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2020-2021学年辽宁省营口市大石桥市九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年辽宁省营口市大石桥市九年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年辽宁省营口市大石桥市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
3．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
4．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等
B．直径是圆中最长的弦
C．方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程
D．任意画一个三角形，其内角和是360°
5．（3分）如图，点A，B，C为⊙O上三点，∠OAB＝40°，则∠ACB的度数等于（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）
A．y＝﹣，y＝﹣kx2+x B．y＝﹣，y＝﹣kx2﹣x
C．y＝，y＝﹣kx2﹣x D．y＝，y＝﹣kx2+x
7．（3分）不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值（ ）
A．总不小于1 B．总不大于1
C．总不小于6 D．可为任何实数
8．（3分）用一个半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，点E在BD边上，过点E作EF∥AC，交AB于点F，过点F作FG∥BC，交AC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a﹣3b+2c＜0，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
11．（3分）一个边长为4的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2+2先绕其顶点旋转180°后，再向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为 ．
13．（3分）某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果：
投篮次数/次
10
50
100
150
200
500
命中次数/次
9
40
70
108
144
360
命中率
0.90
0.80
0.70
0.72
0.72
0.72
根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是 ．（精确到0.01）
14．（3分）如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点O恰好是坐标原点，已知A（2，2），∠BCD＝120°，则k的值是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点C（6，8），点I是△ABC的内心，将△ABC绕原点顺时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标是 ．
16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣10x+3＝0的解为 ．
三、解答题（共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）解方程：3（x﹣5）2＝x2﹣25．
18．（10分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°后得到线段AB1，求点B1的坐标．
19．（10分）一个袋子内装有质地大小完全相同的四个小球，分别标记数字1，2，3，4．如图是一个正六边形棋盘，现通过摸球的方式玩跳棋游戏，规则是：从袋子内随机取出一个小球，当计算完袋子内其余三个小球上的数字之和记为n后将小球放回．然后从图中的A点开始沿着逆时针方向连续跳动n个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机摸球一次，则棋子跳动到点E处的概率是 ．
（2）随机摸球两次，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点D处的概率．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点C（﹣4，3）．
（1）若顶点B在反比例函数y＝的图象上，求k的值；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的函数解析式．
21．（12分）有3人患了流感，若每轮传染中平均一人能传染相同数目的若干人，经过两轮传染后共有147人患了流感．
（1）求平均一个人传染多少人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮后共有多少人患流感？
22．（12分）某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：
x
32
33
34
35
y
420
410
400
390
（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？
（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，∠BAD的角平分线交DE于点O，以点O为圆心，OD为半径的圆经过点C，交BC于另一点F．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若CF＝24，OE＝5，求CD的长．
24．（14分）四边形ABCD为正方形，边长为6，点M为对角线BD上一动点（不与点B，D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交射线AB于点N．
（1）如图1，求证：MC＝MN；
（2）如图2，作射线CN交射线DB于点P．
①当点N在边AB上时，设BN的长为x，△CMN的面积为y，求y关于x的函数解析式；
②当BN＝3时，请直接写出MP的长．
25．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P（m，n）在第三象限内的二次函数图象上运动．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，设四边形BAPC的面积为S，试求S的最大值并求出此时点P坐标；
（3）如图2，点Q在二次函数图象上，且位于直线AC的下方，过点Q作QM⊥AC，垂足为点M，连接CQ，若△CMQ与△AOC相似，求点Q的坐标．
2020-2021学年辽宁省营口市大石桥市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标为（3，﹣4）；
故选：C．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵△＝（﹣b）2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等
B．直径是圆中最长的弦
C．方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程
D．任意画一个三角形，其内角和是360°
【分析】根据平移的性质、圆的概念、一元二次方程的概念、三角形内角和定理判断即可．
【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等，是必然事件；
B、直径是圆中最长的弦，是必然事件；
C、当a≠0时，方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，当a＝0时，方程ax2+2x+1＝0不是一元二次方程，
∴方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，是随机事件；
D、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；
故选：C．
5．（3分）如图，点A，B，C为⊙O上三点，∠OAB＝40°，则∠ACB的度数等于（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
【分析】由于OA＝OB，可得∠OAB＝∠OBA＝55°，求出∠O的度数，从而得到∠C的度数．
【解答】解：∵∠OAB＝40°，
∴∠OBA＝40°，
∴∠O＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠ACB＝100°×＝50°，
故选：C．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）
A．y＝﹣，y＝﹣kx2+x B．y＝﹣，y＝﹣kx2﹣x
C．y＝，y＝﹣kx2﹣x D．y＝，y＝﹣kx2+x
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象的开口方向判断出反比例函数比例系数与二次项系数异号，再根据二次函数对称轴在y轴左侧解答即可．
【解答】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限，二次函数图象开口向上，
∴反比例函数比例系数与二次函数二次项系数异号，
∵二次函数对称轴在y轴左侧，
∴二次函数的二次项系数与一次项系数同号，
∴它们的解析式可能分别为y＝，y＝﹣kx2+x．
故选：D．
7．（3分）不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值（ ）
A．总不小于1 B．总不大于1
C．总不小于6 D．可为任何实数
【分析】通过配方可把代数式x2+y2+2y﹣4x+6变形为（x﹣2）2+（y+1）2+1，由非负数的知识可知该代数式的值总不小于1．
【解答】解：∵x2+y2+2y﹣4x+6＝（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
又∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x2+y2+2y﹣4x+6≥1，
即代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值总不小于1．
故选：A．
8．（3分）用一个半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】设这个圆锥的底面半径是r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径是r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝4，
即这个圆锥的底面半径是4．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，点E在BD边上，过点E作EF∥AC，交AB于点F，过点F作FG∥BC，交AC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可证明选项D正确．
【解答】解：∵EF∥AC，
∴＝，
∵FG∥BC，
∴＝，
∴＝，
故D正确．
故选：D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a﹣3b+2c＜0，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象分别判断a，b，c的符号即可判断结论①；
利用图象与x轴交点的个数即可判断结论②；
利用对称轴及当x＝2时函数值的正负即可判断结论③；
利用x＝﹣1和x＝﹣2时的函数值的正负即可判断结论④．
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a，b同号，即b＞0，
∵函数图像与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，
∴，
∴b＝2a，
∵当x＝2时，4a+2b+c＞0，
∴4a+2×2a+c＞0，即8a+c＞0，故③错误；
∵当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，
∴（4a﹣2b+c）+（a﹣b+c）＜0，即5a﹣3b+2c＜0，故④正确；
故选：B．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
11．（3分）一个边长为4的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是 4 ．
【分析】先判断出多边形的边数，再求多边形的半径即可．
【解答】解：设多边形的边数为n．
∵正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，
解得：n＝6，
则正多边形为正六边形．
∴边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，
∴正多边形的半径等于4，
故答案为：4．
12．（3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2+2先绕其顶点旋转180°后，再向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】直接利用旋转的性质得出新抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2，再利用平移的性质得出答案．
【解答】解：∵把抛物线y＝x2+2绕顶点旋转180°，
∴新抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，
∵再向右平移2个单位，向下平移3个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2﹣3，即y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
13．（3分）某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果：
投篮次数/次
10
50
100
150
200
500
命中次数/次
9
40
70
108
144
360
命中率
0.90
0.80
0.70
0.72
0.72
0.72
根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是 0.72 ．（精确到0.01）
【分析】根据大量试验，发现命中的频率稳定在0.7左右，据此估计命中的概率为0.7．
【解答】解：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是0.72，
故答案为：0.72．
14．（3分）如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点O恰好是坐标原点，已知A（2，2），∠BCD＝120°，则k的值是 ﹣12 ．
【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，根据菱形的性质和直角三角函数得到＝，然后通过证得△BNO∽△OMA，求得S△BNO＝6，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝﹣12．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD的交点O，
∴AC⊥BD，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠OAB＝60°．
∴＝
∵A（2，2），
∴S△AOM＝＝2，
∵∠AOM+∠BON＝90°，
∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∵∠AMO＝∠ONB＝90°，
∴△BNO∽△OMA，
∴＝（）2，
∴S△BNO＝3S△AOM＝6，
∵S△BNO＝|k|，
解得，k＝﹣12，
故答案为：﹣12．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点C（6，8），点I是△ABC的内心，将△ABC绕原点顺时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标是 （6，﹣4） ．
【分析】过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，根据矩形OACB的顶点C（6，8），可得BC＝6，AC＝8，根据勾股定理可得AB＝10，再国家级I是△ABC的内心，可得I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，所以IF＝2，故I到BC的距离也为2，可得I（4，6），根据△ABC绕原点顺时针旋转90°，进而可得I的对应点I'的坐标．
【解答】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵矩形OACB的顶点C（6，8），
∴BC＝6，AC＝8，
∴AB＝10，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF＝2，故I到BC的距离也为2，
∴AE＝2，
∴IE＝8﹣2＝6，OE＝6﹣2＝4，
∴I（4，6），
∵△ABC绕原点顺时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（6，﹣4）．
故答案为：（6，﹣4）．
16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣10x+3＝0的解为 x1＝3，x2＝，x3＝ ．
【分析】根据题例，把方程x3﹣10x+3＝0先转化为x3﹣（9+1）x+3＝0的形式，再求解．
【解答】解：x3﹣10x+3＝0，
x3﹣（9+1）x+3＝0，
x3﹣9x﹣x+3＝0，
x（x2﹣9）﹣（x﹣3）＝0，
x（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x2+3x﹣1）＝0．
∴x﹣3＝0或x2+3x﹣1＝0．
解方程x﹣3＝0得x1＝3．
解方程x2+3x﹣1＝0得
x2＝，x3＝．
故答案为：x1＝3，x2＝，x3＝．
三、解答题（共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）解方程：3（x﹣5）2＝x2﹣25．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：3（x﹣5）2＝x2﹣25，
3（x﹣5）2﹣（x﹣5）（x+5）＝0，
2（x﹣5）（x﹣10）＝0，
解得，x1＝5，x2＝10．
18．（10分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°后得到线段AB1，求点B1的坐标．
【分析】过B1点作B1D⊥x轴于D，如图，先利用一次函数图象上点的坐标特征确定B（0，4），A（3，0），再证明△ABO≌△B1AD，得到AD＝OB＝4，B1D＝OA＝3，则点B1的坐标可求．
【解答】解：过B1点作B1D⊥x轴于D，如图．
∵y＝﹣x+4的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，
∴当x＝0时，y＝4，则B（0，4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则A（3，0）．
∵线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴AB＝AB1，∠BAB1＝90°，
∴∠BAO+∠B1AD＝90°，
而∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠B1AD．
在△ABO和△B1AD中，
，
∴△ABO≌△B1AD（AAS），
∴AD＝OB＝4，B1D＝OA＝3，
∴OD＝OA+AD＝3+4＝7，
∴点B1的坐标为（7，3）．
19．（10分）一个袋子内装有质地大小完全相同的四个小球，分别标记数字1，2，3，4．如图是一个正六边形棋盘，现通过摸球的方式玩跳棋游戏，规则是：从袋子内随机取出一个小球，当计算完袋子内其余三个小球上的数字之和记为n后将小球放回．然后从图中的A点开始沿着逆时针方向连续跳动n个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机摸球一次，则棋子跳动到点E处的概率是 ．
（2）随机摸球两次，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点D处的概率．
【分析】（1）根据概率公式进行求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出棋子最终跳动到点D处的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）随机摸球一次，则棋子跳动到点E处的概率是．
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
6
7
8
9
6
（6，6）
（7，6）
（8，6）
（9，6）
7
（6，7）
（7，7）
（8，7）
（9，7）
8
（6，8）
（7，8）
（8，8）
（9，8）
9
（6，9）
（7，9）
（8，9）
（9，9）
共有16种等可能的结果，能到达点D处的和为15，有4种情况，
所以棋子最终落在点D处的概率是＝．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点C（﹣4，3）．
（1）若顶点B在反比例函数y＝的图象上，求k的值；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的函数解析式．
【分析】（1）由C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由菱形的性质得出OA＝AB，即可得出∠ABO＝∠AOB，由∠OBD＝90°得出∠ADB＝∠ABD，即可得出AD＝AB＝5，则OD＝10，得到D（﹣10，0），然后根据待定系数法即可求得直线BD的解析式．
【解答】解：（1）如图，延长BC交y轴于点E，
∵C（﹣4，3），
∴CE＝4，OE＝3，
∴OC＝＝5，
∴BC＝5，
∴B（﹣9，3），
∵顶点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣9×3＝﹣27；
（2）∵OA＝AB，
∴∠ABO＝∠AOB，
又∵∠DBO＝90°，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝10，
∴D（﹣10，0），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵过D（﹣10，0），B（﹣9，3），
∴，
解得，
直线BD解析式为：y＝3x+30．
21．（12分）有3人患了流感，若每轮传染中平均一人能传染相同数目的若干人，经过两轮传染后共有147人患了流感．
（1）求平均一个人传染多少人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮后共有多少人患流感？
【分析】（1）设平均一个人传染x人，根据“有3人患了流感，经过两轮传染后共有147人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+平均每人传染人数），即可求出结论．
【解答】解：（1）设平均一个人传染x人，
依题意得：3（1+x）2＝147，
解得：x1＝6，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：平均一个人传染6人．
（2）147×（1+6）＝1029（人）．
答：经过三轮后共有1029人患流感．
22．（12分）某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：
x
32
33
34
35
y
420
410
400
390
（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？
（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）通过表中数据可设y与x之间的函数关系式y＝hx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价）列出关于x的方程，求解即可；
（3）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/本）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，
∴y与x之间的函数关系式是一次函数，
设y＝hx+b，把（32，420）和（33，410）代入，得：
，
解得：，
∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，
∴≤60%，即x≤48，
∴32≤x≤48，
∴y＝﹣10x+740（32≤x≤48）；
（2）由题意，可列出方程为：（x﹣30）（﹣10x+740）＝3400，
整理并化简得，x2﹣104x+2560＝0，
解得，x1＝40，x2＝64，
∵32≤x≤48，
答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；
（3）w＝（x﹣30）y＝﹣10x2+1040x﹣22200＝﹣10（x﹣52）2+4840，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝52，
∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大
∴当x＝48时，w最大＝﹣10（48﹣52）2+4840＝4680（元），
答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4680元．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，∠BAD的角平分线交DE于点O，以点O为圆心，OD为半径的圆经过点C，交BC于另一点F．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若CF＝24，OE＝5，求CD的长．
【分析】（1）过点O作AB的垂线，证明出OG＝OD即可；
（2）利用勾股定理求出半径，再利用勾股定理求出CD即可．
【解答】解：（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
又∵∠BAD的角平分线交DE于点O，
∴OG＝OD，
又∵OG⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）连接OC．
∵DE⊥CF，
∴，
在Rt△OEC中，＝OD，
∴DE＝OD+OE＝13+5＝18，
在Rt△DEC中，．
24．（14分）四边形ABCD为正方形，边长为6，点M为对角线BD上一动点（不与点B，D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交射线AB于点N．
（1）如图1，求证：MC＝MN；
（2）如图2，作射线CN交射线DB于点P．
①当点N在边AB上时，设BN的长为x，△CMN的面积为y，求y关于x的函数解析式；
②当BN＝3时，请直接写出MP的长．
【分析】（1）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；
（2）①由全等三角形的性质可得CM＝MN，可证△CMN是等腰直角三角形，可得CN＝CM，由勾股定理和三角形的面积公式可求解；
②分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求BM的长，由相似三角形的性质可求BP的长，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，
则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），
∴MN＝MC；
（2）①由（1）可知：△MFN≌△MEC，
∴CM＝MN，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴CN＝CM，
∴S△CMN＝CM2＝CN2，
∵CN2＝BC2+BN2＝36+x2，
∴y＝x2+9；
②当点N在线段AB上时，如图2，过点M作MF⊥AB于F，
由①可知：CN2＝BC2+BN2＝36+9＝45，
又∵2CM2＝CN2，
∴CM2＝MN2＝，
∵∠DBA＝45°，MF⊥AB，
∴MF＝FB，
∴MF2+（MF﹣3）2＝MN2，
∴MF＝FB＝，MF＝﹣（舍去），
∴MB＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝6，BD＝AD＝6，AB∥CD，
∴DM＝，
∵AB∥CD，
∴△BPN∽△DPC，
∴＝＝，
∴DP＝DB×＝6×＝4，
∴MP＝DP﹣DM＝；
当点N在线段AB的延长线上时，如图3，
同理可求MB＝，
∵AB∥CD，
∴△BPN∽△DPC，
∴＝＝，
∴＝，
∴BP＝6，
∴MP＝MB+BP＝．
综上所述：MP的值为和．
25．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P（m，n）在第三象限内的二次函数图象上运动．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，设四边形BAPC的面积为S，试求S的最大值并求出此时点P坐标；
（3）如图2，点Q在二次函数图象上，且位于直线AC的下方，过点Q作QM⊥AC，垂足为点M，连接CQ，若△CMQ与△AOC相似，求点Q的坐标．
【分析】（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2中，即可求解析式；
（2）连接OP，则S＝S△OAP+S△OCP+S△OBC＝﹣m2﹣4m+5，所以当m＝﹣2时，S最大值＝9，此时P（﹣2，﹣3）；
（3）①当∠QCM＝∠OAC时，yQ＝yC＝﹣2，则有，解得x＝﹣3，所以Q1（﹣3，﹣2）；
②∠QCM＝∠ACO时，过点M作DE⊥OC，QD⊥DE，设CE＝a，由△CEM∽△CAO∽△MDQ，可求得，ME＝2a，DM＝2a，DQ＝4a，所以4a+2﹣a＝3a+2，则Q（﹣4a，﹣3a﹣2），将Q点代入，求得 或Q（﹣3，﹣2）．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2中，
可求得，，，
∴；
（2）连接OP，如图1，
∵P（m，n），
∴S＝S△OAP+S△OCP+S△OBC＝•OA•|yP|+•OC•|xP|+•OB•OC＝﹣2n﹣m+1＝﹣m2﹣4m+5，
当m＝﹣2时，S最大值＝9，此时P（﹣2，﹣3）；
（3）①当∠QCM＝∠OAC时，如图2，
∴yQ＝yC＝﹣2，
∴，
解得x＝﹣3，
∴Q1（﹣3，﹣2）；
②∠QCM＝∠ACO时，如图3，
过点M作DE⊥OC，QD⊥DE，
设CE＝a，
∵∠DMQ+∠DQM＝90°，∠DMQ+∠EMC＝90°，
∴∠DQM＝∠EMC，
∴△CEM∽△MDQ，
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠ACO+∠EMC＝90°，
∴∠EMC＝∠OAC，
∴△CEM∽△CAO，
∴△CEM∽△CAO∽△MDQ，
∴ME＝2a，DM＝2a，DQ＝4a，
∴|yQ|＝4a+2﹣a＝3a+2，
∴Q（﹣4a，﹣3a﹣2），
将Q点代入，
得，，
∴ 或Q（﹣3，﹣2）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣3，﹣2），．
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日期：2021/8/10 22:47:34；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年辽宁省营口市大石桥市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
3．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
4．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等
B．直径是圆中最长的弦
C．方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程
D．任意画一个三角形，其内角和是360°
5．（3分）如图，点A，B，C为⊙O上三点，∠OAB＝40°，则∠ACB的度数等于（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）
A．y＝﹣，y＝﹣kx2+x B．y＝﹣，y＝﹣kx2﹣x
C．y＝，y＝﹣kx2﹣x D．y＝，y＝﹣kx2+x
7．（3分）不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值（ ）
A．总不小于1 B．总不大于1
C．总不小于6 D．可为任何实数
8．（3分）用一个半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，点E在BD边上，过点E作EF∥AC，交AB于点F，过点F作FG∥BC，交AC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a﹣3b+2c＜0，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
11．（3分）一个边长为4的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2+2先绕其顶点旋转180°后，再向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为 ．
13．（3分）某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果：
投篮次数/次
10
50
100
150
200
500
命中次数/次
9
40
70
108
144
360
命中率
0.90
0.80
0.70
0.72
0.72
0.72
根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是 ．（精确到0.01）
14．（3分）如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点O恰好是坐标原点，已知A（2，2），∠BCD＝120°，则k的值是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点C（6，8），点I是△ABC的内心，将△ABC绕原点顺时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标是 ．
16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣10x+3＝0的解为 ．
三、解答题（共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）解方程：3（x﹣5）2＝x2﹣25．
18．（10分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°后得到线段AB1，求点B1的坐标．
19．（10分）一个袋子内装有质地大小完全相同的四个小球，分别标记数字1，2，3，4．如图是一个正六边形棋盘，现通过摸球的方式玩跳棋游戏，规则是：从袋子内随机取出一个小球，当计算完袋子内其余三个小球上的数字之和记为n后将小球放回．然后从图中的A点开始沿着逆时针方向连续跳动n个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机摸球一次，则棋子跳动到点E处的概率是 ．
（2）随机摸球两次，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点D处的概率．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点C（﹣4，3）．
（1）若顶点B在反比例函数y＝的图象上，求k的值；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的函数解析式．
21．（12分）有3人患了流感，若每轮传染中平均一人能传染相同数目的若干人，经过两轮传染后共有147人患了流感．
（1）求平均一个人传染多少人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮后共有多少人患流感？
22．（12分）某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：
x
32
33
34
35
y
420
410
400
390
（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？
（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，∠BAD的角平分线交DE于点O，以点O为圆心，OD为半径的圆经过点C，交BC于另一点F．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若CF＝24，OE＝5，求CD的长．
24．（14分）四边形ABCD为正方形，边长为6，点M为对角线BD上一动点（不与点B，D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交射线AB于点N．
（1）如图1，求证：MC＝MN；
（2）如图2，作射线CN交射线DB于点P．
①当点N在边AB上时，设BN的长为x，△CMN的面积为y，求y关于x的函数解析式；
②当BN＝3时，请直接写出MP的长．
25．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P（m，n）在第三象限内的二次函数图象上运动．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，设四边形BAPC的面积为S，试求S的最大值并求出此时点P坐标；
（3）如图2，点Q在二次函数图象上，且位于直线AC的下方，过点Q作QM⊥AC，垂足为点M，连接CQ，若△CMQ与△AOC相似，求点Q的坐标．
2020-2021学年辽宁省营口市大石桥市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标为（3，﹣4）；
故选：C．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵△＝（﹣b）2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等
B．直径是圆中最长的弦
C．方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程
D．任意画一个三角形，其内角和是360°
【分析】根据平移的性质、圆的概念、一元二次方程的概念、三角形内角和定理判断即可．
【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等，是必然事件；
B、直径是圆中最长的弦，是必然事件；
C、当a≠0时，方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，当a＝0时，方程ax2+2x+1＝0不是一元二次方程，
∴方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，是随机事件；
D、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；
故选：C．
5．（3分）如图，点A，B，C为⊙O上三点，∠OAB＝40°，则∠ACB的度数等于（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
【分析】由于OA＝OB，可得∠OAB＝∠OBA＝55°，求出∠O的度数，从而得到∠C的度数．
【解答】解：∵∠OAB＝40°，
∴∠OBA＝40°，
∴∠O＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠ACB＝100°×＝50°，
故选：C．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）
A．y＝﹣，y＝﹣kx2+x B．y＝﹣，y＝﹣kx2﹣x
C．y＝，y＝﹣kx2﹣x D．y＝，y＝﹣kx2+x
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象的开口方向判断出反比例函数比例系数与二次项系数异号，再根据二次函数对称轴在y轴左侧解答即可．
【解答】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限，二次函数图象开口向上，
∴反比例函数比例系数与二次函数二次项系数异号，
∵二次函数对称轴在y轴左侧，
∴二次函数的二次项系数与一次项系数同号，
∴它们的解析式可能分别为y＝，y＝﹣kx2+x．
故选：D．
7．（3分）不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值（ ）
A．总不小于1 B．总不大于1
C．总不小于6 D．可为任何实数
【分析】通过配方可把代数式x2+y2+2y﹣4x+6变形为（x﹣2）2+（y+1）2+1，由非负数的知识可知该代数式的值总不小于1．
【解答】解：∵x2+y2+2y﹣4x+6＝（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
又∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x2+y2+2y﹣4x+6≥1，
即代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值总不小于1．
故选：A．
8．（3分）用一个半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】设这个圆锥的底面半径是r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径是r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝4，
即这个圆锥的底面半径是4．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，点E在BD边上，过点E作EF∥AC，交AB于点F，过点F作FG∥BC，交AC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可证明选项D正确．
【解答】解：∵EF∥AC，
∴＝，
∵FG∥BC，
∴＝，
∴＝，
故D正确．
故选：D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a﹣3b+2c＜0，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象分别判断a，b，c的符号即可判断结论①；
利用图象与x轴交点的个数即可判断结论②；
利用对称轴及当x＝2时函数值的正负即可判断结论③；
利用x＝﹣1和x＝﹣2时的函数值的正负即可判断结论④．
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a，b同号，即b＞0，
∵函数图像与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，
∴，
∴b＝2a，
∵当x＝2时，4a+2b+c＞0，
∴4a+2×2a+c＞0，即8a+c＞0，故③错误；
∵当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，
∴（4a﹣2b+c）+（a﹣b+c）＜0，即5a﹣3b+2c＜0，故④正确；
故选：B．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
11．（3分）一个边长为4的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是 4 ．
【分析】先判断出多边形的边数，再求多边形的半径即可．
【解答】解：设多边形的边数为n．
∵正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，
解得：n＝6，
则正多边形为正六边形．
∴边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，
∴正多边形的半径等于4，
故答案为：4．
12．（3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2+2先绕其顶点旋转180°后，再向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】直接利用旋转的性质得出新抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2，再利用平移的性质得出答案．
【解答】解：∵把抛物线y＝x2+2绕顶点旋转180°，
∴新抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，
∵再向右平移2个单位，向下平移3个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2﹣3，即y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
13．（3分）某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果：
投篮次数/次
10
50
100
150
200
500
命中次数/次
9
40
70
108
144
360
命中率
0.90
0.80
0.70
0.72
0.72
0.72
根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是 0.72 ．（精确到0.01）
【分析】根据大量试验，发现命中的频率稳定在0.7左右，据此估计命中的概率为0.7．
【解答】解：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是0.72，
故答案为：0.72．
14．（3分）如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点O恰好是坐标原点，已知A（2，2），∠BCD＝120°，则k的值是 ﹣12 ．
【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，根据菱形的性质和直角三角函数得到＝，然后通过证得△BNO∽△OMA，求得S△BNO＝6，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝﹣12．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD的交点O，
∴AC⊥BD，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠OAB＝60°．
∴＝
∵A（2，2），
∴S△AOM＝＝2，
∵∠AOM+∠BON＝90°，
∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∵∠AMO＝∠ONB＝90°，
∴△BNO∽△OMA，
∴＝（）2，
∴S△BNO＝3S△AOM＝6，
∵S△BNO＝|k|，
解得，k＝﹣12，
故答案为：﹣12．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点C（6，8），点I是△ABC的内心，将△ABC绕原点顺时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标是 （6，﹣4） ．
【分析】过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，根据矩形OACB的顶点C（6，8），可得BC＝6，AC＝8，根据勾股定理可得AB＝10，再国家级I是△ABC的内心，可得I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，所以IF＝2，故I到BC的距离也为2，可得I（4，6），根据△ABC绕原点顺时针旋转90°，进而可得I的对应点I'的坐标．
【解答】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵矩形OACB的顶点C（6，8），
∴BC＝6，AC＝8，
∴AB＝10，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF＝2，故I到BC的距离也为2，
∴AE＝2，
∴IE＝8﹣2＝6，OE＝6﹣2＝4，
∴I（4，6），
∵△ABC绕原点顺时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（6，﹣4）．
故答案为：（6，﹣4）．
16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣10x+3＝0的解为 x1＝3，x2＝，x3＝ ．
【分析】根据题例，把方程x3﹣10x+3＝0先转化为x3﹣（9+1）x+3＝0的形式，再求解．
【解答】解：x3﹣10x+3＝0，
x3﹣（9+1）x+3＝0，
x3﹣9x﹣x+3＝0，
x（x2﹣9）﹣（x﹣3）＝0，
x（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x2+3x﹣1）＝0．
∴x﹣3＝0或x2+3x﹣1＝0．
解方程x﹣3＝0得x1＝3．
解方程x2+3x﹣1＝0得
x2＝，x3＝．
故答案为：x1＝3，x2＝，x3＝．
三、解答题（共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）解方程：3（x﹣5）2＝x2﹣25．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：3（x﹣5）2＝x2﹣25，
3（x﹣5）2﹣（x﹣5）（x+5）＝0，
2（x﹣5）（x﹣10）＝0，
解得，x1＝5，x2＝10．
18．（10分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°后得到线段AB1，求点B1的坐标．
【分析】过B1点作B1D⊥x轴于D，如图，先利用一次函数图象上点的坐标特征确定B（0，4），A（3，0），再证明△ABO≌△B1AD，得到AD＝OB＝4，B1D＝OA＝3，则点B1的坐标可求．
【解答】解：过B1点作B1D⊥x轴于D，如图．
∵y＝﹣x+4的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，
∴当x＝0时，y＝4，则B（0，4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则A（3，0）．
∵线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴AB＝AB1，∠BAB1＝90°，
∴∠BAO+∠B1AD＝90°，
而∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠B1AD．
在△ABO和△B1AD中，
，
∴△ABO≌△B1AD（AAS），
∴AD＝OB＝4，B1D＝OA＝3，
∴OD＝OA+AD＝3+4＝7，
∴点B1的坐标为（7，3）．
19．（10分）一个袋子内装有质地大小完全相同的四个小球，分别标记数字1，2，3，4．如图是一个正六边形棋盘，现通过摸球的方式玩跳棋游戏，规则是：从袋子内随机取出一个小球，当计算完袋子内其余三个小球上的数字之和记为n后将小球放回．然后从图中的A点开始沿着逆时针方向连续跳动n个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机摸球一次，则棋子跳动到点E处的概率是 ．
（2）随机摸球两次，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点D处的概率．
【分析】（1）根据概率公式进行求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出棋子最终跳动到点D处的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）随机摸球一次，则棋子跳动到点E处的概率是．
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
6
7
8
9
6
（6，6）
（7，6）
（8，6）
（9，6）
7
（6，7）
（7，7）
（8，7）
（9，7）
8
（6，8）
（7，8）
（8，8）
（9，8）
9
（6，9）
（7，9）
（8，9）
（9，9）
共有16种等可能的结果，能到达点D处的和为15，有4种情况，
所以棋子最终落在点D处的概率是＝．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点C（﹣4，3）．
（1）若顶点B在反比例函数y＝的图象上，求k的值；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的函数解析式．
【分析】（1）由C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由菱形的性质得出OA＝AB，即可得出∠ABO＝∠AOB，由∠OBD＝90°得出∠ADB＝∠ABD，即可得出AD＝AB＝5，则OD＝10，得到D（﹣10，0），然后根据待定系数法即可求得直线BD的解析式．
【解答】解：（1）如图，延长BC交y轴于点E，
∵C（﹣4，3），
∴CE＝4，OE＝3，
∴OC＝＝5，
∴BC＝5，
∴B（﹣9，3），
∵顶点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣9×3＝﹣27；
（2）∵OA＝AB，
∴∠ABO＝∠AOB，
又∵∠DBO＝90°，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝10，
∴D（﹣10，0），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵过D（﹣10，0），B（﹣9，3），
∴，
解得，
直线BD解析式为：y＝3x+30．
21．（12分）有3人患了流感，若每轮传染中平均一人能传染相同数目的若干人，经过两轮传染后共有147人患了流感．
（1）求平均一个人传染多少人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮后共有多少人患流感？
【分析】（1）设平均一个人传染x人，根据“有3人患了流感，经过两轮传染后共有147人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+平均每人传染人数），即可求出结论．
【解答】解：（1）设平均一个人传染x人，
依题意得：3（1+x）2＝147，
解得：x1＝6，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：平均一个人传染6人．
（2）147×（1+6）＝1029（人）．
答：经过三轮后共有1029人患流感．
22．（12分）某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：
x
32
33
34
35
y
420
410
400
390
（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？
（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）通过表中数据可设y与x之间的函数关系式y＝hx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价）列出关于x的方程，求解即可；
（3）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/本）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，
∴y与x之间的函数关系式是一次函数，
设y＝hx+b，把（32，420）和（33，410）代入，得：
，
解得：，
∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，
∴≤60%，即x≤48，
∴32≤x≤48，
∴y＝﹣10x+740（32≤x≤48）；
（2）由题意，可列出方程为：（x﹣30）（﹣10x+740）＝3400，
整理并化简得，x2﹣104x+2560＝0，
解得，x1＝40，x2＝64，
∵32≤x≤48，
答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；
（3）w＝（x﹣30）y＝﹣10x2+1040x﹣22200＝﹣10（x﹣52）2+4840，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝52，
∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大
∴当x＝48时，w最大＝﹣10（48﹣52）2+4840＝4680（元），
答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4680元．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，∠BAD的角平分线交DE于点O，以点O为圆心，OD为半径的圆经过点C，交BC于另一点F．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若CF＝24，OE＝5，求CD的长．
【分析】（1）过点O作AB的垂线，证明出OG＝OD即可；
（2）利用勾股定理求出半径，再利用勾股定理求出CD即可．
【解答】解：（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
又∵∠BAD的角平分线交DE于点O，
∴OG＝OD，
又∵OG⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）连接OC．
∵DE⊥CF，
∴，
在Rt△OEC中，＝OD，
∴DE＝OD+OE＝13+5＝18，
在Rt△DEC中，．
24．（14分）四边形ABCD为正方形，边长为6，点M为对角线BD上一动点（不与点B，D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交射线AB于点N．
（1）如图1，求证：MC＝MN；
（2）如图2，作射线CN交射线DB于点P．
①当点N在边AB上时，设BN的长为x，△CMN的面积为y，求y关于x的函数解析式；
②当BN＝3时，请直接写出MP的长．
【分析】（1）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；
（2）①由全等三角形的性质可得CM＝MN，可证△CMN是等腰直角三角形，可得CN＝CM，由勾股定理和三角形的面积公式可求解；
②分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求BM的长，由相似三角形的性质可求BP的长，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，
则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），
∴MN＝MC；
（2）①由（1）可知：△MFN≌△MEC，
∴CM＝MN，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴CN＝CM，
∴S△CMN＝CM2＝CN2，
∵CN2＝BC2+BN2＝36+x2，
∴y＝x2+9；
②当点N在线段AB上时，如图2，过点M作MF⊥AB于F，
由①可知：CN2＝BC2+BN2＝36+9＝45，
又∵2CM2＝CN2，
∴CM2＝MN2＝，
∵∠DBA＝45°，MF⊥AB，
∴MF＝FB，
∴MF2+（MF﹣3）2＝MN2，
∴MF＝FB＝，MF＝﹣（舍去），
∴MB＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝6，BD＝AD＝6，AB∥CD，
∴DM＝，
∵AB∥CD，
∴△BPN∽△DPC，
∴＝＝，
∴DP＝DB×＝6×＝4，
∴MP＝DP﹣DM＝；
当点N在线段AB的延长线上时，如图3，
同理可求MB＝，
∵AB∥CD，
∴△BPN∽△DPC，
∴＝＝，
∴＝，
∴BP＝6，
∴MP＝MB+BP＝．
综上所述：MP的值为和．
25．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P（m，n）在第三象限内的二次函数图象上运动．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，设四边形BAPC的面积为S，试求S的最大值并求出此时点P坐标；
（3）如图2，点Q在二次函数图象上，且位于直线AC的下方，过点Q作QM⊥AC，垂足为点M，连接CQ，若△CMQ与△AOC相似，求点Q的坐标．
【分析】（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2中，即可求解析式；
（2）连接OP，则S＝S△OAP+S△OCP+S△OBC＝﹣m2﹣4m+5，所以当m＝﹣2时，S最大值＝9，此时P（﹣2，﹣3）；
（3）①当∠QCM＝∠OAC时，yQ＝yC＝﹣2，则有，解得x＝﹣3，所以Q1（﹣3，﹣2）；
②∠QCM＝∠ACO时，过点M作DE⊥OC，QD⊥DE，设CE＝a，由△CEM∽△CAO∽△MDQ，可求得，ME＝2a，DM＝2a，DQ＝4a，所以4a+2﹣a＝3a+2，则Q（﹣4a，﹣3a﹣2），将Q点代入，求得 或Q（﹣3，﹣2）．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2中，
可求得，，，
∴；
（2）连接OP，如图1，
∵P（m，n），
∴S＝S△OAP+S△OCP+S△OBC＝•OA•|yP|+•OC•|xP|+•OB•OC＝﹣2n﹣m+1＝﹣m2﹣4m+5，
当m＝﹣2时，S最大值＝9，此时P（﹣2，﹣3）；
（3）①当∠QCM＝∠OAC时，如图2，
∴yQ＝yC＝﹣2，
∴，
解得x＝﹣3，
∴Q1（﹣3，﹣2）；
②∠QCM＝∠ACO时，如图3，
过点M作DE⊥OC，QD⊥DE，
设CE＝a，
∵∠DMQ+∠DQM＝90°，∠DMQ+∠EMC＝90°，
∴∠DQM＝∠EMC，
∴△CEM∽△MDQ，
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠ACO+∠EMC＝90°，
∴∠EMC＝∠OAC，
∴△CEM∽△CAO，
∴△CEM∽△CAO∽△MDQ，
∴ME＝2a，DM＝2a，DQ＝4a，
∴|yQ|＝4a+2﹣a＝3a+2，
∴Q（﹣4a，﹣3a﹣2），
将Q点代入，
得，，
∴ 或Q（﹣3，﹣2）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣3，﹣2），．
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日期：2021/8/10 22:47:34；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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