暑假作业十三（函数的应用）-（新高一）数学

3.4 函数的应用（一）

一、知识梳理

几种常见的函数模型

 二.每日一练

一、单选题

1．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)

A．13立方米          B．14立方米       C．18立方米          D．26立方米

2．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：

现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（     ）

A．1800 B．1000 C．790 D．560

3．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（    ）

A．2 000套         B．3 000套          C．4 000套        D．5 000套

4．已知设，则函数的最大值是（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

5．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ）

A．135             B．149             C．165            D．195

6．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为(   )

A． B． C． D．

7．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）

A．y＝10－x(0<x<5)                              B．y＝10－2x(0<x<10)

C．y＝20－x(0<x<5)                              D．y＝20－2x(0<x<10)

8．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ）

A．310元 B．300元

C．390元 D．280元

二、多选题

9．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（    ）

A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值

C．最小值为万元 D．最小值为万元

10．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（    ）

A．出租车行驶2km，乘客需付费8元

B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元

C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元

D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用

E.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km

11．在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是.

A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加

B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少

C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同

D．最后两小时内，该车间没有生产该产品

12．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：

则下列说法正确的是（    ）

A．买小包装实惠                                  B．买大包装实惠

C．卖3小包比卖1大包盈利多                      D．卖1大包比卖3小包盈利多

三、填空题

13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．

14．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为 (万元)．一万件售价为万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．

15．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．

16．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．

四、解答题

17．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．

（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．

（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？

（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？

18．二次函数在区间上有最大值4，最小值0.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若在上有解，求k的取值范围.

19．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．

旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)

（1）求函数的解析式；

（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？

20．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量．

21．某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝其中x是仪器的月产量.

（1）将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；

（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)

22．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.

（1）求的解析式；

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

参考答案

1．A设职工的用水量为立方米，需要交纳的水费为元，当时，，

当时，，即函数的解析式为：，据此分类讨论：当时，，解得，不合题意，舍去；当时，，解得，符合题意；

综上可得：该职工这个月实际用水为13立方米.

2．C解：李某月应纳税所得额（含税）为：元，

不超过3000的部分税额为元，超过3000元至12000元的部分税额为元，所以李某月应缴纳的个税金额为元．

3．D因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.

4．C根据题目的定义得，

，化简得，

，可根据该分段函数做出图像，

显然在左边的交点处取得最大值，此时，，得即为所求；

5．B由题意得，，当且仅当，即时取“=”，

所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.

6．A由题设有，由得，故选A.

7．A由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函数解析式为.

8．B依题意，解得.

9．BD一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次，

一年的总储存费用为万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为，

因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，一年的总运费与总储存费用之和最小为万元，

10．CDE解：在中，出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，错误；在中，出租车行驶4km，乘客需付费元，错误；

在中，出租车行驶10km，乘客需付费元，正确；在中，乘出租车行驶5km，乘客需付费元，乘坐两次需付费26.6元，，正确；在中，设出租车行驶时，付费元，由知，因此由，解得，正确．

11．BD由该车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，得：前3小时的产量逐步减少，故A错，B正确；后2小时均没有生产，故C错，D正确．

12．BD大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.

13．1120由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，y∵y＝30＞25∴x＞1100∴0.1（x﹣1100）+25＝30

解得，x＝1150，1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元．

14．设利润为，则，当时，有最大值，

15．7设二次函数y=a(x-6)2+11，又过点(4，7)，所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.解y≥0，得6-≤x≤6+，所以有营运利润的时间为2.又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年.

16．.解：设每件售价元时，售出件，设，

因为，所以①，因为，所以②，

解由①②组成的方程组得，，所以.由.故答案为：.

17．(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min

（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，将（30，800），（60，2000）代入得，

，解得，∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．

（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，则，解得．即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，

解方程组，得，即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．

（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，∵75–60=15，∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．

18．（1）；（2）.

（1），为开口向上，对称轴为x=1的抛物线，

因为，所以在上单调递减，在单调递增，又，

所以，解得，所以.

由（1）知，，所以在上有解，

所以，令，则，设，，为开口向下，对称轴为的抛物线，所以，

所以k的取值范围为.

19．（1）；（2）日租金定为元时，日净收入最多，为元.

（1）由题知：当时，，令，解得，因为，所以，.当时，，，.所以.

（2）当，且时，为增函数，所以元.当，且时，，

当时，元.综上所述，当每日自行车日租金定为元时，日净收入最多，为元.

20．设此户居民本月用水量为，当时，，解得，不满足题意；当时，，解得，满足题意；

当时，，解得，不满足题意，

综上所述，此户居民本月用水量为.

21．（1）；（2）每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.

(1)设每月产量为台，则总成本为.又，

(2)当时，，所以当时，有最大值12 500；

当时，是减函数，.

所以当时，f(x)取最大值，最大值为12 500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.

22．（1）；（2）分钟.

（1）由题意知，（k为常数），

因，则，所以；

（2）由得，

即，

①当时，，当且仅当等号成立；

②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，

由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.