人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试单元测试练习

这是一份人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试单元测试练习，共22页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ， ）

1. 如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，CD=5，AE=6，ED=3，则AB的长是( )

A.5B.10C.15D.20

2. 下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）

A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABC
C.AB2=AD⋅ACD.ADAC=DBBC

3. 如图，在△ABC中，DE // BC，若ADDB＝32，则AEEC的值为（ ）

A.23B.53C.32D.52

4. 如图，已知△ABC∽△DEF，AB:DE＝1:2，则下列等式一定成立的是（ ）

A.BCDF=12B.∠A∠D=12
C.△ABC△DEF=12D.△ABC△DEF=12

5. 若ab=23，则b2a=( )
A.13B.3C.43D.34

6. 已知ab=cd=23，且b+d≠0，则a+cb+d=( )
A.23B.25C.35D.15

7. 将下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（ ）

A.B.
C.D.

8. 点P是△ABC边AB上一点(AB>AC)，下列条件不一定能使△ACP∼△ABC的是( )
A.∠ACP=∠BB.∠APC=∠ACBC.ACAB=APACD.PCBC=ACAB

9. 如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE:EC=3:1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )

A.3:4B.9:1C.9:16D.3:1

10. 如图，在直角坐标系中，以某点为位似中心，将△ABC进行位似变换得到△EFG，则位似中心的坐标为( )

A.0,0B.0,1C.0,−1D.−1,0

11. 如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )

A.−3,2B.−3,1C.2,−3D.−2,3
二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ， ）

12. 已知线段AB的长度为2，点C为线段AB上的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长度为________．

13. 如图，用投影仪将图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为________cm．

14. 一个矩形对折后所成的矩形与原矩形相似，则此矩形的长、短边之比是________．

15. 如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′=2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为________．


16. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，则FGBC=________．

三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ， ）

17. 在△ABC中，∠C=90∘,AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角尺绕点P旋转，三角尺的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图①、图②、图③是三角尺逆时针旋转过程中得到的三种图形．

（1）观察图①、图②、图③中线段PD和PE之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；

（2）△PBE 是否能构成等腰三角形？若能，请求出 ∠PEB 的度数；若不能，请说明理由．

18. 如图，△ABC中，∠A=90∘，ED⊥BC，则：

(1)△ABC与△DBE是否相似？为什么？

(2)已知AC=6，AB=8，BE=5，则BC, DE分别为多少？

19. 如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为(3,1)，(2,−1).

(1)在y轴的左侧以点O为位似中心作△OAB的位似△OCD,使新图形与原图形的相似比为2:1；

(2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标.

20. 如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F．

求证：∠CAB=∠DAB；

若∠CAD=90∘，求证：四边形AEMF是正方形．

21. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，△DEF与△ABC是否位似？如果位似，找出位似中心？


22. 如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，M是AD的中点，N，E是BC的三等分点，P是AB上一动点．

(1)当MP//BD时，求MP的长；

(2)是否存在点P，满足△AMP与以点B，N，P为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．

23. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0, 2)，B(1, 4)，C(4, 3).

(1)画出△ABC绕点A逆时针旋转90∘后得到的△A1B1C1；

(2)画一个以原点O为位似中心，与△ABC位似，相似比为2的△A2B2C2.

24. 如图，在平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点的坐标分别是A1,3，B4,1，C1,1.

(1)在第三象限内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，且△ABC与△A1B1C1的相似比为1:2；

(2)分别写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标．

25. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点F，延长BC到点E，使得BC=CE，连接AE分别交BD，CD于点G，H．

(1)求证：BG=4FG.

(2)若AB=5，BC=6，求线段GH的长度．
参考答案与试题解析
新人教版九年级下数学第27章 相似单元测试卷
一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据相似三角形判定的预备定理证△ABE∼△DCE，然后由相似三角形的性质对应边成比例求解即可.
【解答】
解：∵AB//CD，
∴ △ABE∼△DCE，
∴ABCD=AEED，即AB5=63，
∴AB=10.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的判定
【解析】
根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】
A、∵ ∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴ △ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵ ∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴ △ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵ AB2=AD⋅AC，∴ ACAB=ABAD，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、ADAC=DBBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
3.
【答案】
C
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
直接利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】
∵ DE // BC，
∴ AEEC=ADDB=32．
4.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】
∵ △ABC∽△DEF，
∴ BCEF=12，A不一定成立；
∠A∠D=1，B不成立；
△ABC△DEF=14，C不成立；
△ABC△DEF=12，D成立，
5.
【答案】
D
【考点】
比例的性质
【解析】
设a=2k，b=3k,代入求出即可．
【解答】
解：设a=2k ,b=3k，k≠0，
则b2a=3k2×2k=34.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
比例线段
【解析】
由ab=cd=23，和比例的性质解答即可．
【解答】
∵ ab=cd=23，
∴ a+cb+d=23b+23cb+c=23，
7.
【答案】
A
【考点】
相似图形
【解析】
根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】
∵ 图中的箭头要缩小到原来的12，
∴ 箭头的长、宽都要缩小到原来的12；
选项B箭头大小不变；
选项C箭头扩大；选项D的长缩小、而宽没变．
8.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的判定
【解析】
根据相似三角形的判定方法．利用公共角∠A进行求解．
【解答】
解：∵ ∠A=∠A，
∴ 当∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B（有两个对应角相等的三角形相似）
或AC:AB=AP:AC时（有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似），
△ACP∼△ABC．
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ DC // AB，
∴ △DFE∼△BFA.
∵ DE:EC=3:1，
∴ DE:DC=3:4，
∴ DE:AB=3:4，
∴ S△DFE :S△BFA=9:16．
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
确定位似中心
【解析】
1
【解答】
解：如图所示，三角形的位似中心为−1,0．
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
位似的有关计算
确定位似中心
【解析】
根据位似变换的概念找出位似中心，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】
解：如图点P为位似中心，
∴ PBPA=12，
即PBPB+3=12，
解得PB=3，
∴ 点P的坐标为−3,2.
故选A.
二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）
12.
【答案】
5−1
【考点】
黄金分割
【解析】
根据黄金比值为5−12计算，得到答案．
【解答】
∵ C为线段AB上的黄金分割点，AC>BC，
∴ AC=5−12AB=5−1，
13.
【答案】
18
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
如图，PC=20，PD=60，AB=6，证明△PAB∽△AEF，则利用相似三角形的性质得到6EF=2060，然后利用比例性质求EF即可．
【解答】
解：如图，
PC=20，PD=60，AB=6，
∵ AB // EF，
∴ △PAB∽△AEF，
∴ ABEF=PCPD，即6EF=2060，
∴ EF=18(cm)．
故答案为18．
14.
【答案】
2:1
【考点】
相似多边形的性质
【解析】
矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长边长是a，短边长是b．则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=a2．
【解答】
解：根据矩形相似，对应边的比相等得到：BFAB=EFBC，
即：a2b=ba，
则b2=a22，
∴ a2b2=2，
∴ ab=2:1
矩形的长边与短边的比是2:1．
故答案为：2:1．
15.
【答案】
3:1
【考点】
位似的性质
【解析】
由位似的定义可得其位似比为3:1，利用相似三角形的周它比等于相似比可求得答案．
【解答】
解：∵AA′=2OA′，
∴ OA=3OA′.
∵ 点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，
∴ ACA′C′=OAOA′=31，
则△ABC与△A′B′C′的周长比为3：1.
故答案为：3:1.
16.
【答案】
47
【考点】
位似变换
【解析】
本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，
∴ OEOA=47，
则FGBC=OEOA=47，
故答案为：47．
三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ）
17.
【答案】
解：（1）图①、图②、图③结论：
PD=PE，
如图②，连接CP，
则CP⊥AB，CP平分∠ACB，
∴ ∠BPC=90∘，
∠PCD=∠PCB=∠B=45∘，
∴ PC=PB，
又∠DPE=90∘，
∴ ∠CPD=∠BPE，
∴ △PCD≅△PBEASA．
∴ PD=PE．
（2）能．当点E在线段CB上时，分三种情况：
（Ⅰ）若PE=PB，则∠PEB=∠B=45∘此时，点D与点A重合，点E与点C重合，∠PEB=45∘；
（Ⅱ）若PE=BE，则∠EPB=∠B=45∘
∴ ∠PEB=90∘；
（Ⅲ）若BE=BP，则∠PEB=∠BPE=12×180∘−45∘=67.5∘；
当点E在CB延长线上时，若BE=BP，则
∠PEB=∠BPE=12×180∘−135∘=22.5∘
综上，∠PEB 为45∘,90∘,67.5∘,22.5∘时，△PBE能构成等腰三角形．
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）图①、图②、图③结论：
PD=PE，
如图②，连接CP，
则CP⊥AB，CP平分∠ACB，
∴ ∠BPC=90∘，
∠PCD=∠PCB=∠B=45∘，
∴ PC=PB，
又∠DPE=90∘，
∴ ∠CPD=∠BPE，
∴ △PCD≅△PBEASA．
∴ PD=PE．
（2）能．当点E在线段CB上时，分三种情况：
（Ⅰ）若PE=PB，则∠PEB=∠B=45∘此时，点D与点A重合，点E与点C重合，∠PEB=45∘；
（Ⅱ）若PE=BE，则∠EPB=∠B=45∘
∴ ∠PEB=90∘；
（Ⅲ）若BE=BP，则∠PEB=∠BPE=12×180∘−45∘=67.5∘；
当点E在CB延长线上时，若BE=BP，则
∠PEB=∠BPE=12×180∘−135∘=22.5∘
综上，∠PEB 为45∘,90∘,67.5∘,22.5∘时，△PBE能构成等腰三角形．
18.
【答案】
解：(1)在△ABC和△DBE中，∠A=∠EDB=90∘，∠B=∠B，
∴ △ABC∼△DBE.
(2)在Rt△ABC中，BC=AB2+AC2=10.
∵ △ABC∼△DBE，
∴ ACDE=BCBE，
∴ 6DE=105，
∴ DE=3.
【考点】
相似三角形的性质
相似三角形的判定
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在△ABC和△DBE中，∠A=∠EDB=90∘，∠B=∠B，
∴ △ABC∼△DBE.
(2)在Rt△ABC中，BC=AB2+AC2=10.
∵ △ABC∼△DBE，
∴ ACDE=BCBE，
∴ 6DE=105，
∴ DE=3.
19.
【答案】
解：(1)如图：△OCD即为所求.
(2)由图可知：C:−6,−2，D:−4,2.
【考点】
作图-位似变换
点的坐标
【解析】
通过已知图形将其扩大两倍作原点位似.
根据上一题直接从图中得出坐标.
【解答】
解：(1)如图：△OCD即为所求.
(2)由图可知：C:−6,−2，D:−4,2.
20.
【答案】
证明：∵ AB是CD的垂直平分线，
∴ AC=AD，又∵ AB⊥CD∴ ∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；
证明：∵ ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD=90∘，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90∘，
∴ 四边形AEMF是矩形，
又∵ ∠CAB=∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，
∴ ME=MF，∴ 矩形AEMF是正方形．
【考点】
圆周角定理
射影定理
切线的判定与性质
圆内接四边形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
略
21.
【答案】
解：△DEF与△ABC是位似图形，位似中心是点O，
理由：∵ 点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴ DEAC=DFBC=EFAB=12，
∴ △DEF∼△CAB，
∵ 连接AE，BF，CD交于一点O，
故△DEF与△ABC是位似图形，位似中心是点O.
【考点】
位似图形的判断
确定位似中心
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：△DEF与△ABC是位似图形，位似中心是点O，
理由：∵ 点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴ DEAC=DFBC=EFAB=12，
∴ △DEF∼△CAB，
∵ 连接AE，BF，CD交于一点O，
故△DEF与△ABC是位似图形，位似中心是点O.
22.
【答案】
解：(1)∵PM//BD，AM=MD，
∴AP=PB，
∴PM=12BD，
∵BD=62+82=10，
∴PM=5．
(2)存在点P使得两三角形相似．
∵BN=4，设AP=x，则PB=8−x，
当△MAP∽△NBP时，
MABN=APPB，
∴34=x8−x，
解得x=247．
当△MAP∽△PBN时，
MAPB=APNB，
∴38−x=x4，
解得x=2或6，
∴存在点P使得两三角形相似，此时AP的长为247或2或6．
【考点】
勾股定理
三角形中位线定理
相似三角形的性质与判定
矩形的性质
【解析】
(1)只要证明PM=12BD，求出BD即可；
(2)分两种情形讨论求解即可解决问题；
【解答】
解：(1)∵PM//BD，AM=MD，
∴AP=PB，
∴PM=12BD，
∵BD=62+82=10，
∴PM=5．
(2)存在点P使得两三角形相似．
∵BN=4，设AP=x，则PB=8−x，
当△MAP∽△NBP时，
MABN=APPB，
∴34=x8−x，
解得x=247．
当△MAP∽△PBN时，
MAPB=APNB，
∴38−x=x4，
解得x=2或6，
∴存在点P使得两三角形相似，此时AP的长为247或2或6．
23.
【答案】
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所作，
(2)如图所示，△A2B2C2即为所作，
【考点】
确定位似中心
作图-旋转变换
【解析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90∘的对应点的位置，然后顺次连接即可；
【解答】
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所作，
(2)如图所示，△A2B2C2即为所作，
24.
【答案】
解：1如图，△A1B1C1即为所求.
2由题意得A1−2,−6，B1−8,−2，C−2,−2.
【考点】
作图-位似变换
位似的有关计算
点的坐标
【解析】
将A，B，C的横纵坐标都乘以−2得到A1，B1，C1的坐标，描点即可.
【解答】
解：1如图，△A1B1C1即为所求.
2由题意得A1−2,−6，B1−8,−2，C−2,−2.
25.
【答案】
(1)证明：∵ AD//BE，
∴ △ADG∼EBG，
∴ DGBG=ADBE．
∵ BC=CE，
∴ DGBG=ADBE=12，
∴ DG=12BG．
设DG=x，则BG=2x，BD=3x．
∵ F为矩形ABCD对角线的交点，
∴ BF=DF=3x2，
∴ FG=DF−DG=3x2−x=x2，
∴ FGBG=x22x=14．
即BG=4FG．
(2)解：∵ CD//AB，C为BE的中点，
∴ CH为△ABE的中位线，
∴ CH=12AB=52，
∴ DH=DC−CH=52，AD=BC=6．
在Rt△ADH中，AH2=AD2+DH2，
∴ AH=132．
∵ AB//DC，
∴ △ABG∼△HDG，
∴ ABDH=AGGH=2，
∴ GH=12AG=13AH，
∴ GH=136．
【考点】
矩形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵ AD//BE，
∴ △ADG∼EBG，
∴ DGBG=ADBE．
∵ BC=CE，
∴ DGBG=ADBE=12，
∴ DG=12BG．
设DG=x，则BG=2x，BD=3x．
∵ F为矩形ABCD对角线的交点，
∴ BF=DF=3x2，
∴ FG=DF−DG=3x2−x=x2，
∴ FGBG=x22x=14．
即BG=4FG．
(2)解：∵ CD//AB，C为BE的中点，
∴ CH为△ABE的中位线，
∴ CH=12AB=52，
∴ DH=DC−CH=52，AD=BC=6．
在Rt△ADH中，AH2=AD2+DH2，
∴ AH=132．
∵ AB//DC，
∴ △ABG∼△HDG，
∴ ABDH=AGGH=2，
∴ GH=12AG=13AH，
∴ GH=136．