人教版八年级上册14.3.2 公式法教学设计

一．复习引入

问题：什么叫做因式分解？

（把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫作分解因式.）

问题：已学习过什么因式分解的方法？

（已经学习了提公因式法）

问题：整式乘法中的平方差公式是什么？若将此公式的左右交换位置，可以看做对多项式做什么变形？

（整式乘法的平方差公式，将此公式交换位置后得到,由于因式分解是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式，所以可以看做对多项式的因式分解变形.）

二．探究新知

这样我们就得到了a2-b2因式分解的方法：，

即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

前面我们在学习平方差公式时，分析了公式的结构以及推理过程.那么利用平方差公式法因式分解时，多项式需要具备什么特点呢？

（1）此多项式应是一个两项式;

（2）这两项均为平方的形式;

（3）它们符号相反.

符合平方差公式法因式分解的多项式，分解结果是什么呢？

分解后得到这两个底数的和，这两个底数的差的乘积.因此在应用此公式

时，同样需要我们找到哪项为公式中的a,哪项为公式中的b.

练习：判断下列各式能否用平方差公式因式分解：

   分析：若能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.(1)中两项可以写成平方形式，即，并且这两项分别是，符号是相反的，所以可以利用平方差公式进行因式分解；把(2)变形为，可以写成，并且符号相反，可以利用平方差公式进行因式分解；(3)中虽然可以写成平方形式，但符号确是相同的，所以不可以；同理（4）满足上述两个条件，可以利用平方差公式进行因式分解；(5)的符号相同，均为负的，所以不行；(6）要先化简一下，化简后为，符号相同，所以不行。综上，可以用平方差公式进行因式分解有（1），（2），（4）

三．例题讲解

例：分解因式：

分析：在（1）中，由于所以可以写成平方的形式，即：，且这两项符号相反，所以可以用平方差公式分解因式；在（2）中，把和各看成一个整体，设，，则原式化为.

解：

练习：下列因式分解错误的是（  D   ）

分析：A中利用加法交换律将原式进行变形得，再利用平方差公式分解，对比A项，正确.

B中为两项，这两项有公因式x，所以提出公因式后即为：x(x2+1)，故B分解正确；C中利用平方差公式分解后得a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)，C正确；

D项可以写成-16a2+1=1-16a2=12-(4a)2，可以写成两项平方之差形式，对比公式可知，1相当于公式中的a，4a相当于公式中的b，所以可得，D分解因式不正确；

故分解不正确的选D

例：分解因式： 

分析：对于（1）可以写成的形式，这样就可以利用平方差公式分解成，然而分解到这一步我们发现还没分解完，可以继续分解，所以原式分解为；（2）中有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解.

解：

小结：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意：

1.若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；

2.因式分解要彻底，直到每个因式不能继续再分解为止.

练习：分解因式

分析：对于（1）可以先交换一下两项的位置，得到，进而写成两项平方差的形式，即根据平方差公式分解即可；或者也可先对原式提取一个负号，得，这样也可直接利用平方差公式因式分解；

（2）中5a+2b看成一个整体，原式为平方差的形式，可以利用公式进行分解，分解后得，仍需继续做合并同类项得，我们发现合并后有公因数，提取完公因数得；

（3）中公因式为，提取公因式后，仍能继续用平方差公式分解，故原式分解为：；（4）中提取公因式要取较小的字母指数，提公因式，原式为，然而还能继续分解，所以最终分解结果为；

解：

例：利用因式分解计算

分析：(1)中可利用平方差公式分解成，进而再进行化简运算；（1）中可以先提取共同的因数3.14，再利用平方差公式分解计算.

解：

例：如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各减去一个边长为b的正方形，其中a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积.

分析：求正方形减去四角后的面积，即用大正方形的面积，减去四个小正方面即可。先可以列出式子为a2-4b2，若直接带入数值，发现运算量较大，所以可以先将a2-4b2因式分解后，再代入数值运算，可大大简化运算过程。

解：S剩 = a2-4b2=(a+2b)(a-2b)

把a=1.86，b=0.34带入

S剩 =(1.86+2×0.34)×(1.86-2×0.34)

=2.72×1 =2.72

四．归纳总结

问题：今天我们主要学了哪些知识？

利用平方差公式分解因式：

问题：怎样判断能否利用平方差公式因式分解？

利用平方差公式分解需要满足所给多项式能够写成两项平方差的形

式，或者在变形后能够写成两项平方差的形式.

平方差公式中的字母a,b可以表示数、单项式或多项式.

问题：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意哪些问题？

(1)若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；

(2)因式分解要彻底，直到不能继续再分解为止.

五．拓展提升

如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？

解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．

答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.

六．课后作业

  1.下列所向是能否用平方差公式分解因式？为什么？

2.分解因式

  3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.