2022版高考数学大一轮复习作业本26《平面向量的综合应用》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本26《平面向量的综合应用》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
在△ABC中，(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))=|eq \(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
已知向量m=(1，csθ)，n=(sinθ，－2)，且m⊥n，则sin2θ＋6cs2θ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.2 C.2eq \r(2) D.－2
已知△ABC中，AB=6，AC=3，N是边BC上的点，且eq \(BN,\s\up6(→))=2eq \(NC,\s\up6(→))，O为△ABC的外心，
则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))的值为( )
A.8 B.10 C.18 D.9
若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OC,\s\up15(→))|=|eq \(OB,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→))－2eq \(OA,\s\up15(→))|，则△ABC形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，
则eq \(AM,\s\up15(→))·eq \(AN,\s\up15(→))的最大值为( )
A.32 B.24 C.20 D.16
已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))=eq \(AD,\s\up15(→))，则△ABC的面积的最大值为( )
A.3 B.4 C.3eq \r(3) D.4eq \r(3)
在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，cs\f(A,2)))，n=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，cs\f(B,2)))，p=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，cs\f(C,2)))共线，则△ABC形状为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
已知点M(－3,0)，N(3,0)。动点P(x，y)满足|eq \(MN,\s\up15(→))|·|eq \(MP,\s\up15(→))|＋eq \(MN,\s\up15(→))·eq \(NP,\s\up15(→))=0，则点P的轨迹的曲线类型为( )
A.双曲线 B.抛物线 C.圆 D.椭圆
已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=x2，则点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
在△ABC中，已知向量eq \(AB,\s\up6(→))=(2,2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|=2，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=－4，则△ABC的面积为( )
A.4 B.5 C.2 D.3
已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为eq \f(π,3)，向量b满足：
b2－4e·b＋3=0，则|a－b|的最小值是( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(3)＋1 C.2 D.2－eq \r(3)
称d(a，b)=|a－b|为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足：
①|b|=1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则( )
A.a⊥b B.a⊥(a－b) C.b⊥(a－b) D.(a＋b)⊥(a－b)
二、填空题
在△ABC中，若eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))=eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(CB,\s\up15(→))=2，则边AB的长等于________.
已知|a|=2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b=0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.
在平面直角坐标系内，已知B(－3，－3eq \r(3))，C(3，－3eq \r(3))，且H(x，y)是曲线x2＋y2=1上任意一点，则eq \(BH,\s\up15(→))·eq \(CH,\s\up15(→))的最大值为________.
已知点A(1－m,0)，B(1＋m,0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31=0上存在一点P使得eq \(PA,\s\up15(→))·eq \(PB,\s\up15(→))=0，则m的最大值为________.
\s 0 参考答案
答案为：C.
解析：由(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))=|eq \(AC,\s\up6(→))|2，得eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))=0，
即eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))=0,2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))=0，∴eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BA,\s\up6(→))，∴A=90°.
又根据已知条件不能得到|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(AC,\s\up6(→))|，故△ABC一定是直角三角形.
答案为：B.
解析：由题意可得m·n=sinθ－2csθ=0，则tanθ=2，所以sin2θ＋6cs2θ=eq \f(2sinθcsθ＋6cs2θ,sin2θ＋cs2θ)=eq \f(2tanθ＋6,tan2θ＋1)=2.故选B.
答案为：D.
解析：由于eq \(BN,\s\up6(→))=2eq \(NC,\s\up6(→))，则eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，取AB的中点为E，连接OE，
由于O为△ABC的外心，则eq \(EO,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(EO,\s\up6(→))))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2=eq \f(1,2)×62=18，
同理可得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))2=eq \f(1,2)×32=eq \f(9,2)，
所以eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))=(eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,3)×18＋eq \f(2,3)×eq \f(9,2)=6＋3=9，故选D.
答案为：B
解析：eq \(OB,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→))－2eq \(OA,\s\up15(→))=eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))=eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))，eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OC,\s\up15(→))=eq \(CB,\s\up15(→))=eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AC,\s\up15(→))，
所以|eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))|=|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AC,\s\up15(→))|⇒|eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))|2=|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AC,\s\up15(→))|2⇒eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))=0，
所以三角形为直角三角形.故选B.
答案为：B
解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则B(4,0)，C(4,4)，M(4,2)，设N(x，y)(0≤x，y≤4)，
则eq \(AM,\s\up15(→))·eq \(AN,\s\up15(→))=4x＋2y≤4×4＋2×4=24，当且仅当eq \(AN,\s\up15(→))=eq \(AC,\s\up15(→))时取等号，故选B.
答案为：B
解析：由题设eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))=eq \(AD,\s\up15(→))，可知四边形ABDC是平行四边形.由圆内接四边形的性质
可知∠BAC=90°，且当AB=AC时，四边形ABDC的面积最大，
则△ABC的面积的最大值为Smax=eq \f(1,2)AB·AC=eq \f(1,2)×(2eq \r(2))2=4.故选B.
答案为：A
解析：由题意得acseq \f(B,2)=bcseq \f(A,2)，acseq \f(C,2)=ccseq \f(A,2)，由正弦定理得sinAcseq \f(B,2)=sinBcseq \f(A,2)⇒
sineq \f(B,2)=sineq \f(A,2)⇒B=A，同理可得C=A，所以△ABC为等边三角形.故选A.
答案为：B
解析：eq \(MN,\s\up15(→))=(3,0)－(－3,0)=(6,0)，|eq \(MN,\s\up15(→))|=6，eq \(MP,\s\up15(→))=(x，y)－(－3,0)=(x＋3，y)，
eq \(NP,\s\up15(→))=(x，y)－(3,0)=(x－3，y)，
所以|eq \(MN,\s\up15(→))|·|eq \(MP,\s\up15(→))|＋eq \(MN,\s\up15(→))·eq \(NP,\s\up15(→))=6eq \r(x＋32＋y2)＋6(x－3)=0，化简可得y2=－12x.
故点P的轨迹为抛物线.故选B.
答案为：D.
解析：∵eq \(PA,\s\up6(→))=(－2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))=(3－x，－y)，∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=(－2－x)(3－x)＋y2=x2，
∴y2=x＋6，即点P的轨迹是抛物线.
答案为：C.
解析：∵eq \(AB,\s\up6(→))=(2,2)，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|=eq \r(22＋22)=2eq \r(2).
∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|csA=2eq \r(2)×2csA=－4，
∴csA=－eq \f(\r(2),2)，∵0 答案为：A.
解析：解法1：设O为坐标原点，a=eq \(OA,\s\up6(→))，b=eq \(OB,\s\up6(→))=(x，y)，e=(1,0)，
由b2－4e·b＋3=0得x2＋y2－4x＋3=0，即(x－2)2＋y2=1，
所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆.

因为a与e的夹角为eq \f(π,3)，所以不妨令点A在射线y=eq \r(3)x(x>0)上，
如图，数形结合可知|a－b|min=|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(CB,\s\up6(→))|=eq \r(3)－1.故选A.
解法2：由b2－4e·b＋3=0得b2－4e·b＋3e2=(b－e)·(b－3e)=0.
设b=eq \(OB,\s\up6(→))，e=eq \(OE,\s\up6(→))，3e=eq \(OF,\s\up6(→))，所以b－e=eq \(EB,\s\up6(→))，b－3e=eq \(FB,\s\up6(→))，所以eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))=0，取EF的中点为C，
则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图.设a=eq \(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE=eq \f(π,3)，
所以|a－b|=|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|=|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(BC,\s\up6(→))|≥eq \r(3)－1.故选A.
答案为：C
解析：由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，
又|b|=1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，
所以Δ=4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b=1.
于是b·(a－b)=a·b－|b|2=1－12=0，所以b⊥(a－b).故选C.
答案为：2
解析：由题意知eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(CB,\s\up15(→))=4，
即eq \(AB,\s\up15(→))·(eq \(AC,\s\up15(→))＋eq \(CB,\s\up15(→)))=4，即eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AB,\s\up15(→))=4，所以|eq \(AB,\s\up15(→))|=2.
答案为：eq \f(2π,3).
解析：由已知可得Δ=|a|2＋4a·b=0，即4|b|2＋4×2|b|2cs θ=0，所以cs θ=－eq \f(1,2)，
又因为0≤θ≤π，所以θ=eq \f(2π,3).
答案为：6eq \r(3)＋19.
解析：由题意得eq \(BH,\s\up15(→))=(x＋3，y＋3eq \r(3))，eq \(CH,\s\up15(→))=(x－3，y＋3eq \r(3))，
所以eq \(BH,\s\up15(→))·eq \(CH,\s\up15(→))=(x＋3，y＋3eq \r(3))·(x－3，y＋3eq \r(3))=x2＋y2－9＋6eq \r(3)y＋27=6eq \r(3)y＋19
≤6eq \r(3)＋19，当且仅当y=1时取最大值.
答案为：6
解析：圆C：(x－4)2＋(y－4)2=1，圆心C(4,4)，半径r=1，设P(x0，y0)，
则eq \(PA,\s\up15(→))=(1－m－x0，－y0)，eq \(PB,\s\up15(→))=(1＋m－x0，－y0)，所以eq \(PA,\s\up15(→))·eq \(PB,\s\up15(→))=(1－x0)2－m2＋yeq \\al(2,0)=0，
即m2=(x0－1)2＋yeq \\al(2,0).所以|m|为点P与点M(1,0)之间的距离，
当|PM|最大时，|m|取得最大值.
因为|PM|的最大值为|MC|＋1=eq \r(4－12＋42)＋1=6，所以m的最大值为6.