q；是直线上的一点，其纵坐标为.以为边作矩形.（1）求的值；（2）当点与点重合时，求的值；（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值；（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围.     答案以及解析1.答案：D解析：.故选D.2.答案：D解析：点在抛物线上，但不在抛物线上3.答案：C解析：由图可知，，所以，则.故选C.4.答案：C解析：根据图像得二次函数的图像与直线的交点坐标为.，或.故选C.5.答案：C解析：因为二次函数的图像的顶点坐标是，二次函数的图像的顶点坐标是，所以将顶点向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到顶点，即将二次函数的图像向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到二次函数的图像.故选C.6.答案：B解析：当时，y随x的增大而增大.，当时，y取得最大值，最大值为，即一周可获得的最大利润是1556元.故选B.7.答案：D解析：由图象知，抛物线的对称轴为直线，过点，设抛物线表达式为，将代入，得，解得.则抛物线表达式为.故选D.8.答案：D解析：，该抛物线与x轴的两个交点坐标分别是，.又，该抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线，函数的最小值是-4，选项C错误，选项D正确.无法确定点A,B离对称轴直线的远近，无法判断与的大小，选项A,B都错误.故选D.9.答案：A解析：∵,
∴对称轴,
∵当时， ；
∴当时，y有最小值-1，当时，y有最大值3，
将代入
得,
解得,
∴,
对称轴为,
∴当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
∴，
故选A.10.答案：C解析：当时，，当时，，，，，①正确.对称轴是直线，当时，，则当时，，-2和3是关于x的方程的两个根，②正确.，，.当时，，③错误.故选C.11.答案：C解析：25 min~50 min，王阿姨步行的路程为（m），A不符合题意；设线段CD对应的函数表达式为，把点的坐标分别代入，得解得线段CD对应的函数表达式为，B不符合题意；在点A的速度为，在点B的速度为，5 min~20 min，王阿姨步行速度由快到慢，C符合题意；当时，由图像可得m，将代入得，D不符合题意.故选C.12.答案：A解析：由图像可知，.，，，①错误；抛物线与x轴有两个交点，，，②正确；当时，，③错误；当时，，④正确；当时，y的值最小，此时，，而当时，，，，即，⑤正确；当时，y随x的增大而减小，⑥错误.故选A.13.答案：解析：.14答案： 解析：由抛物线平移的规律“左加右减自变量,上加下减常数项”可得平移后抛物线的解析式为.15.答案：2019解析：当x分别取时，函数值相等，对称轴，当时，.16.答案：解析：解：∵抛物线的顶点纵坐标=，
当时，；
当时，2-+=，
∵，
∴顶点到x轴距离的最小值是.
故答案为：.
17.答案：解析：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小.又.故答案为.18.答案：11解析：二次函数图像的顶点坐标是.当时，y随x的增大而增大，当时，；当时，y随x的增大而减小，当时，，二次函数的最大值为11.19答案：解析：如答图，选取点B为坐标原点时，顶点坐标为.设此时抛物线对应的函数表达式为，将点的坐标代入，得，解得选取点B为坐标原点时的抛物线对应的函数表达式是.20.答案：或5解析：依题意，得，解得，关于x的一元二次方程可转化为，即.化简得，解得或5.21.答案：2.25解析：以水池中心为原点，竖直安装的水管AB所在的直线为y轴，与水管垂直的直线为x轴建立平面直角坐标系.由于在距水池中心的水平距离为1 m时达到最高，高度为3 m，则设抛物线对应的函数表达式为，将代入，得，解得抛物线对应的函数表达式为.令，则，即水管AB的长为2.25 m.22.答案：或解析：直线分别与函数和的图象相交于，两点，且都在轴下方，令，解得，令，当时，解得；当时，解得.①当时，若有解，则，解得.②当时，若有解，则，解得.综上所述，实数的取值范围是或.23.答案：5解析：如图，过点P作轴于点E，则，的周长为的长度为定值，当点三点共线时，周长取最小值.，，周长的最小值为.24.答案：①④⑤解析：①抛物线开口向下，因此，抛物线对称轴在y轴右侧，所以，因此，抛物线与y轴交点位于x轴上方，所以，因此，①正确；②抛物线的对称轴是直线，所以，则，②错误；③由于抛物线与x轴有两个交点，所以，③错误；④抛物线与x轴的左侧交点横坐标是，对称轴是直线，所以抛物线与x轴的右侧交点横坐标是3，当时，抛物线上的点位于x轴下方，因此，由于，所以，即，④正确；⑤抛物线经过点，所以当时，函数值是0，则，而，所以，则，所以，⑤正确.因此正确的结论是①④⑤. 25.答案：（1）把点代入，得，，图象的顶点坐标为.（2）①由题意，知在该二次函数图象上，.②的取值范围是.点到轴的距离小于2，.26.答案：解：（1）由题意可得，，此函数图像的顶点坐标为.（2）①由题意可得，，将此函数的图像先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得抛物线，得到的图像对应的函数的特征数为.②一个函数的特征数为，函数的表达式为.一个函数的特征数为，函数的表达式为，所求的平移方式是向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度.27.答案：（1）由二次函数的图像经过和两点，得解得抛物线对应的函数表达式为.抛物线对应的函数表达式为，该抛物线与x轴的另一个交点坐标是.（2）根据图像知，当时，.（3）如答图，，对称轴是直线.当A，B，P三点共线时，的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即.28.答案：（1）当时，，二次函数的对称轴为.（2），当时,，该二次函数图象的顶点在第一象限.（3）当时，明显不符合题意，；由（2）知，二次函数的对称轴为，当时，y随着x增大而增大，当时，，解得；当时，，解得.的取值范围为或.29.答案：（1）抛物线与y轴正半轴交于点B，点B的坐标为.，且点A在x轴正半轴上，点A的坐标为.抛物线经过点A，，即，解得（舍去），，抛物线对应的函数表达式为.，抛物线顶点G的坐标为.（2）抛物线的对称轴为直线.点M，N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点M的横坐标为-2或4，点N的横坐标为-4或6.点M的纵坐标为-5，点N的纵坐标为-21.又点M在点N的左侧，当点M的坐标为时，点N的坐标为，；当点M的坐标为时，点N的坐标为，.30.答案：(1)抛物线的对称轴为直线，即y轴，顶点C的坐标为.(2)在抛物线上不存在一点M，使和全等，理由如下：对于抛物线，当时，，.由题意知和都是等腰直角三角形，，，且.分三种情况讨论：①当时，②当时，均有是直角三角形的直角边.，这两种情况下的点M均不存在.③当时，满足的点M一定在线段的垂直平分线上.，点O在线段的垂直平分线上..设直线的表达式为.根据题意，得，解得，直线的解析式为.线段的垂直平分线的表达式为.由题意，得点M是抛物线与直线的交点.令，解得，，.此时，舍去.综上所述，在抛物线上不存在一点M，使和全等.31.答案：解：（1）根据题意，得cm，cm.在中，cm，cm.若是直角三角形，则或.①当时，，即，解得；②当时，，即，解得.综上所述，当或时，是直角三角形.（2）如答图，过点P作于点M，则，，，y与t的函数关系式为.，四边形APQC的面积有最小值，最小值为.32答案：（1）根据题意，得，解得.
（2）根据题意，得点的坐标为.
，
点的坐标为.
点与点重合，且点坐标为，
，
解得.
（3）将配方，得，
抛物线顶点的坐标为.
根据题意，得点坐标为.
如图1.

顶点在正方形的内部，

四边形是正方形，，
，
（舍去），，
的值为.
（4）当或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小.
【提示】如图2、图3.