华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试单元测试达标测试

初中数学华师大版九年级上学期 第24章测试卷

一、单选题（共5题）

1.已知平行四边形ABCD，对角线AC=6、BD=8，则该平行四边形四条边中最长边a的取值范围是(    ) 

A. ≤a<7                            B. 5≤a<7                            C. 1<a<7                            D. ≤a<7

2.如图，在 中， ， 于点 ， 和 的角平分线相较于点 ， 为边 的中点， ，则 （   ） 

A. 125°                                    B. 145°                                    C. 175°                                    D. 190°

3.若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ）           

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 8

4.如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图： 

①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN,且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE.则下列说法错误的是（   ）

A. ∠ABC＝60°          B. S△ABE＝2S△ADE          C. 若AB＝4，则BE＝           D. sin∠CBE＝

5.在 中，∠C=90°， ，则 的值为（   ）           

A.                                           B.                                           C.                                           D. 

二、填空题（共5题）

6.小明家的客厅有一张直径BC为1.2米，高0.8米的圆桌，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0)，则点E的坐标是________ 。 

7.一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为________米.   

8.四边形具有不稳定性.如图，矩形 按箭头方向变形成平行四边形 ，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则 ________. 

9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝________． 

10.如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB=30°，点D处测得∠ADB=60°，CD=80m，则河宽AB约为________m（结果保留整数， ）. 

三、计算题（共1题）

11.计算：| ﹣1|﹣（﹣2）3﹣ +（π﹣cos60°）0.   

四、综合题（共3题；共30分）

12.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10. 

（1）求证：∠BEC=90°；   

（2）求cos∠DAE.   

13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ . 

（1）求AD的长；   

（2）求sinα的值.   

14.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 的坡度为 ，文化墙 在天桥底部正前方8米处( 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 .(参考数据： ， ) 

（1）若新坡面坡角为 ，求坡角 度数；   

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 是否需要拆除？请说明理由.   
答案解析部分

一、单选题

1. B  

解：连接AC、BD，AC与BD相交于O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=3, OB=OD=4,
则另一边的长度范围是4-3<a<4+3,
即1<a<7,
又∵a为平行四边形最长边，当AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，四边相等，a=5,
当AC和BD不垂直时，有一组对边较大，这组对边对应的对角线的夹角大于90°，
则a2>OA2+OB2,即a2>32+42,
得a>5,
综上， 5≤a<7 .
故答案为：B

【分析】先根据平行四边形对角线互相平分得两条对角线的一半是3和4，由三角形两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边得1<a<7，又因为a是平行四边形最长边，由对角线的交角讨论得最长边大于等于5，两者结合，得平行四边形最长边为 5≤a<7。

2. C  

解：连接DF

∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF＝CF=AF，∠BDC=90°
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝（∠BCD+∠BDC）=×130°=65°，
∴∠CED＝180°-（∠DCE+∠CDE）=180°-65°=115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故答案为：C．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易证DF＝CF=AF，∠BDC=90°，结合已知可证得△CDF是等边三角形，就可求出∠ACD的度数，从而可求出∠BCD+∠BDC的值，利用角平分线的定义，求出∠DCE+∠CDE，再利用三角形内角和定理求出∠CED，然后就可求出∠ACD+∠CED的值。

3. C  

解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，

∴a的取值范围为：2＜a＜8，

∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.

故答案为：C.

【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.

4. C  

解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；
∵AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；
作EH⊥BC于H，如图，

若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，∴CH=CE=1,EH=,
在Rt△BEH中，利用勾股定理得：BE=， 所以C选项的说法错误；
sin∠CBE=,所以D选项的说法正确.
故答案为:C.
【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系的逆用得出∠DAE=30°，进而根据三角形的内角和得出∠D=60°，根据菱形的对角相等得出∠ABC=60°；利用平行线间的距离相等，由同高三角形的面积之间的关系等于两底之间的关系，由AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，根据含30°直角三角形的边之间的关系计算出CH，EH，进而根据勾股定理算出BE的长，最后根据锐角三角函数的定义，由sin∠CBE=即可算出答案 sin∠CBE 的值，从而一一判断得出答案。

5. D  

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，

∵sinA= = ，设BC=3x，则AB=5x，

∵BC2+AC2=AB2∴AC=4x．

∴tanB= ＝ ＝ ．

故答案为：D．

 
【分析】直角三角形中三角函数的应用。根据已知条件，可知道BC，AB的比例，设某一边长的长度，利用勾股定理，即可求出三边的长度。即可求出 的值 。

二、填空题

6. （4，0）  

解：由题意得，OA=2米，OD=2米
△ABC中BC边上的高为2-0.8=1.2米，△ADE中DE边上的高为2米，
∵BC∥DE，BC=1.2米，
∴△ABC∽△ADE，
∴， 即，
∴DE=2米，
∴OE=OD+DE=4米，
∴E（4,0）
故答案为：（4,0）
【分析】根据平行线可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应高的比等于相似比，可得， 从而求出DE的长，即得OE的长，从而求出点E的坐标.

7. 7.5  

解：设这棵杨树高度为xm，

由题意得， ＝ ，

解得：x＝7.5，

经检验，x＝7.5是原方程的解，

即这棵杨树高为7.5m.

故答案为：7.5.

 
【分析】设这棵杨树高度为xm，利用同一时刻的物高与影长成比例列出方程。解方程即可求出这棵杨树的高（别忘记检验哦） .

8.

解：如图，作D′H⊥A′B′，垂足为H，

∵ ，

∴A′B′•D′H= ，

∵A′B′=AB，A′D′=AD，

∴D′H= A′D′，

在Rt△A′D′H中，sin∠A′= ，

∴ ，

故答案为： 。

 【分析】如图，作D′H⊥A′B′，垂足为H，根据矩形及平行四边形的面积计算方法，由列出方程，根据题意A′B′=AB，A′D′=AD，从而得出D′H= A′D′，进而根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值即可求出∠A'的度数。

9.

∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，

∴AB＝5，

∴sinB＝ ．

故答案为： .

 
【分析】根据勾股定理求得AB，在直角三角形ACB中，求 sinB 列出公式代数即可。

10. 69  

解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∠ACB=30°
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD
∴∠CAD=60°-30°=30°=∠ACB
∴CD=AD=80
在Rt△ADB中
AB=ADsin∠ADB=
故答案为：69

【分析】利用三角形外角的性质，可证∠CAD的度数，可证得∠CAD=∠ACB，利用等角对等边易证CD=AD，即可求出AD的长，然后在Rt△ADB中，利用解直角三角形求出AB的长。

三、计算题

11. 解：原式＝ ﹣1+8﹣ +1  

＝8.

【分析】根据绝对值的意义、乘方的意义、二次根式的性质、0指数的意义分别化简，再根据实数的加减法法则算出结果。

四、综合题

12. （1）证明：∵四ABCD是平行四边形

∴CD∥BA ∴∠AED=∠EAB

∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠EAB

∴∠AED=∠DAE

∴AD=DE=10∴BC=10

∵BE=8  CE=6 ∴BE2+CE2=BC2

∴△BEC为直角三角形∴∠BEC=90°；

（2）解：∵ DE=10   CE=6

∴AB=16 

∵∠BEC=90°

∴AE=

∴cos∠EAB=

∵∠DAE=∠EAB

∴cos∠DAE==

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 DC∥BA,根据二直线平行，内错角相等得出 ∠AED=∠EAB ，根据角平分线的定义得出 ∠DAE=∠EAB ，故 ∠AED=∠DAE ，根据等角对等边得出 AD=DE=10 ，根据平行四边形的对边相等得出BC=10，从而根据勾股定理的逆定理即可判断出 △BEC为直角三角形∴∠BEC=90° ；
（2））根据平行四边形的性质得出 DC∥BA,根据二直线平行，内错角相等得出 ∠BEC=∠EBA=90° ，在Rt△ABE中，根据勾股定理算出AE的长，然后根据等角的同名三角函数值相等及锐角三角函数的定义由 cos∠DAE= cos∠EAB 即可得出答案。

13. （1）解:∵tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x，  

∵AC2+BC2＝AB2  ，

∴（3x）2+（4x）2＝52  ，

解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，

∴AC＝3，BC＝4，

∵BD＝1，

∴CD＝3，

∴AD＝ ；

（2）解:过点作DE⊥AB于点E，  

∵tanB＝ ，可设DE＝3y，则BE＝4y，

∵AE2+DE2＝BD2  ，

∴（3y）2+（4y）2＝12  ，

解得，y＝﹣ （舍），或y＝ ，

∴ ，

∴sinα＝ .

【分析】（1）根据正切函数的定义，由 tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x， 然后根据勾股定理建立方程，求解并检验得出x的值，从而求出AC,BC的长，根据线段的和差算出CD的长，进而在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD；
（2） 过点作DE⊥AB于点E，根据正切函数的定义，由 tanB＝ ，可设 DE＝3y，则BE＝4y， 然后根据勾股定理建立方程，求解并检验得出y的值，从而求出DE的长，进而根据正弦函数的定义，即可得出答案。

14. （1）解：∵新坡面坡角为 ，新坡面的坡度为 ，  

∴ ，

∴

（2）解：该文化墙 不需要拆除，  

理由：作 于点 ，

则 米，

∵新坡面的坡度为 ，

∴ ，

解得， 米，

∵坡面 的坡度为 ， 米，

∴ 米，

∴ 米，

又∵ 米，

∴ 米 米，

∴该文化墙 不需要拆除.

【分析】（1）根据坡度的概念及特殊锐角三角函数值即可算出 ；
（2） 该文化墙 不需要拆除， 理由如下：作 于点 ， 根据坡度的概念即可算出AD的长，BD的长，进而根据AB=AD-BD算出AB的长， 最后利用PA=PB-AB算出PA的长，再与3比大小即可得出结论。