辽宁省丹东市2020-2021学年高二下学期期末教学质量监测 数学试题 Word版含答案

丹东市2020～2021学年度（下）期末教学质量监测

高二数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡。

2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“，”的否定（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．已知等差数列的公差为，若为递增数列，则（    ）

A． B． C． D．

4．（    ）

A． B． C． D．

5．已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于0，则（    ）

A． B． C． D．

6．将封不同信投入个不同邮箱，每个邮箱最多投一封信的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知三个正实数，，满足，则+的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．当时，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．设函数的导函数为，则（    ）

A．展开式的第项和第项的二项式系数相等

B．展开式共有项

C．展开式中的各项系数和为

D．展开式中的系数为

11．设数列的前项和为，下列命题正确的是（    ）

A．若为等差数列，则，，仍为等差数列

B．若为等比数列，则，，仍为等比数列

C．若为等差数列，则（为正常数）为等比数列

D．若为等比数列，则为等差数列

12．甲口袋中有个红球，个白球和个黑球，乙口袋中有个红球，个白球和个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A．  B．

C．事件与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某地区为了解高中毕业年级男同学身体发育情况，从全地区高三年级男同学中随机抽取了同学为样本，分别测量样本中每名同学的体重（单位：），已知，，则样本中体重不低于的人数为______．

14．等比数列中，，，则______．

15．设，，随机变量的分布列如表所示：

则______；若，则______．（本题第一空2分，第二空3分．）

16．等差数列中，，，若为的前项和，则使取最小值时的值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。

17．设函数，曲线在处的切线方程为．

（1）求实数，的值；

（2）求的极值．

18．设等差数列的前项和为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由．

19．2020年10月29日，十九届五中全会发布公报，提出“稳妥实施渐进式延迟法定退休年龄”，标志着延迟退休将由此前的研究层面变成现实．某研究机构以年为一个调研周期，统计某地区的第个调研周期内新增的退休人数（单位：万人），得到统计数据如下表：

通过数据分析得到第个周期内新增的退休人数与之间具有线性相关关系．

（1）求关于的线性回归方程，并预测在第个调研周期内该地区新增退休人数

（２）该研究机构为了调研市民对延迟退休的态度，随机采访了名市民，将他们的意见和性别进行了统计，得到如下列联表：

根据列联表判断，是否有的把握认为支持延迟退休与性别有关？

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，．

参考数据：．

附：，

20．记为数列的前项和，，为常数，且，，证明：是以为公比的等比数列的充要条件为．

21．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．

（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．

（1）证明：为等比数列；

（ⅱ）证明：当时，．

22．已知以下三个不等式都成立：

①；②；③．

（1）从这三个不等式中选择一个不等式进行证明：

注：如果选择多个不等式分别进行证明，按第一个证明计分．

（2）若函数与的图像有且只有一个公共点，求的取值范围.

2020～2021学年度（下）期末教学质量监测

高二数学试题参考答案

一、选择题

1．    2．    3．    4．    5．    6．    7．    8．

二、选择题

9．    10．    11．    12．

三、填空题

13．    14．    15．；    16．

6．解：．或者．

7．解：，当且仅当，等号成立．

，当且仅当时，等号成立．

因此，当且仅当时，等号成立．

于是的最小值为．

8．解法1：

不等式可化为．

当时，，可得；

当时，，；

当时，，可得．

综上，的取值范围为．

解法2：

设，则，

所以．

因为，

所以，．

若，则，．

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故．

综上，的取值范围为．

12．解：，，．

因为，

所以．

同理，．

因为，，是两两互斥的事件，由全概率公式得

因为，

所以选项错误．

综上，选项错误，选项正确，选项正确．

15．解：由题设，可得．从而．

由，可得，于是．

16．解：设的公差为，则

．

．

．

由已知得，解得．

所以，．

设，，则在递减，在递增．

因为，比较与大小可知，当时，取得最小值．

四、解答题

17．解：（1），

由题设可得，，

所以

解得，．

（2）定义域为，．

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，取极小值，没有极大值．

18．解：（1）设的公差为，由题设，．

解得，，所以的通项公式．

（2）由知当时，，

当时，，故当时，．

因为，，，，，

所以当时，是的最大项．

19．解：（1）由题表中的数据可得，，．

因为，

所以，．

因此关于的线性回归方程为．

所以预测下一个调研周期内该地区新增的退休人数约为万人．

（2）由列联表可得，．

因为，所以没有的把握认为支持延迟退休与性别有关

20．证明：充分性

由，可知．

由，可得，而，，

故是以为公比的等比数列．

必要性

因为．①

根据等比数列定义，于是

②

①－②可得．

因为，所以．

【或者】必要性

根据等比数列通项公式，可得．③

③两式同时乘以可得．④

③－④可得．

因为，所以．

【注】必要性，使用和进行证明，给分．

21．解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，

则“第天不选择米饭套餐”．

根据题意，，，．

由全概率公式，得．

（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，，

根据题意，．

由全概率公式，得．

因此．

因为，

所以是以为首项，为公比的等比数列．

（ii）由（i）可得．

当为大于的奇数时，．

当为正偶数时，．

因此当时，．

22．解：方案一：证明不等式①．

设，当时，，单调递减．

所以，故不等式①成立．

（2）设，则函数与的图像有且只有一个公共点等价于有且只有一个零点．

当时，在单调递减，，故只有一个零点．

定义域为，．

当时，若，则，单调递减，

若，则，单调递增，所以．

若，，有且只有一个零点．

若，则．

当时，，因为，

所以在存在一个零点．

由不等式①可得．

因此，，

在存在一个零点，故有个零点．

当时，，因为，

所以在存在一个零点．

由不等式①可得．

所以，

在存在一个零点，故有个零点．

综上，的取值范围为．

方案二：证明不等式②．

设，当时，，单调递减．

所以，故不等式②成立．

（2）设，则函数与的图像有且只有一个公共点等价于有且只有一个零点．

当时，在单调递减，，故只有一个零点．

定义域为，．

当时，若，则，单调递减，

若，则，单调递增，所以．

若，，有且只有一个零点．

若，则．

当时，，因为，

所以在存在一个零点．

由可得，．

因此，，在存在一个零点，故有个零点．

当时，，因为，所以在存在一个零点．

此时，当时，由不等式②可得

．

于是，在存在一个零点，故有个零点．

综上，的取值范围为．

方案三：证明不等式③．

设，当时，，单调递减．

所以，故不等式③成立．

（2）设，则函数与的图像有且只有一个公共点等价于有且只有一个零点．

当时，在单调递减，，故只有一个零点．

定义域为，．

当时，若，则，单调递减，

若，则，单调递增，所以．

若，，有且只有一个零点．

若，则．

当时，，因为，

所以在存在一个零点．

由可得，．

因此，，在存在一个零点，故有个零点．

当时，，因为，

所以在存在一个零点．

由不等式③可得，在存在一个零点，故有个零点．

综上，的取值范围为．

【注】关于第二个问的解答：

（1）后半部分，不等式①②③的任何一个都可以直接使用．使用其他二级结论的，需要对结论进行证明，否则不能给满分．

（2）当时以及当时，运用“时，”和“时，”去说明，不讲明白为什么的解答，不能给满分．

（3）求出在处的切线后，再用图像说明当与时，函数与有两个个公共点的解答，给0分．