人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课后练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课后练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
在中，，，则（ ）
A.或 B. C. D.
已知向量，，且，则等于（ ）
A.-0.8 B.-3 C.3 D.0.8
已知,则（ ）
A． B． C． D．
若为锐角，且满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
若sin αsin β=1，则cs(α－β)的值为( )
A.0 B.1 C.±1 D.－1
若eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x=cs(x＋φ)，则φ的一个可能值是( )
A.－eq \f(π,6) B.－eq \f(π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
在△ABC中，如果sin A=2sin Ccs B，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不确定
sin4eq \f(π,12)- cs4eq \f(π,12)等于( )
A.- eq \f(1,2) B.- eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
已知sin α－cs α=－eq \f(5,4)，则sin 2α的值等于( )
A.eq \f(7,16) B．－eq \f(7,16) C．－eq \f(9,16) D.eq \f(9,16)
若函数f(x)=(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤xA．1 B．2 C.eq \r(3)＋1 D.eq \r(3)＋2
二、填空题
sin20°cs70°+sin10°sin50°=_________．
若 SKIPIF 1 < 0 π＜α＜ SKIPIF 1 < 0 π，sin2α=－ SKIPIF 1 < 0 ，求tan SKIPIF 1 < 0 ________________
在△ABC中，若cs A=eq \f(1,3)，则sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A等于________．
设p=cs αcs β，q=cs2eq \f(α＋β,2)，则p与q的大小关系是________．
三、解答题
已知f（x）=－ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，x∈（0，π）．
（1）将f（x）表示成csx的多项式；
（2）求f（x）的最小值．
求证： SKIPIF 1 < 0 ．
已知函数f(x)=(a＋2cs2x)·cs(2x＋θ)为奇函数，且f(eq \f(π,4))=0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)))=－eq \f(2,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))的值．
如图所示，由半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC.
(1)设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；
(2)求剪下的三角形铁皮PMN的面积的最大值．
\s 0 参考答案
答案为：D
解析：依据题意,,,为锐角，,
故选D.
答案为：C
解析：由已知，，又，故，
所以.
答案为：B
解析：由，所以，由三角函数的基本关系，
可得，所以，又，故选B．
答案为：B
解析：因为锐角，,,故,
故,故应选B.
答案为：B
解析：因为sin αsin β=1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝1，,sin β＝1))或者eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝－1，,sin β＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs α＝0，,cs β＝0，))
于是cs(α－β)=cs αcs β＋sin αsin β=1.
答案为：A
解析：对比公式特征知，cs φ=eq \f(\r(3),2)，sin φ=－eq \f(1,2)，故只有－eq \f(π,6)合适.
答案为：C.
解析：在△ABC中，sin A=sin[π－(B＋C)]=sin(B＋C)．
因为sin A=2sin Ccs B，所以sin(B＋C)=2sin Ccs B，
即sin Bcs C＋cs Bsin C=2sin Ccs B，
所以sin Bcs C－cs Bsin C=0，即sin(B－C)=0.
又－180°＜B－C＜180°，
所以B－C=0，即B=C，所以△ABC是等腰三角形．
答案为：B；
解析:原式=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)＋cs2\f(π,12)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)－cs2\f(π,12)))=- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))=- cs eq \f(π,6)=- eq \f(\r(3),2).
答案为：C.
解析：由sin α－cs α=－eq \f(5,4)，(sin α－cs α)2=1－2sin αcs α=1－sin 2α=eq \f(25,16)，
所以sin 2α=－eq \f(9,16).
答案为：B.
解析：f(x)=(1＋eq \r(3)tan x)cs x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)\f(sin x,cs x)))cs x=eq \r(3)sin x＋cs x=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
∵0≤x SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
答案为：－eq \f(1,9)；
解析：在△ABC中，eq \f(B＋C,2)=eq \f(π,2)－eq \f(A,2)，
所以sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A=sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＋cs 2A=cs2eq \f(A,2)＋cs 2A=eq \f(1＋cs A,2)＋2cs2A－1=－eq \f(1,9).
答案为：p≤q；
解析：因为p－q=eq \f(2cs αcs β－1－csα＋β,2)
=eq \f(2cs αcs β－1－cs αcs β＋sin αsin β,2)=eq \f(csα－β－1,2)≤0，所以p≤q.
解：（1）f（x）= SKIPIF 1 < 0 =cs2x+csx=2cs2x+csx－1．
（2）∵f（x）=2（csx+ SKIPIF 1 < 0 ）2－ SKIPIF 1 < 0 ，且－1≤csx≤1，
∴当csx=－ SKIPIF 1 < 0 时，f（x）取得最小值－ SKIPIF 1 < 0 ．
证明：左边= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
=右边，原题得证．
解：(1)因为f(x)=(a＋2cs2x)cs(2x＋θ)是奇函数，
而y1=a＋2cs2x为偶函数，所以y2=cs(2x＋θ)为奇函数．
又θ∈(0，π)，得θ=eq \f(π,2)，所以f(x)=－sin 2x·(a＋2cs2x)．
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=0，得－(a＋1)=0，即a=－1.
(2)由(1)得f(x)=－eq \f(1,2)sin 4x，
因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)))=－eq \f(1,2)sin α=－eq \f(2,5)，即sin α=eq \f(4,5)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，从而cs α=－eq \f(3,5)，
所以有sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))=sin αcseq \f(π,3)＋cs αsineq \f(π,3)=eq \f(4－3\r(3),10).
解：(1)由题意知OM=eq \f(1,2)AD=eq \f(1,2)BC=eq \f(1,2)×2=1，
∴MN=OMsin∠MOD＋AB=1×eq \f(1,2)＋1=eq \f(3,2)，
BN=OA＋OMcs∠MOD=1＋1×cs 30°=1＋eq \f(\r(3),2)=eq \f(2＋\r(3),2)，
∴S△PMN=eq \f(1,2)MN·BN=eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×eq \f(2＋\r(3),2)=eq \f(6＋3\r(3),8)，
即三角形铁皮PMN的面积为eq \f(6＋3\r(3),8)；
(2)设∠MOD=x,0＜x≤eq \f(π,2)，则MN=OMsin x＋CD=sin x＋1，
BN=OMcs x＋OA=cs x＋1，
∴S△PMN=eq \f(1,2)MN·BN=eq \f(1,2)(sin x＋1)·(cs x＋1)=eq \f(1,2)(sin xcs x＋sin x＋cs x＋1)．
令t=sin x＋cs x=eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))，
由于0＜x≤eq \f(π,2)，所以eq \f(π,4)＜x＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，
则有eq \f(\r(2),2)≤sin(x＋eq \f(π,4))≤1，所以1≤t≤eq \r(2)，
且t2=(sin x＋cs x)2=1＋2sin xcs x，
所以sin xcs x=eq \f(t2－1,2)，
故S△PMN=eq \f(1,2)(eq \f(t2－1,2)＋t＋1)=eq \f(1,4)(t2＋2t＋1)=eq \f(1,4)(t＋1)2，
而函数y=eq \f(1,4)(t＋1)2在区间[1，eq \r(2)]上单调递增，
故当t=eq \r(2)时，y取最大值，即ymax=eq \f(1,4)(eq \r(2)＋1)2=eq \f(3＋2\r(2),4)，
即剪下的三角形铁皮PMN的面积的最大值为eq \f(3＋2\r(2),4).