北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程课时练习

2021年新初三数学北师大新版新课预习《2.4用因式分解法求解一元二次方程》

一．选择题（共5小题）

1．（2021•东港市模拟）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是（　　）

A．0 B．3 C．0，3 D．0，﹣2

2．（2021春•下城区期中）若x2＝﹣x，则（　　）

A．x＝0 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝0

3．（2020秋•平顶山期末）x2+3x＝0的解为（　　）

A．x＝0 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3

4．（2020秋•常州期末）若代数式x2的值与2x的值相等，则x的值是（　　）

A．2 B．0 C．2或﹣2 D．0或2

5．（2020秋•长垣市期末）方程x（x﹣2）＝2x的解是（　　）

A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝4

二．填空题（共5小题）

6．（2021春•渝中区校级期中）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为　            　．

7．（2020秋•大洼区期末）方程x（x﹣2）＝（2﹣x）的解为　           　．

8．（2020秋•长宁区期末）方程x（x﹣3）＝3（x﹣3）的解是　        　．

9．（2020秋•朝阳区期末）一元二次方程x2﹣7x＝0的较大根为　 　．

10．（2020秋•郯城县期末）一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是　        　．

三．解答题（共5小题）

11．（2021春•东城区校级期中）解一元二次方程：

（1）4x2＝1；

（2）x2﹣2x﹣3＝0．

12．（2020秋•海珠区期末）解方程：x2﹣10x+16＝0．

13．（2020秋•宜兴市期末）解方程：

（1）x2+4x﹣2＝0；

（2）2x（x﹣3）＝x﹣3．

14．（2020秋•溧阳市期末）解下列方程：

（1）x2﹣2x﹣3＝0；

（2）2x2﹣5x﹣3＝0．

15．（2020秋•丹阳市期末）用适当的方法解方程：

（1）（x﹣1）2＝9；

（2）x2+4x﹣5＝0．

2021年新初三数学北师大新版新课预习《2.4用因式分解法求解一元二次方程》

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2021•东港市模拟）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是（　　）

A．0 B．3 C．0，3 D．0，﹣2

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【专题】计算题．

【分析】利用因式分解法解方程．

【解答】解：x（x﹣3）＝0，

x＝0或x﹣3＝0，

所以x1＝0，x2＝3．

故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

2．（2021春•下城区期中）若x2＝﹣x，则（　　）

A．x＝0 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝0

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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】观察方程，先移项再因式分解即可解出x的值．

【解答】解：x2＝﹣x，

x2+x＝0，

x（x+1）＝0，

∴x＝0或x+1＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣1，

所以A、B、C错误，

故选：D．

【点评】本题考查利用因式分解法解一元二次方程，本题先移项再因式分解是解题关键．

3．（2020秋•平顶山期末）x2+3x＝0的解为（　　）

A．x＝0 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3

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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】把方程的左面分解因式，即可得到答案．

【解答】解：∵x2+3x＝0，

∴x（x+3）＝0，

∴x＝0或x+3＝0，

∴x1＝0，x2＝﹣3．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

4．（2020秋•常州期末）若代数式x2的值与2x的值相等，则x的值是（　　）

A．2 B．0 C．2或﹣2 D．0或2

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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】先列方程x2＝2x，然后利用因式分解法解方程．

【解答】解：根据题意得x2＝2x，

移项得x2﹣2x＝0，

x（x﹣2）＝0，

x＝0或x﹣2＝0，

所以x1＝0，x2＝2．

故选：D．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

5．（2020秋•长垣市期末）方程x（x﹣2）＝2x的解是（　　）

A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝4

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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．

【解答】解：∵x（x﹣2）＝2x，

∴x（x﹣2）﹣2x＝0，

∴x（x﹣4）＝0，

则x＝0或x﹣4＝0，

解得x1＝0，x2＝4．

故选：D．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

二．填空题（共5小题）

6．（2021春•渝中区校级期中）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为　　．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；勾股定理．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．

【分析】解一元二次方程求得直角三角形的两直角边长，利用勾股定理求得即可．

【解答】解：∴x2﹣5x+6＝0，

（x﹣3）（x﹣2）＝0，

解得x1＝3，x2＝2，

∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，

∵斜边长＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确运用因式分解法解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

7．（2020秋•大洼区期末）方程x（x﹣2）＝（2﹣x）的解为　x1＝2，x2＝﹣1　．

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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】直接利用提取公因式法分解因式解方程即可得出答案．

【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，

（x﹣2）（x+1）＝0，

x﹣2＝0或x+1＝0，

所以x1＝2，x2＝﹣1．

故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

8．（2020秋•长宁区期末）方程x（x﹣3）＝3（x﹣3）的解是　x1＝x2＝3　．

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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】先移项得到x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0，然后利用因式法分解法解方程．

【解答】解：x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0，

（x﹣3）2＝0，

则x﹣3＝0，

∴x1＝x2＝3．

故答案为：x1＝x2＝3．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

9．（2020秋•朝阳区期末）一元二次方程x2﹣7x＝0的较大根为　7　．

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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】首先提取公因式x得到x（x﹣7）＝0，然后解两个一元一次方程求出方程的根即可．

【解答】解：∵一元二次方程x2﹣7x＝0，即x（x﹣7）＝0，

∴解得x1＝0，x2＝7，

∴此方程较大根是7，

故答案为：7．

【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．

10．（2020秋•郯城县期末）一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是　x＝2或x＝0　．

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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】根据因式分解法即可求出答案．

【解答】解：∵3x2﹣6x＝0，

∴3x（x﹣2）＝0，

∴x＝2或x＝0，

故答案为：x＝2或x＝0

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

三．解答题（共5小题）

11．（2021春•东城区校级期中）解一元二次方程：

（1）4x2＝1；

（2）x2﹣2x﹣3＝0．

【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案；

（2）直接利用因式分解法解方程得出答案．

【解答】解：（1）4x2＝1，

则x2＝，

解得：x1＝，x2＝﹣；

（2）x2﹣2x﹣3＝0

（x﹣3）（x+1）＝0，

故x﹣3＝0或x+1＝0，

解得：x1＝3，x2＝﹣1．

【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．

12．（2020秋•海珠区期末）解方程：x2﹣10x+16＝0．

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【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】直接利用因式分解法解方程得出答案．

【解答】解：x2﹣10x+16＝0

（x﹣2）（x﹣8）＝0，

x﹣2＝0或x﹣8＝0，

解得：x1＝2，x2＝8．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

13．（2020秋•宜兴市期末）解方程：

（1）x2+4x﹣2＝0；

（2）2x（x﹣3）＝x﹣3．

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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】（1）利用配方法解方程即可；

（2）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可得出答案．

【解答】解：（1）x2+4x﹣2＝0，

则x2+4x＝2，

故x2+4x+4＝2+4，

（x+2）2＝6，

则x+2＝±，

解得：，；

（2）2x（x﹣3）＝x﹣3，

（x﹣3）（2x﹣1）＝0，

则x﹣3＝0或2x﹣1＝0，

解得：．

【点评】此题主要考查了因式分解法、配方法解方程，正确分解因式是解题关键．

14．（2020秋•溧阳市期末）解下列方程：

（1）x2﹣2x﹣3＝0；

（2）2x2﹣5x﹣3＝0．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】（1）利用因式分解法得到x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；

（2）利用因式分解法得到2x+1＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．

【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0，

x﹣3＝0或x+1＝0，

所以x1＝3，x2＝﹣1；

（2）（2x+1）（x﹣3）＝0，

2x+1＝0或x﹣3＝0，

所以x1＝﹣，x2＝3．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

15．（2020秋•丹阳市期末）用适当的方法解方程：

（1）（x﹣1）2＝9；

（2）x2+4x﹣5＝0．

【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】（1）利用直接开平方法解方程；

（2）利用因式分解法解方程．

【解答】解：（1）x﹣1＝±3，

所以x1＝4，x2＝﹣2；

（2）（x+5）（x﹣1）＝0，

x+5＝0或x﹣1＝0，

所以x1＝﹣5，x2＝1．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．

考点卡片

1．解一元二次方程-直接开平方法

形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；

如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．

③方法是根据平方根的意义开平方．

2．解一元二次方程-配方法

（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

3．解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

4．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

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日期：2021/7/2 9:50:33；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867