初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试综合训练题

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试综合训练题，共22页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）

1. 若一个三角形三个内角度数的比为 1:2:3，那么这个三角形最小角的余弦值为（ ）
A.13B.12C.33D.32

2. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）

A.13B.2−1C.2−3D.14

3. sin30∘的值等于( )
A.12B.1C.32D.33

4. 小明沿着坡比为1:3的山坡向上走了600m，则他升高了（ ）
A.2003mB.2002mC.300 mD.200m

5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30∘方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）

A.402海里B.403海里C.80海里D.406海里

6. 计算：sin30∘=( )
A.1B.12C.22D.33

7. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A的正弦值是14，那么下列各式正确的是( )
A.AB=4BCB.AB=4ACC.AC=4BCD.BC=4AC

8. 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为42的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是( )

A.43B.45C.8D.410

9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=23，则阴影部分图形的面积为( )

A.4πB.2πC.πD.2π3

10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D.如果AD=8，BD=4，那么tanA的值是( )

A.12B.22C.33D.2
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ， ）

11. 2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，用含有m、n的式子表示AB的长为________．


12. 已知α是锐角，且sinα=13，则tanα=________．

13. 若α<60∘，且sin(60∘−α)=1215，则cs(30∘+α)=________．

14. 某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB//DC，∠AEC=90∘，根据图中的数据计算BC的长为_________cm(精确到1cm).（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）


15. 某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图，原阶梯式自动扶梯AB的长为a米，坡角∠ABD=45∘，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB=15∘，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了BC的长度且BC的长度为20米，则a的值为________．（结果精确到0.1米，参考数据：sin15∘≈0.26，cs26∘≈0.97，tan15∘≈0.27，2≈1.414)


16. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________​∘．
三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ， ）

17. 已知sinα=45，求锐角α的其他三角函数值．

18. 计算：4sin60∘+|1−3|−27+(3−π)0−1−2019.

19. 如图，为了测量河对岸古塔AB的高度，在坡度i=1:2.4的斜坡底C处测得古塔顶端Δ的仰角为60∘，沿斜坡上行26米到达D处，测得古塔顶端A的仰角为37∘（已知A、B、C、D在同一竖直平面内）．求古塔AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：sin37∘≈0.6，cs37∘≈0.8，tan37∘≈0.75，3≈1.73）．


20. 在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53∘，从综合楼底部4处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30∘，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37∘≈0.75，tan53∘≈1.33，3≈1.73）


21. 钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为14.4km（即MC＝14.4km）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的北偏东42∘方向；航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东56∘方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin42∘≈0.67，cs42∘≈0.74，tan42∘≈0.90，sin56∘≈0.83，cs56∘≈0.56，tan56∘≈1.48）


22. 如图，MN是一条东西走向的海岸线，上午9:00点一艘船从海岸线上港口A处沿北偏东30∘方向航行，上午11：00点抵达B点，然后向南偏东75∘方向航行，一段时间后，抵达位于港口A的北偏东60∘方向上的C处，船在航行中的速度均为30海里/时，求A到C的距离.


23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A，B均在小正方形的顶点上.

(1)在图中画出△ABC，∠BAC=90∘，且△ABC的面积为5，点C在小正方形的顶点上；

(2)在(1)的基础上，在图中画出等腰三角形BCD，使∠CBD=∠BDC，点D在小正方形的顶点上．请直接写出tan∠CDB的值．

24. 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60∘，∠D=120∘，点E，F分别在AD，DC上（点E与A，D不重合），且∠BEF=120∘，设AE=x，DF=y．

1求证：△ABE∼△DEF；

2求出y关于x的函数关系；

3当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？

25. 已知：如图，AB=CD，AB//CD，点E，F在BD上， DE=BF．求证：

1AF=CE；

2AE//CF.
参考答案与试题解析
新人教版九年级下数学第28章 锐角三角函数单元测试卷
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设这三个内角分别为x，2x，3x，
由题意得，x+2x+3x=180∘，
解得：x=30∘，
即最小角为30∘．
所以cs30∘=32.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
解直角三角形
等腰直角三角形
【解析】
利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=2AC，DE=EC=22DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=45∘，BC=2AC．
又∵ 点D为边AC的中点，
∴ AD=DC=12AC．
∵ DE⊥BC于点E，
∴ ∠CDE=∠C=45∘，
∴ DE=EC=22DC=24AC，
∴ tan∠DBC=DEBE=24AC2AC−24AC=13．
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
由30∘的正弦值为12，即可求得答案．
【解答】
解：sin30∘=12.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
多边形内角与外角
勾股定理的应用
【解析】
首先根据题意画出图形，由坡度为1:3，可求得坡角∠A＝30∘，又由小明沿着坡度为1:3的山坡向上走了600m，根据直角三角形中，30∘所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．
【解答】
如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵ 坡度：i＝1:3，
∴ tan∠A＝1:3=33，
∴ ∠A＝30∘，
∵ AB＝600m，
∴ BE=12AB＝300(m)．
∴ 他升高了300m．
5.
【答案】
A
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．
【解答】
解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：∠A=30∘，∠B=45∘，AP=80(海里)，
故CP=12AP=40（海里），
则PB=40sin45=402（海里）．
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
根据sin30∘=12直接解答即可．
【解答】
解：sin30∘=12．
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案 .
【解答】
解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A的正弦值是14，
∴ sinA=BCAB=14，
∴ AB=4BC .
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
七巧板
正方形的性质
勾股定理
【解析】
如图2中，连接EG，GM⊥EN交EN的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可．
【解答】
解：如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．
在Rt△EMG中，
∵ GM=4，EM=2+2+4+4=12，
∴ EG=EM2+GM2=122+42=410，
∴ EH=EG2=45.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
锐角三角函数的定义--与圆有关
求阴影部分的面积
扇形面积的计算
垂径定理
【解析】
根据垂径定理求得CE=ED=3，然后由圆周角定理知∠COE=60∘，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形OCB−S△COE+S△BED．
【解答】
解：如图，假设线段CD，AB交于点E.
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ CE=ED=3.
又∵ ∠CDB=30∘，
∴ ∠COE=2∠CDB=60∘，∠OCE=30∘，
∴ OE=CE÷tan60∘=3×33=1，OC=2OE=2，
∴ S阴影=S扇形OCB−S△COE+S△BED
=60π×OC2360−12OE×EC+12BE⋅ED
=2π3−32+32=2π3．
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
锐角三角函数的定义--利用三角形相似比例
相似三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 在△ABC中，∠ACB=90∘，
∴ ∠A+∠B=90∘.
∵ CD⊥AB，∴ ∠DCB+∠B=90∘，
∴ ∠A=∠DCB，
∵ ∠ADC=∠CDB=90∘，
∴ △ADC∼△CDB，
∴ ADDC=DCBD=ACCB.
∵ AD=8，BD=4，
∴ CD2=AD⋅BD=32，
∴ CD=42，
∴ tanA=BCAC=DCAD=428=22.
故选B.
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
11.
【答案】
m+33n−n
【考点】
解直角三角形的应用
【解析】
延长BA交CE于点E，设CF⊥BF于点F，通过解直角三角形可求出DF、AE的长度，再利用AB＝CD+DF−AE即可求出结论．
【解答】
延长BA交CE于点E，设CF⊥BF于点F，如图所示．
在Rt△BDF中，BF＝n，∠DBF＝30∘，
∴ DF＝BF⋅tan∠DBF=33n．
在Rt△ACE中，∠AEC＝90∘，∠ACE＝45∘，
∴ AE＝CE＝BF＝n，
∴ AB＝BE−AE＝CD+DF−AE＝m+33n−n．
12.
【答案】
22
【考点】
同角三角函数的关系
【解析】
根据同一个锐角的正弦与余弦的关系，可得锐角的余弦，根据正切函数与正弦、余弦的函数，可得答案．
【解答】
解：α是锐角，且sinα=13，得
csα=1−sin2α=1−(13)2=223，
tanα=sinαcsα=22313=22，
故答案为：22．
13.
【答案】
45
【考点】
互余两角三角函数的关系
【解析】
由于60∘−α+30∘+α=90∘，且α<60∘，即60∘−α和30∘+α互余，根据互余两角的三角函数的关系即可得到cs(30∘+α)=sin(60∘−α)=45．
【解答】
解：∵ 60∘−α+30∘+α=90∘，且α<60∘，
∴ cs(30∘+α)=sin(60∘−α)=45．
故答案为：45．
14.
【答案】
22
【考点】
解直角三角形的应用-其他问题
【解析】
作DM⊥AB于M，在Rt△BCE中，由三角函数求出BE≈37.5(cm)，在Rt△ADM易知BM=16(cm)，从而求出
ME的长，即可得出CD的长．
【解答】
解：作DM⊥AB于M，如图所示：
在Rt△BCE中，BE=CE×tan37∘=50×0.75=37.5(cm)，
∵ ∠DAO=45∘，∠BAO=90∘，
∴ ∠DAM=45∘，
∴ △ADM是等腰直角三角形，
∴ AM=DM=50cm.
∵ AB=34cm，
∴ BM=AM−AB=16(cm)，
∴ CD=ME=BE−BM=37.5−16≈22(cm).
故答案为：22．
15.
【答案】
10.5
【考点】
解直角三角形的应用-其他问题
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：设AD=x米，
∵∠ABD=45∘，
∴BD=AD=x米，
∴CD=(20+x)米．
在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD，
∴tan15∘=x20+x，
∴0.27≈x20+x，
解得x≈7.4，
∴a=2x≈1.414×7.4≈10.5．
故答案为：10.5.
16.
【答案】
10
【考点】
方位角
位置的确定
【解析】
根据方位角的概念，还有平行线的性质，即可得到答案.
【解答】
解：如图：
由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，
∴ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.
故答案为：10 .
三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ）
17.
【答案】
解：由题意可画图得，
在Rt△ABC中，∠C=90∘，
因为sinα=sinA=BCAB=45，
所以设BC=4k，AB=5k，
所以AC=3k，
所以csα=csA=ACAB=35，
tanα=tanA=BCAC=43.
【考点】
锐角三角函数的定义
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可画图得，
在Rt△ABC中，∠C=90∘，
因为sinα=sinA=BCAB=45，
所以设BC=4k，AB=5k，
所以AC=3k，
所以csα=csA=ACAB=35，
tanα=tanA=BCAC=43.
18.
【答案】
解：原式=4×32+3−1−33+1−1
=23+3−1−33
=−1.
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
特殊角的三角函数值
绝对值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=4×32+3−1−33+1−1
=23+3−1−33
=−1.
19.
【答案】
解：过D作DE⊥BC，交BC延长线于点E，
过点D作DF⊥AB，垂足为F．
由题意知：∠FDA=37∘，∠BCA=60∘，
在矩形BEDF中，DE=BF，DF=BE．
∵ i=DECE=1:2.4，
∴ CE=2.4DE，
在Rt△CED中，DE2+CE2=CD2，
∴ DE2+2.4DE2=262，
解得：DE=BF=10，CE=24，
在Rt△AFD中，tan37∘=AFDF，
∴ DF=BE≈AF0.75=AB−100.75，
在Rt△BCA中，tan60∘=ABBC，
∴ BC=AB3≈AB1.73，
∵ BE−BC=CE，
即AB−100.75−AB1.73=24，
∴ AB≈49.4（米），即古塔AB的高度约为49.4米．
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
勾股定理
【解析】
无
【解答】
解：过D作DE⊥BC，交BC延长线于点E，
过点D作DF⊥AB，垂足为F．
由题意知：∠FDA=37∘，∠BCA=60∘，
在矩形BEDF中，DE=BF，DF=BE．
∵ i=DECE=1:2.4，
∴ CE=2.4DE，
在Rt△CED中，DE2+CE2=CD2，
∴ DE2+2.4DE2=262，
解得：DE=BF=10，CE=24，
在Rt△AFD中，tan37∘=AFDF，
∴ DF=BE≈AF0.75=AB−100.75，
在Rt△BCA中，tan60∘=ABBC，
∴ BC=AB3≈AB1.73，
∵ BE−BC=CE，
即AB−100.75−AB1.73=24，
∴ AB≈49.4（米），即古塔AB的高度约为49.4米．
20.
【答案】
解：根据题意， ∠BDA=53∘，AB=24，
在Rt△BDA中， tan53∘=ABAD，
∴ AD=241.33，
在Rt△ACD中，∠CAD=30∘，
∴ tan30∘=CDAD，
∴ CD=241.33⋅33=24133×1733≈10.4（米），
故办公楼的高度约为10.4米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意， ∠BDA=53∘，AB=24，
在Rt△BDA中， tan53∘=ABAD，
∴ AD=241.33，
在Rt△ACD中，∠CAD=30∘，
∴ tan30∘=CDAD，
∴ CD=241.33⋅33=24133×1733≈10.4（米），
故办公楼的高度约为10.4米．
21.
【答案】
钓鱼岛东西两端MN之间的距离约为3.4km
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
在Rt△ACM和在Rt△BCN中，利用正切函数解答．
【解答】
在Rt△ACM中，tan∠CAM＝tan42∘=CMAC=1，
∴ AC≈16km，
∴ BC＝AC−AB＝16−4＝12km，
在Rt△BCN中，tan∠CBN＝tan56∘=CNBC，
∴ CN≈17.76km，
∴ MN≈3.4km．
22.
【答案】
解：如图，过B作BE⊥AC于点E，如图：
∵∠GAB=30∘ ,∠GAC=60∘，
∴∠BAE=30∘,
在Rt△ABE中,
∵∠AEB=90∘ ,AB=30×2=60（海里），
∠BAE=30∘,
∴BE=12AB=30（海里），
AE=3BE=303（海里），
在Rt△CBE中，
∵∠CEB=90∘ , ∠EBC=75∘−60∘−30∘=45∘，
∴CE=BE=30（海里），
∴AC=AE+CE=(303+30)（海里），
答：A到C的距离(303+30)海里.
【考点】
方位角
解直角三角形的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，过B作BE⊥AC于点E，如图：
∵∠GAB=30∘ ,∠GAC=60∘，
∴∠BAE=30∘,
在Rt△ABE中,
∵∠AEB=90∘ ,AB=30×2=60（海里），
∠BAE=30∘,
∴BE=12AB=30（海里），
AE=3BE=303（海里），
在Rt△CBE中，
∵∠CEB=90∘ , ∠EBC=75∘−60∘−30∘=45∘，
∴CE=BE=30（海里），
∴AC=AE+CE=(303+30)（海里），
答：A到C的距离(303+30)海里.
23.
【答案】
解：(1)如图所示，△ABC即为所求.
(2)如图所示，△BCD即为所求.
由图知，tan∠CDB=2.
【考点】
作图—几何作图
锐角三角函数的定义--利用网格
【解析】
(1)作出直角边分别为25 , 5的直角三角形即可.
(2)作出腰为5的等腰三角形利用网格和正切三角函数的定义求解即可.
【解答】
解：(1)如图所示，△ABC即为所求.
(2)如图所示，△BCD即为所求.
由图知，tan∠CDB=2.
24.
【答案】
1证明：∵ AD // BC，∠ABC=60∘，
∴ ∠A=120∘，
∵ ∠BEF=120∘，
∴ ∠A=∠BEF.
又∵ ∠AEB+∠BEF+∠DEF=180∘，
在△AEB中，∠AEB+∠A+∠ABE=180∘，
∴ ∠DEF=∠ABE，
又∠A=∠D，
∴ △ABE∼△DEF；
2解：∵ △ABE∼△DEF，
∴ ABDE=AEDF，即66−x=xy，
解得y=−16x2+x；
3解：∵ y=−16x2+x，
∴ y=−16(x−3)2+32，且−16<0，
∴ 当x=3时，y最大值=32．
【考点】
相似三角形的性质
相似三角形的判定
二次函数的最值
【解析】
（1）由AD // BC，AB=DC，∠ABC=60∘，由等腰梯形的性质可得∠A=∠D，等量代换易得∠A=∠BEF，可得∠DEF=∠ABE，证得结论；
（2）由△ABE∽△DEF，利用相似三角形对应边的比相等，得出y关于x的函数关系；
（3）利用配方法，将（2）中的函数关系式写成顶点式，可求最大值．
【解答】
1证明：∵ AD // BC，∠ABC=60∘，
∴ ∠A=120∘，
∵ ∠BEF=120∘，
∴ ∠A=∠BEF.
又∵ ∠AEB+∠BEF+∠DEF=180∘，
在△AEB中，∠AEB+∠A+∠ABE=180∘，
∴ ∠DEF=∠ABE，
又∠A=∠D，
∴ △ABE∼△DEF；
2解：∵ △ABE∼△DEF，
∴ ABDE=AEDF，即66−x=xy，
解得y=−16x2+x；
3解：∵ y=−16x2+x，
∴ y=−16(x−3)2+32，且−16<0，
∴ 当x=3时，y最大值=32．
25.
【答案】
证明：1∵AB//CD，
∴∠B=∠D，
又∵AB=CD，DE=BF，
∴△ABF≅△CDE(SAS)，
∴AF=CE.
2∵AB//CD，
∴∠B=∠D，
又∵AB=CD，DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，
即DF=BE，
∴△ABE≅△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE//CF.
【考点】
全等三角形的性质
全等三角形的判定
平行线的判定
全等三角形的性质与判定
【解析】
1运用三角形全等判断的方法判断三角形全等，然后运用全等三角形的性质进行解答；
2运用三角形全等判断的方法判断三角形全等，然后运用全等三角形的性质进行解答.
【解答】
证明：1∵AB//CD，
∴∠B=∠D，
又∵AB=CD，DE=BF，
∴△ABF≅△CDE(SAS)，
∴AF=CE.
2∵AB//CD，
∴∠B=∠D，
又∵AB=CD，DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，
即DF=BE，
∴△ABE≅△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE//CF.