还剩19页未读，
继续阅读
2020-2021学年河北省唐山市滦南县八年级（上）期末数学试卷
展开
这是一份2020-2021学年河北省唐山市滦南县八年级（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河北省唐山市滦南县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题含16个小题；每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
2．（2分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠F＝85°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．85° C．65° D．55°
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．＝±7 B．＝﹣7 C．＝1 D．＝
4．（2分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．±2
6．（2分）如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2分）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）如图，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．（2分）把分式（a，b，c均为正）中的b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的3倍
C．变为原来的 D．变为原来的
10．（2分）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，若△BCE的周长等于22cm，则AC的长度等于（ ）
A．10cm B．12cm C．22cm D．32cm
11．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．÷＝ B．﹣＝ C．+＝ D．×＝
12．（2分）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
13．（2分）数轴上表示下列各数的点，能落在A、B两个点之间的是（ ）
A．﹣ B． C． D．
14．（2分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．（2分）老师出了一道题：计算+，对于下面这三名同学的做法，你的判断是（ ）
乐乐的做法是：原式＝﹣＝＝；
淇淇的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
嘉嘉的做法是：原式＝﹣＝﹣＝＝1．
A．嘉嘉的做法是正确的
B．淇淇的做法是正确的
C．乐乐的做法是正确的
D．三名同学的做法均不正确
16．（2分）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
二、填空题（本大题含3个小题：17、18小题每题3分，19小题每空2分，共10分）
17．（3分）已知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为 ．
18．（3分）关于x的方程﹣＝2有增根，则m的值为 ．
19．（4分）如图，长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A到点B．
（1）蚂蚁爬行的最短距离是 cm；
（2）若从C处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于 cm．
三、解答题（本大题含7小题，共计58分，解答题要求写出必要的解题过程）
20．（7分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
21．（7分）阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
22．（8分）先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．
23．（8分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，AB＝AC， ．
求证： ．
（2）证明上述命题．
24．（9分）受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺，某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了，该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货价比第一批贵了5元，该店用了9900元，所购数量是第一批的3倍．
（1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？
（2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？
25．（9分）在三角形纸片ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3．将三角形纸片ABC按图中方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A'E交BC于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）求BF的长度．
26．（10分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．
2020-2021学年河北省唐山市滦南县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题含16个小题；每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
【分析】利用分式定义可得答案．
【解答】解：A、是分式，故此选项符合题意；
B、不是分式，是整式，故此选项不合题意；
C、﹣不是分式，是整式，故此选项不合题意；
D、+y不是分式，是整式，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（2分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠F＝85°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．85° C．65° D．55°
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F＝85°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝65°，
故选：C．
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．＝±7 B．＝﹣7 C．＝1 D．＝
【分析】根据二次根根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝|﹣7|＝7，故A错误．
（B）原式＝|﹣7|＝7，故B错误．
（C）原式＝＝，故C错误．
（D）原式＝＝，故D正确．
故选：D．
4．（2分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
5．（2分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．±2
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【解答】解：分式的值为0，
则x2﹣1＝0且x2﹣2x+1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：B．
6．（2分）如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：根据SAS，条件③，可以使得△ABC≌△DCB，
故选：A．
7．（2分）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【解答】解：A、＝3，故与不能合并，故A错误；
B、＝4与能合并，故B正确；
C、与，故不能合并，故C错误；
D、＝4，故与不能合并，故D错误．
故选：B．
8．（2分）如图，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据作图过程可得AD是∠CAB的平分线，进而可得结果．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，
根据作图过程可知：
AD是∠CAB的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝CAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝60°．
故选：C．
9．（2分）把分式（a，b，c均为正）中的b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的3倍
C．变为原来的 D．变为原来的
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：＝，
故选：C．
10．（2分）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，若△BCE的周长等于22cm，则AC的长度等于（ ）
A．10cm B．12cm C．22cm D．32cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长等于22cm，
∴BC+CE+BE＝22（cm），
∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm），
∵BC＝10cm，
∴AC＝12（cm），
故选：B．
11．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．÷＝ B．﹣＝ C．+＝ D．×＝
【分析】根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝＝，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、与不能合并，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项正确．
故选：D．
12．（2分）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
【分析】利用平移变换的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性质可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．
故选：A．
13．（2分）数轴上表示下列各数的点，能落在A、B两个点之间的是（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】根据平方根的定义，估算各个数近似值即可得到答案．
【解答】解：A表示1，B表示3，能落在A、B两个点之间的点表示的数大于1小于3，
A、﹣在原点左侧，故A不符合题意，
B、22＜（）2＜32，则2＜＜3，故B符合题意，
C、32＜＜42，则3＜＜4，故C不符合题意，
D、32＜＜42，则3＜＜4，故D不符合题意，
故选：B．
14．（2分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由勾股定理求出AB＝＝，分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，
分三种情况：如图所示：
①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个；
③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1＝4（个）；
故选：C．
15．（2分）老师出了一道题：计算+，对于下面这三名同学的做法，你的判断是（ ）
乐乐的做法是：原式＝﹣＝＝；
淇淇的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
嘉嘉的做法是：原式＝﹣＝﹣＝＝1．
A．嘉嘉的做法是正确的
B．淇淇的做法是正确的
C．乐乐的做法是正确的
D．三名同学的做法均不正确
【分析】按步骤求解，然后对比其他三人做法找出正确答案．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
＝1．
∴嘉嘉的做法正确，
故选：A．
16．（2分）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】如图，先设平板手推车的长度为x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
【解答】解：设平板手推车的长度为x米，
当x为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角通道的宽为2m，
∴PO＝4m，
∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．
故选：C．
二、填空题（本大题含3个小题：17、18小题每题3分，19小题每空2分，共10分）
17．（3分）已知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为 12 ．
【分析】根据二次根式的减法法则求出x﹣y，利用完全平方公式把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：∵x＝2﹣，y＝2+，
∴x﹣y＝﹣2，
则x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（﹣2）2＝12，
故答案为：12．
18．（3分）关于x的方程﹣＝2有增根，则m的值为 ﹣5 ．
【分析】先解出分式方程的解x＝m+4，然后根据方程有增根得到增根为x＝﹣1，所以m+4＝﹣1，求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）得：3x﹣2﹣m＝2（x+1），
解得：x＝m+4，
∵方程有增根，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴m+4＝﹣1，
∴m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
19．（4分）如图，长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A到点B．
（1）蚂蚁爬行的最短距离是 25 cm；
（2）若从C处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于 5 cm．
【分析】（1）要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答；
（2）当吸管、长方体的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最大，用勾股定理即可解答．
【解答】解：（1）只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20（cm），
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝25（cm）；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25（cm），AD＝10cm，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30（cm），
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
∵25＜5＜5，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25（cm）．
故答案为：25；
（2）盒子底面对角长为＝，
当吸管、长方体的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，
则吸管长度为：＝5（cm），
∴吸管应不少于5cm．
故答案为：5．
三、解答题（本大题含7小题，共计58分，解答题要求写出必要的解题过程）
20．（7分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2；
∵，c是的整数部分，∴c＝3；
（2）3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16，16的平方根是±4．
21．（7分）阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
【分析】反证法的步骤是（1）假设结论不成立（2）从假设出发推出矛盾（3）假设不成立，则结论成立．运用反证法证题时，应从假设出发，把假设当做已知条件，经过推理论证，得出与定义、公理、定理或已知相矛盾，从而判定假设不成立，肯定结论，而非推出结论与假设相矛盾．
【解答】解：有错误．改正：
假设AC＝BC，则∠A＝∠B，又∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC．
22．（8分）先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝2时，
原式＝＝3．
23．（8分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，AB＝AC， CD⊥AB于D ．
求证： ∠BCD＝∠A ．
（2）证明上述命题．
【分析】（1）根据题意写出已知和求证；
（2）根据等腰三角形的性质用∠A表示出∠B＝∠ACB，根据直角三角形的性质计算，证明结论．
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD＝∠A．
故答案为：CD⊥AB于D；∠BCD＝∠A；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣∠A，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝（90°﹣∠A）﹣（90°﹣∠A）＝∠A．
24．（9分）受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺，某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了，该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货价比第一批贵了5元，该店用了9900元，所购数量是第一批的3倍．
（1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？
（2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？
【分析】（1）设第一批采购的耳温计的单价为x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）求出第一批采购的耳温计的数量为20（个），第二批采购的耳温计数量为60（个），再由销售额减去两批进货的费用即可．
【解答】解：（1）设第一批采购的耳温计的单价为x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元，
依题意，得：，
解得：x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
答：第一批采购的耳温计的单价是160元；
（2）第一批采购的耳温计的数量为3200÷160＝20（个），第二批采购的耳温计数量为20×3＝60（个），
∴销售完这两批耳温计共获利210×（20+60）﹣3200﹣9900＝3700元．
答：销售光这两批耳温计，总共获利3700元．
25．（9分）在三角形纸片ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3．将三角形纸片ABC按图中方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A'E交BC于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）求BF的长度．
【分析】（1）由折叠的性质的：∠A′＝∠A＝30°，在Rt△A'BF中，即可求解；
（2）由∠C＝90°﹣∠A＝60°，∠CFE＝60°，易证△CEF是等边三角形，得EF＝CE＝1，由折叠的性质得：A′E＝AE＝3，∠A′＝∠A＝30°，即可得出BF＝A′F＝×2＝1．
【解答】解：（1）由折叠的性质的：∠A′＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝90°，点A′落在AB的延长线上，
∴∠A′BF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠A′FB＝90°﹣∠A′＝60°，
由对顶角相等得：∠CFE＝∠A′FB＝60°；
（2）∵AC＝4，AE＝3，∴CE＝AC﹣AE＝1，
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝60°，
由（1）知，∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE＝1，
由折叠的性质得：A′E＝AE＝3，∠A′＝∠A＝30°，
∴A′F＝A′E﹣EF＝2，
则在Rt△A′BF中，BF＝A′F＝×2＝1．
26．（10分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 是 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．
【分析】●特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断；
②如图1，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，即可解决问题；
●深入探究：由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，即可推出AD2＝CB2；
●推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题；
【解答】解：●特例感知：
① 等腰直角三角形是勾股高三角形．
故答案为是．
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
∴CD＝．
●深入探究：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
即AD＝CB；
●推广应用：
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/10 22:52:30；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年河北省唐山市滦南县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题含16个小题；每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
2．（2分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠F＝85°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．85° C．65° D．55°
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．＝±7 B．＝﹣7 C．＝1 D．＝
4．（2分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．±2
6．（2分）如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2分）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）如图，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．（2分）把分式（a，b，c均为正）中的b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的3倍
C．变为原来的 D．变为原来的
10．（2分）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，若△BCE的周长等于22cm，则AC的长度等于（ ）
A．10cm B．12cm C．22cm D．32cm
11．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．÷＝ B．﹣＝ C．+＝ D．×＝
12．（2分）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
13．（2分）数轴上表示下列各数的点，能落在A、B两个点之间的是（ ）
A．﹣ B． C． D．
14．（2分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．（2分）老师出了一道题：计算+，对于下面这三名同学的做法，你的判断是（ ）
乐乐的做法是：原式＝﹣＝＝；
淇淇的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
嘉嘉的做法是：原式＝﹣＝﹣＝＝1．
A．嘉嘉的做法是正确的
B．淇淇的做法是正确的
C．乐乐的做法是正确的
D．三名同学的做法均不正确
16．（2分）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
二、填空题（本大题含3个小题：17、18小题每题3分，19小题每空2分，共10分）
17．（3分）已知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为 ．
18．（3分）关于x的方程﹣＝2有增根，则m的值为 ．
19．（4分）如图，长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A到点B．
（1）蚂蚁爬行的最短距离是 cm；
（2）若从C处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于 cm．
三、解答题（本大题含7小题，共计58分，解答题要求写出必要的解题过程）
20．（7分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
21．（7分）阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
22．（8分）先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．
23．（8分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，AB＝AC， ．
求证： ．
（2）证明上述命题．
24．（9分）受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺，某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了，该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货价比第一批贵了5元，该店用了9900元，所购数量是第一批的3倍．
（1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？
（2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？
25．（9分）在三角形纸片ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3．将三角形纸片ABC按图中方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A'E交BC于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）求BF的长度．
26．（10分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．
2020-2021学年河北省唐山市滦南县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题含16个小题；每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
【分析】利用分式定义可得答案．
【解答】解：A、是分式，故此选项符合题意；
B、不是分式，是整式，故此选项不合题意；
C、﹣不是分式，是整式，故此选项不合题意；
D、+y不是分式，是整式，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（2分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠F＝85°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．85° C．65° D．55°
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F＝85°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝65°，
故选：C．
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．＝±7 B．＝﹣7 C．＝1 D．＝
【分析】根据二次根根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝|﹣7|＝7，故A错误．
（B）原式＝|﹣7|＝7，故B错误．
（C）原式＝＝，故C错误．
（D）原式＝＝，故D正确．
故选：D．
4．（2分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
5．（2分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．±2
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【解答】解：分式的值为0，
则x2﹣1＝0且x2﹣2x+1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：B．
6．（2分）如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：根据SAS，条件③，可以使得△ABC≌△DCB，
故选：A．
7．（2分）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【解答】解：A、＝3，故与不能合并，故A错误；
B、＝4与能合并，故B正确；
C、与，故不能合并，故C错误；
D、＝4，故与不能合并，故D错误．
故选：B．
8．（2分）如图，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据作图过程可得AD是∠CAB的平分线，进而可得结果．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，
根据作图过程可知：
AD是∠CAB的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝CAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝60°．
故选：C．
9．（2分）把分式（a，b，c均为正）中的b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的3倍
C．变为原来的 D．变为原来的
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：＝，
故选：C．
10．（2分）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，若△BCE的周长等于22cm，则AC的长度等于（ ）
A．10cm B．12cm C．22cm D．32cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长等于22cm，
∴BC+CE+BE＝22（cm），
∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm），
∵BC＝10cm，
∴AC＝12（cm），
故选：B．
11．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．÷＝ B．﹣＝ C．+＝ D．×＝
【分析】根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝＝，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、与不能合并，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项正确．
故选：D．
12．（2分）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
【分析】利用平移变换的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性质可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．
故选：A．
13．（2分）数轴上表示下列各数的点，能落在A、B两个点之间的是（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】根据平方根的定义，估算各个数近似值即可得到答案．
【解答】解：A表示1，B表示3，能落在A、B两个点之间的点表示的数大于1小于3，
A、﹣在原点左侧，故A不符合题意，
B、22＜（）2＜32，则2＜＜3，故B符合题意，
C、32＜＜42，则3＜＜4，故C不符合题意，
D、32＜＜42，则3＜＜4，故D不符合题意，
故选：B．
14．（2分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由勾股定理求出AB＝＝，分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，
分三种情况：如图所示：
①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个；
③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1＝4（个）；
故选：C．
15．（2分）老师出了一道题：计算+，对于下面这三名同学的做法，你的判断是（ ）
乐乐的做法是：原式＝﹣＝＝；
淇淇的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
嘉嘉的做法是：原式＝﹣＝﹣＝＝1．
A．嘉嘉的做法是正确的
B．淇淇的做法是正确的
C．乐乐的做法是正确的
D．三名同学的做法均不正确
【分析】按步骤求解，然后对比其他三人做法找出正确答案．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
＝1．
∴嘉嘉的做法正确，
故选：A．
16．（2分）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】如图，先设平板手推车的长度为x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
【解答】解：设平板手推车的长度为x米，
当x为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角通道的宽为2m，
∴PO＝4m，
∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．
故选：C．
二、填空题（本大题含3个小题：17、18小题每题3分，19小题每空2分，共10分）
17．（3分）已知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为 12 ．
【分析】根据二次根式的减法法则求出x﹣y，利用完全平方公式把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：∵x＝2﹣，y＝2+，
∴x﹣y＝﹣2，
则x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（﹣2）2＝12，
故答案为：12．
18．（3分）关于x的方程﹣＝2有增根，则m的值为 ﹣5 ．
【分析】先解出分式方程的解x＝m+4，然后根据方程有增根得到增根为x＝﹣1，所以m+4＝﹣1，求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）得：3x﹣2﹣m＝2（x+1），
解得：x＝m+4，
∵方程有增根，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴m+4＝﹣1，
∴m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
19．（4分）如图，长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A到点B．
（1）蚂蚁爬行的最短距离是 25 cm；
（2）若从C处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于 5 cm．
【分析】（1）要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答；
（2）当吸管、长方体的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最大，用勾股定理即可解答．
【解答】解：（1）只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20（cm），
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝25（cm）；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25（cm），AD＝10cm，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30（cm），
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
∵25＜5＜5，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25（cm）．
故答案为：25；
（2）盒子底面对角长为＝，
当吸管、长方体的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，
则吸管长度为：＝5（cm），
∴吸管应不少于5cm．
故答案为：5．
三、解答题（本大题含7小题，共计58分，解答题要求写出必要的解题过程）
20．（7分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2；
∵，c是的整数部分，∴c＝3；
（2）3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16，16的平方根是±4．
21．（7分）阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
【分析】反证法的步骤是（1）假设结论不成立（2）从假设出发推出矛盾（3）假设不成立，则结论成立．运用反证法证题时，应从假设出发，把假设当做已知条件，经过推理论证，得出与定义、公理、定理或已知相矛盾，从而判定假设不成立，肯定结论，而非推出结论与假设相矛盾．
【解答】解：有错误．改正：
假设AC＝BC，则∠A＝∠B，又∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC．
22．（8分）先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝2时，
原式＝＝3．
23．（8分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，AB＝AC， CD⊥AB于D ．
求证： ∠BCD＝∠A ．
（2）证明上述命题．
【分析】（1）根据题意写出已知和求证；
（2）根据等腰三角形的性质用∠A表示出∠B＝∠ACB，根据直角三角形的性质计算，证明结论．
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD＝∠A．
故答案为：CD⊥AB于D；∠BCD＝∠A；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣∠A，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝（90°﹣∠A）﹣（90°﹣∠A）＝∠A．
24．（9分）受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺，某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了，该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货价比第一批贵了5元，该店用了9900元，所购数量是第一批的3倍．
（1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？
（2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？
【分析】（1）设第一批采购的耳温计的单价为x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）求出第一批采购的耳温计的数量为20（个），第二批采购的耳温计数量为60（个），再由销售额减去两批进货的费用即可．
【解答】解：（1）设第一批采购的耳温计的单价为x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元，
依题意，得：，
解得：x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
答：第一批采购的耳温计的单价是160元；
（2）第一批采购的耳温计的数量为3200÷160＝20（个），第二批采购的耳温计数量为20×3＝60（个），
∴销售完这两批耳温计共获利210×（20+60）﹣3200﹣9900＝3700元．
答：销售光这两批耳温计，总共获利3700元．
25．（9分）在三角形纸片ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3．将三角形纸片ABC按图中方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A'E交BC于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）求BF的长度．
【分析】（1）由折叠的性质的：∠A′＝∠A＝30°，在Rt△A'BF中，即可求解；
（2）由∠C＝90°﹣∠A＝60°，∠CFE＝60°，易证△CEF是等边三角形，得EF＝CE＝1，由折叠的性质得：A′E＝AE＝3，∠A′＝∠A＝30°，即可得出BF＝A′F＝×2＝1．
【解答】解：（1）由折叠的性质的：∠A′＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝90°，点A′落在AB的延长线上，
∴∠A′BF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠A′FB＝90°﹣∠A′＝60°，
由对顶角相等得：∠CFE＝∠A′FB＝60°；
（2）∵AC＝4，AE＝3，∴CE＝AC﹣AE＝1，
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝60°，
由（1）知，∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE＝1，
由折叠的性质得：A′E＝AE＝3，∠A′＝∠A＝30°，
∴A′F＝A′E﹣EF＝2，
则在Rt△A′BF中，BF＝A′F＝×2＝1．
26．（10分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 是 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．
【分析】●特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断；
②如图1，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，即可解决问题；
●深入探究：由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，即可推出AD2＝CB2；
●推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题；
【解答】解：●特例感知：
① 等腰直角三角形是勾股高三角形．
故答案为是．
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
∴CD＝．
●深入探究：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
即AD＝CB；
●推广应用：
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/10 22:52:30；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
相关试卷
2022-2023学年河北省唐山市滦南县八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年河北省唐山市滦南县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省唐山市滦南县八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2021-2022学年河北省唐山市滦南县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了5万人B，8°，北纬40，1B，【答案】C，【答案】D，【答案】A等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河北省唐山市滦南县七年级（上）期末数学试卷： 这是一份2020-2021学年河北省唐山市滦南县七年级（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
