2020-2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式优质导学案

2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.4　两条平行直线间的距离

基础过关练

题组一　点到直线的距离

1.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m等于(　　)　　　　　　　　　　　

A.0    B. C.3     D.0或

2.已知直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l1的距离为(　　)

A.1   B.2     C.  D.2

3.已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为(深度解析)

A.-6或1 B.-或1 C.-或 D.-6或

4.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为(　　)

A.3      B.4     C.5   D.7

5.在直线x+3y=0上求一点P,使点P到原点的距离和到直线x+3y-2=0的距离相等.

题组二　两条平行直线间的距离

6.(2020重庆一中高二上期中)已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2的距离为(　　)

A.     B.    C. D.

7.两条平行直线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是(　　)

A.0<d≤3 B.0<d≤5

C.0<d<4 D.3≤d≤5

8.分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是　　　　. 

9.直线l到其平行直线x-2y+4=0的距离和原点到直线l的距离相等,则直线l的方程是　　　　　　. 

10.已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.

题组三　距离公式的综合应用

11.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为(　　)

A.(0,5] B.(0,5) C.(0,+∞) D.(0,]

12.已知正方形的两边所在直线方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为　　　　. 

13.(2019山西太原高二上期中)已知△ABC的三个顶点的坐标是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).

(1)求BC边所在直线的方程;

(2)求△ABC的面积.

14.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.

能力提升练

题组一　点到直线的距离

1.()过点A(1,2),且与原点距离最大的直线的方程是(　　) 　　　　　 　　　　　

A.x+2y-5=0     B.2x+y-4=0

C.x+3y-7=0       D.x-2y+3=0

2.(多选)()已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线中是点M的“相关直线”的是(　　)

A.y=x+1     B.y=2

C.4x-3y=0     D.2x-y+1=0

3.(2020安徽合肥一中高二上期中,)点A(1,1)到直线xcos θ+ysin θ-2=0的距离的最大值是　　　　. 

4.()已知点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则直线l过定点　　　　,点P到直线l的距离d的最大值为　　　　. 

5.(2020黑龙江佳木斯一中高二月考,)已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.

(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;

(2)求△OAB面积的最小值.

题组二　两条平行直线间的距离

6.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)

A.3 B.2

C.3 D.4

7.()已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为　　　　. 

8.(2019河北冀州中学高一月考,)已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:(1)P是第一象限的点;(2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的;(3)P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由.

题组三　距离公式的综合应用

9.()到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是(　　)

A.3x-4y-11=0

B.3x-4y+9=0

C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0

D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0

10.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为(　　)

A. B.+     C.       D.3

11.()已知△ABC的内角平分线CD所在直线的方程为2x+y-1=0,两个顶点为A(1,2),B(-1,-1).

(1)求点A到直线CD的距离;

(2)求点C的坐标.

答案全解全析

基础过关练

1.D　点M到直线的距离d==3,

解得m=0或m=.

2.C　由已知得,=-a,=1,又l1⊥l2,

∴-a×1=-1,解得a=1.

此时直线l1的方程为x+y-1=0,

∴点(1,2)到直线l1的距离d==,故选C.

3.D　解法一:依题意得,直线mx+y+3=0过线段AB的中点,或与直线AB平行.

①线段AB的中点坐标为(1,3),且在直线mx+y+3=0上,∴m+3+3=0,解得m=-6;

②由两直线平行知=-m,解得m=.

因此m的值为-6或,故选D.

解法二:由题意得=,解得m=-6或m=,故选D.

解题模板　两点到直线距离相等,可用几何法,即直线与两定点所在直线平行,或直线过以两定点为端点的线段的中点.此类题型也可用代数法.

4.A　直线方程可变形为y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点间距离公式可得d的最大值为=3.故选A.

5.解析　由题意可设P(-3y0,y0),则=,

即|y0|=.∴y0=±.故点P的坐标为或.

6.D　由l1∥l2得,a=,因此l1:2x-y-2=0,∴d===,故选D.

7.B　当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线间的距离最大,最大距离为|AB|=5,所以0<d≤5.

8.答案　5

解析　两直线方程分别是x=-2和x=3,故两条直线间的距离d=|-2-3|=5.

9.答案　x-2y+2=0

解析　由题意设所求直线l的方程为x-2y+C=0(C≠4),

则=,解得C=2,

故直线l的方程为x-2y+2=0.

10.解析　①若直线l1,l2的斜率存在,设直线的斜率为k,

设l1的斜截式方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l2的点斜式方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0,

因为直线l1过点A(0,1),所以点A到直线l2的距离d==5,

所以25k2+10k+1=25k2+25,解得k=,

所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.

②若l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,

它们之间的距离为5,同样满足条件.

综上所述,满足条件的直线方程有两组:

l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5.

11.A　易知两直线之间的最大距离为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|==5.故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5].

12.答案　2

解析　由条件知两直线平行,则正方形的边长为这两条平行直线间的距离,即边长d==,所以正方形的面积为2.

13.解析　(1)由题可知,直线BC过(2,3),(3,-2),∴方程为=,化简得5x+y-13=0,∴直线BC的方程为5x+y-13=0.

(2)由题可知|BC|==,A(1,1)到直线BC的距离d==,∴S△ABC=·|BC|·d=××=,∴△ABC的面积为.

14.解析　解法一:∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,

∴直线l的斜率存在,设为k.

又直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.

由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,

得=,解得k=0或k=1.

∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.

解法二:当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.

∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),

∴直线l的方程是x-y+2=0;

当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.

∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,

∴直线l的方程为y=2.

综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.

能力提升练

1.A　根据题意得,当所求直线与直线OA垂直时,原点到所求直线的距离最大,因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-,所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选A.

2.BC　选项A中,点M到直线y=x+1的距离d==3>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A中的直线不是点M的“相关直线”;选项B中,点M到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故B中的直线是点M的“相关直线”;

选项C中,点M到直线4x-3y=0的距离d==4,即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故C中的直线是点M的“相关直线”;选项D中,点M到直线2x-y+1=0的距离d==>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故D中的直线不是点M的“相关直线”.故选BC.

3.答案　2+

解析　依题意得,点(1,1)到直线的距离d==|cos θ+sin θ-2|=.

∴当sin=-1时,dmax=|--2|

=2+.

4.答案　(1,1);

解析　直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,化为(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,

令解得x=y=1,因此直线l经过定点Q(1,1),

当直线PQ⊥直线l时,点P到直线l的距离d有最大值,最大值为|PQ|==.

5.解析　(1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,

则点O到直线l的距离d==4,

解得k=-.

故直线l的方程为-x-y-4×+3=0,即7x+24y-100=0.

(2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,

所以A,B(0,-4k+3).

则△OAB的面积S=|OA|·|OB|=××(-4k+3)

=.

由题意可知k<0,则--16k≥2=24当且仅当k=-时,等号成立.

故△OAB面积的最小值为×(24+24)=24.

6.A　由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则=,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3.

7.答案　1

解析　设点A(m,n),B(a,b),直线l1:3x+4y=6,直线l2:3x+4y=1.由题意知点A(m,n)在直线l1:3x+4y=6上,点B(a,b)在直线l2:3x+4y=1上,|AB|=,由l1∥l2,得|AB|min==1.

8.解析　能.设存在满足条件的点P(x0,y0),

若点P满足条件(2),则有=·,化简得2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.

若P点满足条件(3),则由点到直线的距离公式,有=·,

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|.

∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.

又P是第一象限的点,∴3x0+2=0不合题意,故舍去.

由得不合题意,故舍去.

由得

∴P即同时满足三个条件的点.

9.D　依题意知,所求直线与已知直线3x-4y-1=0平行,设所求直线方程为3x-4y+C=0(C≠-1),根据两条平行直线间的距离公式,得==2,则C1=-11或C2=9,

故所求点的轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.

10.B　解法一:如图1,由平行线间的距离公式得|PQ|=.

图1

设点P(a,-a-2),则点Q.

所以|AP|+|PQ|+|QB|=++=++.

设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,则

图2

+=|MC|+|MD|≥|CD|=.

所以|AP|+|PQ|+|QB|有最小值+.

解法二:如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=.

图3

过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.

设点A'(x0,y0),

则

因此,点A',则|A'B|=.

连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,

故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.

因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥+.

故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为+.

11.解析　(1)点A到直线CD的距离d==.

(2)依题意,点A关于直线CD的对称点A'在边BC上,设A'(x0,y0).

则解得

即A'.

∴直线BC的方程为9x+2y+11=0.

联立直线BC与CD的方程,解得点C的坐标为.