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2020-2021学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了选播题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试卷
一、选播题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列几个数中，属于无理数的数是（ ）
A．0.1 B． C．π D．
2．（4分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（ ）
A．10° B．35° C．70° D．80°
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8
B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐
C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题
D．三角形的外角大于任何一个内角
5．（4分）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20
6．（4分）一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而增大，且kb＜0，则此函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
8．（4分）新冠疫情得到有效控制后，妈妈去药店为即将开学的李林和已经复工的爸爸购买口罩．若买50只一次性医用口罩和15只KN95口罩，需付325元；若买60只一次性医用口罩和30只KN95口罩，需付570元．设一只一次性医用口罩x元，一只KN95口罩y元，下面所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
10．（4分）如图，四边形ABCD是长方形，点F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝15°，则∠ACF的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
11．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
12．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）
13．（4分）若＝1，则y＝ ．
14．（4分）一次函数y＝2x﹣3过点P（2，m），则m＝ ．
15．（4分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DAC＝ 度．
16．（4分）已知样本数据为2，3，4，5，6，则这5个数的方差是 ．
17．（4分）如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交边OA于点P，则点P对应的实数是 ．
18．（4分）如图，长方形ABCD，AB＝10，AD＝8，将长方形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，连接AP、BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．点M、N在移动过程中，线段EF的长度是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1）|﹣2|﹣+（）﹣1；
（2）（1﹣）2+（+2）（﹣2）．
20．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
21．（8分）如图网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）点A关于点O中心对称点的坐标为 ；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在方格纸中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标（ ， ）；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB最小，请在图中标出点P的位置，并求出这个最小值．
22．（8分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年．新学期开始，重庆一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90．
初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均数
众数
中位数
初一
81
70
80
高一
81
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
（3）根据以上数据分析，两个年级“开学安全第一课“知识竞赛的学生成绩谁更优秀？请选取一个方面进行解释评价．
23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若AB＝6，求DE的长．
24．（8分）某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示：
类别
进价
售价
甲
24
36
乙
32
48
（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为11520元，则该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）若商场再次购进甲、乙两种矿泉水共400箱，其中甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，请设计一个方案：商场第二次进货中，购进甲种矿泉水多少箱时获得最大利润，最大利润是多少？
25．（10分）如图，L1表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，L2表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系．
（1）L1对应的函数表达式是 ；
（2）一天销售 件时，销售收入等于销售成本；
（3）当x＝1时，销售成本＝ 万元，盈利＝ 万元；
（4）设利润为P万元，写出P与x的函数表达式．
26．（10分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2020-2021学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选播题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列几个数中，属于无理数的数是（ ）
A．0.1 B． C．π D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【解答】解：A.0.1是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．π是无理数，故本选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（4分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．（4分）如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（ ）
A．10° B．35° C．70° D．80°
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，本题得以解决．
【解答】解：过点C作FC∥AB，
∵BA∥DE，
∴BA∥DE∥FC，
∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF，
∵∠B＝30°，∠D＝40°，
∴∠BCF＝30°，∠DCF＝40°，
∴∠BCD＝70°，
故选：C．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8
B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐
C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题
D．三角形的外角大于任何一个内角
【分析】根据三角形外角性质、方差、命题和众数判断即可．
【解答】解：A、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，是真命题；
B、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则乙组学生的身高较整齐，原命题是假命题；
C、命题“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，原命题是假命题；
D、三角形的外角大于任何一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；
故选：A．
5．（4分）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到方程x+5＝ax+b的解，本题得以解决．
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
6．（4分）一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而增大，且kb＜0，则此函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据y随x的增大而增大可得k＞0，然后根据kb＜0，判断b的符号，则函数图象即可判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而增大，
∴k＞0，
又∵kb＜0，
∴b＜0，
∴图象与y轴的交点在x轴下方，
故选：D．
7．（4分）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，
同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，
∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，
故选：A．
8．（4分）新冠疫情得到有效控制后，妈妈去药店为即将开学的李林和已经复工的爸爸购买口罩．若买50只一次性医用口罩和15只KN95口罩，需付325元；若买60只一次性医用口罩和30只KN95口罩，需付570元．设一只一次性医用口罩x元，一只KN95口罩y元，下面所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“若买50只一次性医用口罩和15只KN95口罩，需付325元；若买60只一次性医用口罩和30只KN95口罩，需付570元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：C．
9．（4分）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
【分析】设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，利用勾股定理得到52+x2＝（x+1）2，然后解方程求出x即可．
【解答】解：如图，
设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，
在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，解得x＝12，
答：旗杆的高度是12m．
故选：A．
10．（4分）如图，四边形ABCD是长方形，点F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝15°，则∠ACF的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质和外角的性质可求∠ACF＝2∠ECB，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠BCE，
∵∠AGC＝∠F+∠GAF，∠GAF＝∠F，
∴∠AGC＝2∠F，
∵∠ACG＝∠AGC，
∴∠ACG＝2∠F，
∴∠ACF＝2∠ECB，
∵∠ECB＝15°，
∴∠ACF＝2×15°＝30°．
故选：C．
11．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得到点D到AB的距离为3，然后根据垂线段最短得到PD的最小值为3．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离＝CD＝3，
∴PD的最小值为3．
故选：B．
12．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣，
即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，）．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）
13．（4分）若＝1，则y＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根的定义得到y﹣2＝1，解方程即可求解．
【解答】解：∵＝1，
∴y﹣2＝1，
解得y＝3．
故答案为：3．
14．（4分）一次函数y＝2x﹣3过点P（2，m），则m＝ 1 ．
【分析】由一次函数y＝2x﹣3过点P（2，m），利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3过点P（2，m），
∴m＝2×2﹣3＝1．
故答案为：1．
15．（4分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DAC＝ 35 度．
【分析】根据三角形的内角和得出∠BAC，进而利用角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝65°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝，
故答案为：35．
16．（4分）已知样本数据为2，3，4，5，6，则这5个数的方差是 2 ．
【分析】先求出5个数的平均数，再根据方差公式计算即可．
【解答】解：依题意可得，
数据2，3，4，5，6的平均数为：＝4，
方差为：[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2．
故答案为：2．
17．（4分）如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交边OA于点P，则点P对应的实数是 ﹣1 ．
【分析】求出OP的长度即可得到答案．
【解答】解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，在OB上截取BC＝BA，
∴OB＝＝，BC＝1，
∴OC＝﹣1，
∵以原点O为圆心，OC为半径画弧，
∴OP＝﹣1即P表示的数是﹣1，
故答案为﹣1．
18．（4分）如图，长方形ABCD，AB＝10，AD＝8，将长方形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，连接AP、BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．点M、N在移动过程中，线段EF的长度是 2 ．
【分析】由折叠的性质得出AP＝10，由勾股定理求出DP＝6，BP＝4，过点M作MH∥AB交PB于H，由平行线的性质，等腰三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝10，∠D＝90°，
∵将长方形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，
∴AB＝AP＝10，
∴DP＝＝＝6，
∴CP＝CD﹣DP＝10﹣6＝4，
∴BP＝＝＝4，
过点M作MH∥AB交PB于H，
∴∠PHM＝∠PBA，
∵AP＝AB，
∴∠APB＝∠PBA，
∴∠APB＝∠PHM，
∴MP＝MH，又BN＝PM，
∴MH＝BN，
又∵MH∥AB，
∴BF＝FH，
∵MP＝MH，ME⊥BP，
∴PE＝EH，
∴PB＝2EF，
∴EF＝PB＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1）|﹣2|﹣+（）﹣1；
（2）（1﹣）2+（+2）（﹣2）．
【分析】（1）分别根据绝对值的性质，立方根的定义以及负整数指数幂的定义计算即可；
（2）分别根据完全平方公式以及平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝1+3﹣+（3﹣4）
＝4﹣﹣1
＝3﹣．
20．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）把①代入②得：2x+3（3x﹣6）＝15，
去括号得：2x+9x﹣18＝15，
移项合并得：11x＝33，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝9﹣6＝3，
则方程组的解为；
（2）②﹣①得：5y＝﹣3，
解得：y＝﹣，
把y＝﹣代入①得：2x+＝5，
解得：x＝，
则方程组的解为．
21．（8分）如图网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）点A关于点O中心对称点的坐标为 （﹣3，﹣2） ；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在方格纸中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标（ 3 ， ﹣1 ）；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB最小，请在图中标出点P的位置，并求出这个最小值．
【分析】（1）根据关于原点对称的性质解决问题即可．
（2）分别作出A，B的对应点A1，B1即可．
（3）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交Y轴于P，连接PB，点P即为所求．再利用勾股定理求出最小值．
【解答】解：（1）点A关于点O中心对称点的坐标为（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
（2）如图，△A1OB1即为所求作，并写出点B1的坐标（3，﹣1），
故答案为：3，﹣1．
（3）如图，点P即为所求作，最小值为＝＝．
22．（8分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年．新学期开始，重庆一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90．
初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均数
众数
中位数
初一
81
70
80
高一
81
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 90 ；b＝ 85 ；
（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
（3）根据以上数据分析，两个年级“开学安全第一课“知识竞赛的学生成绩谁更优秀？请选取一个方面进行解释评价．
【分析】（1）由高一年级抽取的学生竞赛成绩结合众数和中位数的定义即可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由高一的中位数高于初一的中位数，可得高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
【解答】解：（1）按照从小到大的顺序排列为50，60，80，80，80，90，90，90，90，100，一共10个数据，
则a＝90，b＝＝85．
故答案为：90，85；
（2）2000×+1000×＝1300（名）．
答：估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有1300名；
（3）∵平均数相等，高一的中位数高于初一的中位数，
∴高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．（答案不唯一）
23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若AB＝6，求DE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得到：AD⊥BC，即∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF；
（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝6，
∴AD＝3，
在Rt△ADE中，AD＝3，∠DAE＝30°，
∴DE＝．
24．（8分）某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示：
类别
进价
售价
甲
24
36
乙
32
48
（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为11520元，则该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）若商场再次购进甲、乙两种矿泉水共400箱，其中甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，请设计一个方案：商场第二次进货中，购进甲种矿泉水多少箱时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱，根据该商场用11520元购进甲、乙两种矿泉水共400箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝每箱的利润×销售数量（即购进数量）得出函数关系式，根据甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量得出x的范围，由一次函数的性质即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲种矿泉水160箱，乙种矿泉水240箱；
（2）设购进甲种矿泉水x箱，全部售完获利w元，
w＝（36﹣24）x+（48﹣32）（400﹣x）＝﹣4x+6400，
∵甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，
∴400﹣x≤x≤400，解得：200≤x≤400，
∵w＝﹣4x+6400，w随x的增大而减小，
∴当x＝200时，w有最大值﹣4×200+6400＝5600，
答：购进甲种矿泉，200箱时获得最大利润，最大利润是5600元．
25．（10分）如图，L1表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，L2表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系．
（1）L1对应的函数表达式是 y＝x ；
（2）一天销售 2 件时，销售收入等于销售成本；
（3）当x＝1时，销售成本＝ 万元，盈利＝ ﹣ 万元；
（4）设利润为P万元，写出P与x的函数表达式．
【分析】（1）设l1对应的函数表达式为y＝ax（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据图象找出两直线的交点的横坐标即可；
（3）根据线段中点的求法列式计算即可求出x＝1时的销售收入和销售成本，根据盈利的求法计算即可得解；
（4）再求出l2的解析式，然后根据利润＝销售收入﹣销售成本列式整理即可．
【解答】解：（1）设l1对应的函数表达式为：y＝ax，则2＝2a，解得：a＝1，
故l1对应的函数表达式为：y＝x，
故答案为：y＝x；
（2）由图象得：一天销售2件时，销售收入等于销售成本，
故答案为：2；
（3）x＝1时，销售成本＝＝（万元），
销售收入＝1（万元），
盈利（收入﹣成本）＝1﹣＝﹣（万元），
故答案为：，﹣；
（4）∵l2经过（0，1）和（2，2），
设l2对应的函数表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故l2对应的函数表达式为：y＝x+1，
∴利润P＝x﹣（x+1）＝x﹣1．
26．（10分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
（3）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）连接PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（3）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，
∴BH＝4+，
∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，
∵S△ABC＝BC2，
∴S△ABC＝（25+12）＝+9．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出△OBC的面积，进而求出△OBP的面积，进而求出点P的纵坐标，再分两种情况，代入直线解析式中即可得出结论；
（3）分点P在OC和BC上两种情况，求出BP或OP，再建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，6），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∵点C（2，4）在直线AB上，
∴2k+6＝4，
∴k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
令y＝0，
∴﹣x+6＝0，
∴x＝6，
∴B（6，0），
∴S△OBC＝OB•yC＝12，
∵△OPB的面积是△OBC的面积的，
∴S△OPB＝×12＝3，
设P的纵坐标为m，
∴S△OPB＝OB•m＝3m＝3，
∴m＝1，
∵C（2，4），
∴直线OC的解析式为y＝2x，
当点P在OC上时，x＝，
∴P（，1），
当点P在BC上时，x＝6﹣1＝5，
∴P（5，1），
即：点P（，1）或（5，1）；
（3）∵△OBP是直角三角形，
∴∠OPB＝90°，
①当点P在OC上时，如图，过点C作CH⊥x轴于H，
∵C（2，4），
∴CH＝4，OC＝2
∴S△OBC＝OB•CH＝OC•BP，
∴BP＝＝＝，
由（2）知，直线OC的解析式为y＝2x①，
设点P的坐标为（m，2m），
∵B（6，0），
∴BP2＝（m﹣6）2+4m2＝，
∴m＝
∴P（，），
②当点P在BC上时，同①的方法，
∴P（3，3），
即：点P的坐标为（，）或（3，3）．
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日期：2021/8/10 22:48:41；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试卷
一、选播题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列几个数中，属于无理数的数是（ ）
A．0.1 B． C．π D．
2．（4分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（ ）
A．10° B．35° C．70° D．80°
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8
B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐
C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题
D．三角形的外角大于任何一个内角
5．（4分）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20
6．（4分）一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而增大，且kb＜0，则此函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
8．（4分）新冠疫情得到有效控制后，妈妈去药店为即将开学的李林和已经复工的爸爸购买口罩．若买50只一次性医用口罩和15只KN95口罩，需付325元；若买60只一次性医用口罩和30只KN95口罩，需付570元．设一只一次性医用口罩x元，一只KN95口罩y元，下面所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
10．（4分）如图，四边形ABCD是长方形，点F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝15°，则∠ACF的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
11．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
12．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）
13．（4分）若＝1，则y＝ ．
14．（4分）一次函数y＝2x﹣3过点P（2，m），则m＝ ．
15．（4分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DAC＝ 度．
16．（4分）已知样本数据为2，3，4，5，6，则这5个数的方差是 ．
17．（4分）如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交边OA于点P，则点P对应的实数是 ．
18．（4分）如图，长方形ABCD，AB＝10，AD＝8，将长方形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，连接AP、BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．点M、N在移动过程中，线段EF的长度是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1）|﹣2|﹣+（）﹣1；
（2）（1﹣）2+（+2）（﹣2）．
20．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
21．（8分）如图网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）点A关于点O中心对称点的坐标为 ；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在方格纸中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标（ ， ）；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB最小，请在图中标出点P的位置，并求出这个最小值．
22．（8分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年．新学期开始，重庆一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90．
初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均数
众数
中位数
初一
81
70
80
高一
81
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
（3）根据以上数据分析，两个年级“开学安全第一课“知识竞赛的学生成绩谁更优秀？请选取一个方面进行解释评价．
23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若AB＝6，求DE的长．
24．（8分）某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示：
类别
进价
售价
甲
24
36
乙
32
48
（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为11520元，则该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）若商场再次购进甲、乙两种矿泉水共400箱，其中甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，请设计一个方案：商场第二次进货中，购进甲种矿泉水多少箱时获得最大利润，最大利润是多少？
25．（10分）如图，L1表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，L2表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系．
（1）L1对应的函数表达式是 ；
（2）一天销售 件时，销售收入等于销售成本；
（3）当x＝1时，销售成本＝ 万元，盈利＝ 万元；
（4）设利润为P万元，写出P与x的函数表达式．
26．（10分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2020-2021学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选播题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列几个数中，属于无理数的数是（ ）
A．0.1 B． C．π D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【解答】解：A.0.1是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．π是无理数，故本选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（4分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．（4分）如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（ ）
A．10° B．35° C．70° D．80°
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，本题得以解决．
【解答】解：过点C作FC∥AB，
∵BA∥DE，
∴BA∥DE∥FC，
∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF，
∵∠B＝30°，∠D＝40°，
∴∠BCF＝30°，∠DCF＝40°，
∴∠BCD＝70°，
故选：C．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8
B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐
C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题
D．三角形的外角大于任何一个内角
【分析】根据三角形外角性质、方差、命题和众数判断即可．
【解答】解：A、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，是真命题；
B、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则乙组学生的身高较整齐，原命题是假命题；
C、命题“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，原命题是假命题；
D、三角形的外角大于任何一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；
故选：A．
5．（4分）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到方程x+5＝ax+b的解，本题得以解决．
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
6．（4分）一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而增大，且kb＜0，则此函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据y随x的增大而增大可得k＞0，然后根据kb＜0，判断b的符号，则函数图象即可判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而增大，
∴k＞0，
又∵kb＜0，
∴b＜0，
∴图象与y轴的交点在x轴下方，
故选：D．
7．（4分）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，
同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，
∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，
故选：A．
8．（4分）新冠疫情得到有效控制后，妈妈去药店为即将开学的李林和已经复工的爸爸购买口罩．若买50只一次性医用口罩和15只KN95口罩，需付325元；若买60只一次性医用口罩和30只KN95口罩，需付570元．设一只一次性医用口罩x元，一只KN95口罩y元，下面所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“若买50只一次性医用口罩和15只KN95口罩，需付325元；若买60只一次性医用口罩和30只KN95口罩，需付570元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：C．
9．（4分）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
【分析】设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，利用勾股定理得到52+x2＝（x+1）2，然后解方程求出x即可．
【解答】解：如图，
设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，
在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，解得x＝12，
答：旗杆的高度是12m．
故选：A．
10．（4分）如图，四边形ABCD是长方形，点F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝15°，则∠ACF的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质和外角的性质可求∠ACF＝2∠ECB，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠BCE，
∵∠AGC＝∠F+∠GAF，∠GAF＝∠F，
∴∠AGC＝2∠F，
∵∠ACG＝∠AGC，
∴∠ACG＝2∠F，
∴∠ACF＝2∠ECB，
∵∠ECB＝15°，
∴∠ACF＝2×15°＝30°．
故选：C．
11．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得到点D到AB的距离为3，然后根据垂线段最短得到PD的最小值为3．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离＝CD＝3，
∴PD的最小值为3．
故选：B．
12．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣，
即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，）．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）
13．（4分）若＝1，则y＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根的定义得到y﹣2＝1，解方程即可求解．
【解答】解：∵＝1，
∴y﹣2＝1，
解得y＝3．
故答案为：3．
14．（4分）一次函数y＝2x﹣3过点P（2，m），则m＝ 1 ．
【分析】由一次函数y＝2x﹣3过点P（2，m），利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3过点P（2，m），
∴m＝2×2﹣3＝1．
故答案为：1．
15．（4分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DAC＝ 35 度．
【分析】根据三角形的内角和得出∠BAC，进而利用角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝65°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝，
故答案为：35．
16．（4分）已知样本数据为2，3，4，5，6，则这5个数的方差是 2 ．
【分析】先求出5个数的平均数，再根据方差公式计算即可．
【解答】解：依题意可得，
数据2，3，4，5，6的平均数为：＝4，
方差为：[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2．
故答案为：2．
17．（4分）如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交边OA于点P，则点P对应的实数是 ﹣1 ．
【分析】求出OP的长度即可得到答案．
【解答】解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，在OB上截取BC＝BA，
∴OB＝＝，BC＝1，
∴OC＝﹣1，
∵以原点O为圆心，OC为半径画弧，
∴OP＝﹣1即P表示的数是﹣1，
故答案为﹣1．
18．（4分）如图，长方形ABCD，AB＝10，AD＝8，将长方形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，连接AP、BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．点M、N在移动过程中，线段EF的长度是 2 ．
【分析】由折叠的性质得出AP＝10，由勾股定理求出DP＝6，BP＝4，过点M作MH∥AB交PB于H，由平行线的性质，等腰三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝10，∠D＝90°，
∵将长方形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，
∴AB＝AP＝10，
∴DP＝＝＝6，
∴CP＝CD﹣DP＝10﹣6＝4，
∴BP＝＝＝4，
过点M作MH∥AB交PB于H，
∴∠PHM＝∠PBA，
∵AP＝AB，
∴∠APB＝∠PBA，
∴∠APB＝∠PHM，
∴MP＝MH，又BN＝PM，
∴MH＝BN，
又∵MH∥AB，
∴BF＝FH，
∵MP＝MH，ME⊥BP，
∴PE＝EH，
∴PB＝2EF，
∴EF＝PB＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1）|﹣2|﹣+（）﹣1；
（2）（1﹣）2+（+2）（﹣2）．
【分析】（1）分别根据绝对值的性质，立方根的定义以及负整数指数幂的定义计算即可；
（2）分别根据完全平方公式以及平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝1+3﹣+（3﹣4）
＝4﹣﹣1
＝3﹣．
20．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）把①代入②得：2x+3（3x﹣6）＝15，
去括号得：2x+9x﹣18＝15，
移项合并得：11x＝33，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝9﹣6＝3，
则方程组的解为；
（2）②﹣①得：5y＝﹣3，
解得：y＝﹣，
把y＝﹣代入①得：2x+＝5，
解得：x＝，
则方程组的解为．
21．（8分）如图网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）点A关于点O中心对称点的坐标为 （﹣3，﹣2） ；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在方格纸中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标（ 3 ， ﹣1 ）；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB最小，请在图中标出点P的位置，并求出这个最小值．
【分析】（1）根据关于原点对称的性质解决问题即可．
（2）分别作出A，B的对应点A1，B1即可．
（3）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交Y轴于P，连接PB，点P即为所求．再利用勾股定理求出最小值．
【解答】解：（1）点A关于点O中心对称点的坐标为（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
（2）如图，△A1OB1即为所求作，并写出点B1的坐标（3，﹣1），
故答案为：3，﹣1．
（3）如图，点P即为所求作，最小值为＝＝．
22．（8分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年．新学期开始，重庆一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90．
初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均数
众数
中位数
初一
81
70
80
高一
81
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 90 ；b＝ 85 ；
（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
（3）根据以上数据分析，两个年级“开学安全第一课“知识竞赛的学生成绩谁更优秀？请选取一个方面进行解释评价．
【分析】（1）由高一年级抽取的学生竞赛成绩结合众数和中位数的定义即可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由高一的中位数高于初一的中位数，可得高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
【解答】解：（1）按照从小到大的顺序排列为50，60，80，80，80，90，90，90，90，100，一共10个数据，
则a＝90，b＝＝85．
故答案为：90，85；
（2）2000×+1000×＝1300（名）．
答：估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有1300名；
（3）∵平均数相等，高一的中位数高于初一的中位数，
∴高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．（答案不唯一）
23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若AB＝6，求DE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得到：AD⊥BC，即∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF；
（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝6，
∴AD＝3，
在Rt△ADE中，AD＝3，∠DAE＝30°，
∴DE＝．
24．（8分）某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示：
类别
进价
售价
甲
24
36
乙
32
48
（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为11520元，则该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）若商场再次购进甲、乙两种矿泉水共400箱，其中甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，请设计一个方案：商场第二次进货中，购进甲种矿泉水多少箱时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱，根据该商场用11520元购进甲、乙两种矿泉水共400箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝每箱的利润×销售数量（即购进数量）得出函数关系式，根据甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量得出x的范围，由一次函数的性质即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲种矿泉水160箱，乙种矿泉水240箱；
（2）设购进甲种矿泉水x箱，全部售完获利w元，
w＝（36﹣24）x+（48﹣32）（400﹣x）＝﹣4x+6400，
∵甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，
∴400﹣x≤x≤400，解得：200≤x≤400，
∵w＝﹣4x+6400，w随x的增大而减小，
∴当x＝200时，w有最大值﹣4×200+6400＝5600，
答：购进甲种矿泉，200箱时获得最大利润，最大利润是5600元．
25．（10分）如图，L1表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，L2表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系．
（1）L1对应的函数表达式是 y＝x ；
（2）一天销售 2 件时，销售收入等于销售成本；
（3）当x＝1时，销售成本＝ 万元，盈利＝ ﹣ 万元；
（4）设利润为P万元，写出P与x的函数表达式．
【分析】（1）设l1对应的函数表达式为y＝ax（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据图象找出两直线的交点的横坐标即可；
（3）根据线段中点的求法列式计算即可求出x＝1时的销售收入和销售成本，根据盈利的求法计算即可得解；
（4）再求出l2的解析式，然后根据利润＝销售收入﹣销售成本列式整理即可．
【解答】解：（1）设l1对应的函数表达式为：y＝ax，则2＝2a，解得：a＝1，
故l1对应的函数表达式为：y＝x，
故答案为：y＝x；
（2）由图象得：一天销售2件时，销售收入等于销售成本，
故答案为：2；
（3）x＝1时，销售成本＝＝（万元），
销售收入＝1（万元），
盈利（收入﹣成本）＝1﹣＝﹣（万元），
故答案为：，﹣；
（4）∵l2经过（0，1）和（2，2），
设l2对应的函数表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故l2对应的函数表达式为：y＝x+1，
∴利润P＝x﹣（x+1）＝x﹣1．
26．（10分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
（3）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）连接PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（3）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，
∴BH＝4+，
∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，
∵S△ABC＝BC2，
∴S△ABC＝（25+12）＝+9．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出△OBC的面积，进而求出△OBP的面积，进而求出点P的纵坐标，再分两种情况，代入直线解析式中即可得出结论；
（3）分点P在OC和BC上两种情况，求出BP或OP，再建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，6），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∵点C（2，4）在直线AB上，
∴2k+6＝4，
∴k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
令y＝0，
∴﹣x+6＝0，
∴x＝6，
∴B（6，0），
∴S△OBC＝OB•yC＝12，
∵△OPB的面积是△OBC的面积的，
∴S△OPB＝×12＝3，
设P的纵坐标为m，
∴S△OPB＝OB•m＝3m＝3，
∴m＝1，
∵C（2，4），
∴直线OC的解析式为y＝2x，
当点P在OC上时，x＝，
∴P（，1），
当点P在BC上时，x＝6﹣1＝5，
∴P（5，1），
即：点P（，1）或（5，1）；
（3）∵△OBP是直角三角形，
∴∠OPB＝90°，
①当点P在OC上时，如图，过点C作CH⊥x轴于H，
∵C（2，4），
∴CH＝4，OC＝2
∴S△OBC＝OB•CH＝OC•BP，
∴BP＝＝＝，
由（2）知，直线OC的解析式为y＝2x①，
设点P的坐标为（m，2m），
∵B（6，0），
∴BP2＝（m﹣6）2+4m2＝，
∴m＝
∴P（，），
②当点P在BC上时，同①的方法，
∴P（3，3），
即：点P的坐标为（，）或（3，3）．
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