人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数学案

4.2：指数函数

知识点1：指数函数的概念

1.指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是R.

2.指数函数的结构特征

指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.

例1-1：给出下列函数：

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.

其中为指数函数的有         （填序号）.

答案：①⑤⑧

指数点2：指数函数的图象和性质

函数的图象和性质如下表：

例2-2：如果指数函数是R上的增函数，那么的取值范围是（   ）

A.           B.          C.R         D.

答案：D

例2-3：已知集合，则（   ）

1. ∅           B.      C.     D.

答案：D

例2-4：已知函数在（0，2）上的值域是（1，），则的大致图象是（    ）.

答案：B

重难拓展

指数函数的底数对图像的影响

函数的图像如图所示：

观察图像，我们有如下结论：

1.底数与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.

（1）当时，指数函数的图像是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图像越“陡”，说明其函数值增长的越快.

（2）当时，指数函数的图像是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图像越“陡”，说明其函数值减小的越快.

2.底数的大小决定了图像相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图像越“靠上”.

在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图像相对位置的高低；

在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图像高”；

在轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低”；

例3-5：已知则在同一平面直角坐标系内，它们的图像为（   ）.

答案：A

例3-6：已知实数满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤.其中，可能成立的关系是有（   ）

1. 1个           B. 2个            C. 3个              D. 4个

答案：C

题型与方法

题型1：指数函数的图像及其应用

1.利用指数函数的图像作有关函数的图像

例7：利用函数的图像，作出下列各函数的图像：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.

答案：

2.图像的识别问题

例8：（1）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（   ）.

1.             B.     
2.          D.

答案：D

（2）函数的图像大致为（    ）

答案：A

例9：已知函数，当时，取得最小值则的图像为（    ）

答案：A

变式训练1：若函数的图像不经过第二象限，则有（   ）

A.       B.     C.    D.

答案：D

变式训练2：二次函数与指数函数的图像可能是（    ）.

答案：A

3.过定点问题

例10.函数的图像过定点          .

答案：（3,4）

4.图像的应用——数形结合

（1）定义区间[]（）的长度为.已知函数的定义域为[]，值域为[1,2]，则区间[]的长度的最大值与最小值的差为（   ）

A.          B. 1           C.          D.2

（2）若直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是        .

答案：（1）B   （2）（）

题型2：求指数型复合函数的定义域和值域

例12：求下列函数的定义域和值域：

（1）；                （2）；   

（3）                  （4）.

答案：（1）定义域：，值域；（2）定义域：，值域：；

（3）定义域：，值域：；（4）定义域：R，值域：.

变式训练：已知集合，则满足的集合B可以是（   ）.

A.         B.      C.       D.

答案：B

题型3：指数函数单调性的应用

1.比较大小

例14：比较下列各题中两值的大小：

（1）       （2）         （3）

答案：（1）＜      （2）＞        （3）＜

2.解指数不等式

例15：求满足下列条件的的取值范围：

（1）；     （2）；   （3）

答案：（1）；   （2）；    （3）

变式训练：已知函数若，则实数的取值范围是（   ）.

A.        B.       C.        D.

答案：C

题型4：指数型复合函数的奇偶性

例16：设函数是定义在R上的奇函数.

（1）求的值；

（2）若，试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式的解集.

答案：（1）；   （2）

题型5：指数函数的综合应用

例17:（1）已知，，判断的符号.

（2）解方程.

答案：（1）   （2）

例18：已知定义在R上恒不为0的函数满足

（1）证明

（2）证明当时，则在R上单调递增.

易错辨析

1. 忽略对底数的讨论致错

例19：已知函数，当时，求该函数的值域.

答案：

2.换元时忽略指数函数的值域致错

例20：函数的值域为         .

答案：

高考链接

考向1：与指数函数有关的定义域、值域问题

例22：函数的定义域为（    ）

A.        B.       C.        D.

答案：A

考向2：指数函数的图像识别及其应用

例23：函数的图像大致为（    ）

答案：B

考向3：指数函数的单调性及其应用

例24：设，则的大小关系是（   ）

A.       B.       C.       D.

答案：C

例25：若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于        .

答案： 1

例26：设函数，则满足的的取值范围是（   ）

A.        B.       C.        D.

答案：D

考向4：指数型符合函数的奇偶性

例27：（1）已知函数，则（   ）

1. 是偶函数，且在R上是增函数
2. 是奇函数，且在R上是增函数
3. 是偶函数，且在R上是减函数
4. 是奇函数，且在R上是减函数

答案：B

（2）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足：，则的取值范围是        .

答案：

变式训练：若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是（   ）

A.        B.       C.        D.

答案：C

基础巩固：

1.全集U=R，集合，则（   ）

A.        B.       C.        D.

2.函数的图像可能是（   ）

3.已知指数函数的图像经过抛物线的顶点，则（   ）

A.            B. 2          C.          D.3

4.设，则是（   ）

A.奇函数且在上单调递增

B.偶函数且在上单调递增

C.奇函数且在上单调递减

D.偶函数且在上单调递减

5.设则的大小关系是（   ）

A.       B.       C.       D.

6.已知函数的图像经过点（2,4），其中且

（1）求的值；

（2）求函数的值域.

7.已知；

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）证明>0.

能力提升：

8.已知集合，则（   ）

A.     B.    C.     D.∅

9.定义在R上的奇函数和偶函数满足.若，则=（  ）

A. 2               B.          C.          D.

10.若，则（    ）

A.       B.    C.     D.

11.若存在正数使成立，则的取值范围是（   ）

A.        B.       C.        D.

12.设函数，则满足的取值范围是（   ）

A.          B.         C.         D.

13.设函数定义在实数集上，，且当时，，则有（   ）

A.            B.

C.            D.

14.关于的方程有解，则的取值范围是（   ）

A.            B.           C.         D.

15.关于的方程有正实数根，则的取值范围是          .

16.已知函数恒成立，则实数 取值范围是         .

17.设函数则满足的的取值范围是          .

参考答案

1. B
2. C
3. A
4. D
5. A
6. （1）；（2）.
7. （1）  （2）偶函数  （3）略
8. A
9. B
10. B
11. D
12. C
13. D
14. B