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2020-2021学年山东省烟台市龙口市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
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这是一份2020-2021学年山东省烟台市龙口市九年级（上）期末数学试卷（五四学制），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省烟台市龙口市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题纸上）
1．已知∠α为锐角，且tanα＝1，则sinα的值为（ ）
A．45° B． C． D．
2．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣ D．y＝﹣x2
4．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
6．如图．点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
7．将抛物线y＝（x+2）2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x+1）2﹣2
8．在一个布袋中装着只有颜色不同，其它都相同的红、白两种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，则两次所摸出的球都是同一颜色球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．用一个半圆围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径为3．则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1﹣x）2，下列说法不正确的是（ ）
A．图象y1与y2的开口方向相同
B．y1与y2的图象关于y轴对称
C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象
D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，CD＝1．则BC的长为（ ）
A．2﹣2 B．4﹣ C．2 D．3
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0．其中，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（请把正确箐案填在答题纸的相应位置上）
13．抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＞0）图象上的点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B、点C在y轴上，若△ABC的面积为4，则k的值是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝ cm．
16．在半径为4的⊙O中，弦AB的长为4，则此弦所对的圆周角的度数为 ．
17．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
18．如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段PA的中点，连接OM．则线段OM的最大值是 ．
三、解答题（请把解答过程写在答题纸的相应位置上）
19．计算：﹣tan60°•cos30°．
20．一次函数y＝﹣x﹣2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式﹣x﹣2＜的解集．
21．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．
（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．
22．把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如，如图摆放的算珠表示数210．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率．
23．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为34cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，≈1.4，≈1.7）
24．某商场购进一种单价为10元的商品，根据市场调查发现：如果以单价20元售出，那么每天可卖出30个，每降价1元，每天可多卖出5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
（3）若降价x元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少元？
25．如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是的中点，边BC经过点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AF＝8，求AC的长．
26．如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于点B，且AC＝BC．点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①点M运动过程中能否存在MN⊥AC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
②当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积．
2020-2021学年山东省烟台市龙口市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题纸上）
1．已知∠α为锐角，且tanα＝1，则sinα的值为（ ）
A．45° B． C． D．
【分析】tanα＝1，则α＝45°，故求sin45°的值即可．
【解答】解：∵∠α为锐角，且tanα＝1，
∴α＝45°，
∴sinα＝sin45°＝．
故选：C．
2．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选：D．
3．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣ D．y＝﹣x2
【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
B、y＝x﹣1，y随x的增大与增大，不合题意；
C、y＝﹣，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
D、y＝﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；
故选：D．
4．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“＝”即可得到结果．
【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．
故选：A．
5．已知点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
【分析】点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，求出ab＝﹣5，即可得到k＝﹣ab＝5．
【解答】解：∵P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴ab＝﹣5，
∵点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣ba＝﹣ab＝5．
故选：B．
6．如图．点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
【分析】首先求得正五边形的中心角，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解答】解：如图：连接AO、EO，
在正五边形ABCDE中，∠AOE＝＝72°，
∴∠ADE＝∠AOE＝×72°＝36°，
故选：C．
7．将抛物线y＝（x+2）2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】先确定抛物线y＝（x+2）2的顶点坐标为（﹣2，0），再利用点平移的规律得到点（﹣2，0）平移所得对应点的坐标为（﹣1，2），然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+2）2的顶点坐标为（﹣2，0），
∴点（﹣2，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣1，2），
∴新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+2
故选：C．
8．在一个布袋中装着只有颜色不同，其它都相同的红、白两种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，则两次所摸出的球都是同一颜色球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有4个等可能的结果，两次所摸出的球都是同一颜色球的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，两次所摸出的球都是同一颜色球的结果有2个，
∴两次所摸出的球都是同一颜色球的概率为＝，
故选：A．
9．用一个半圆围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径为3．则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×3＝，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×3＝，
解得l＝6，
即该圆锥的母线长为6．
故选：B．
10．关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1﹣x）2，下列说法不正确的是（ ）
A．图象y1与y2的开口方向相同
B．y1与y2的图象关于y轴对称
C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象
D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象
【分析】两个抛物线解析式都是顶点式，可以根据顶点式直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与y轴的关系．
【解答】解：∵抛物线y1＝（1+x）2＝（x+1）2，抛物线y2＝（1﹣x）2＝（x﹣1）2，
∴抛物线y1的开口向上，顶点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y2的开口向上，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，故选项A说法正确；
∴y1与y2的顶点关于y轴对称，故选项B说法正确；
∴y1与y2的图象关于y轴对称，y2向左平移2个单位可得到y1的图象，故选项C说法正确；
∵y1绕原点旋转180°得到的抛物线为y＝﹣（x+1）2，与y2开口方向不同，
∴图象y1绕原点旋转180°不能得到y2的图象，故选项D说法不正确，
故选：D．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，CD＝1．则BC的长为（ ）
A．2﹣2 B．4﹣ C．2 D．3
【分析】延长AD、BC交于E，根据正切、正弦的概念分别求出BE、CE，计算即可．
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠DCB＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE中，BE＝2AB＝4，
在Rt△CDE中，CE＝＝，
∴BC＝BE﹣CE＝4﹣，
故选：B．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0．其中，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口方向和与y轴交点可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，根据抛物线对称轴可判断③，由抛物线对称轴及抛物线与x轴一个交点（3，0）可得另一个交点坐标，从而可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故③不正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得：0＝a﹣b+c，
∴0＝a﹣（﹣2a）+c，即3a+c＝0，故④正确，
∴正确的由①②④
故选：C．
二、填空题（请把正确箐案填在答题纸的相应位置上）
13．抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为 ．
【分析】根据概率的意义直接回答即可．
【解答】解：∵每次抛掷硬币正面朝上的概率均为，且两次抛掷相互不受影响，
∴抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＞0）图象上的点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B、点C在y轴上，若△ABC的面积为4，则k的值是 8 ．
【分析】根据已知条件得到三角形AOB的面积＝AB•OB，由于三角形ABC的面积＝AB•OB＝4，得到|k|＝8，即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥CO，
∴三角形AOB的面积＝AB•OB，
∵S三角形ABC＝AB•OB＝4，
∴|k|＝8，
∵k＞0，
∴k＝8，
故答案是：8．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝ 10 cm．
【分析】根据锐角三角函数即可求出AB的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD＝，
∴cos∠A＝＝，
∵AC＝8cm，
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
16．在半径为4的⊙O中，弦AB的长为4，则此弦所对的圆周角的度数为 60°或120° ．
【分析】先根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，由垂径可求出AF的长，根据特殊角的三角函数值可求出∠AOF的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案．
【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，
则AF＝AB，∠AOF＝∠AOB
∵OA＝4，AB＝4，
∴AF＝AB＝2，
∴sin∠AOF＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOF＝120°，
∴优弧AB所对圆周角＝∠AOF＝∠AOB＝×120°＝60°，
在劣弧AB上取点E，连接AE、EB，
∴∠AEB＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：60°或120°．
17．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 2﹣2 ．
【分析】根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决．
【解答】解：连接AE，
∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝2，AD＝，
∴sin∠AED＝，
∴∠AED＝45°，
∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°，
∴AD＝DE＝，
∴阴影部分的面积是：（2×﹣﹣）+（﹣）＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
18．如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段PA的中点，连接OM．则线段OM的最大值是 4 ．
【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣3，则x＝±3，
故点B（﹣3，0），
设圆的半径为r，则r＝3，
连接PB，而点M、O分别为AP、AB的中点，故OM是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OM最大，
则OM＝BP＝（BC+r）＝（+3）＝4，
故答案为：4．
三、解答题（请把解答过程写在答题纸的相应位置上）
19．计算：﹣tan60°•cos30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：原式＝﹣×
＝﹣
＝1﹣
＝﹣．
20．一次函数y＝﹣x﹣2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式﹣x﹣2＜的解集．
【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法将B代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；
（2）观察函数图象即可求解；
【解答】解：（1）将点A（m，2）代入一次函数y＝﹣x﹣2中得：2＝﹣m﹣2，
解得m＝﹣4
∴A（﹣3，2）
将A（﹣3，2）代入反比例函数y＝（x＜0）中得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣（x＜0）；
（2）由图像可知，不等式﹣x﹣2＜的解集为﹣3＜x＜0．
21．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．
（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．
【分析】（1）连接CB，延长CB交DE于点P，连接PG，延长PG交CF于H，点P，线段FH即为所求作．
（2）利用相似三角形的性质根据方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，点P，线段FH即为所求作．
（2）∵AB∥PD，
∴△CBA∽△CPD，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝4.2（m），
答：灯泡P距地面的高度为4.2m．
22．把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如，如图摆放的算珠表示数210．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率．
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，
∴构成的数是三位数的概率为．
23．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为34cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝17cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
【解答】解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝17cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP＝，
∴AE＝＝≈≈57（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为57cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cos∠BAF＝34×cos18°≈34×0.95≈32.3（cm），
BF＝AB•sin∠BAF＝34×sin18°≈34×0.3≈10.2（cm），
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF•tan∠CBF＝10.2×tan30°＝10.2×≈5.78，
∴AC＝AF+CF＝32.3+5.78≈38（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为38cm．
24．某商场购进一种单价为10元的商品，根据市场调查发现：如果以单价20元售出，那么每天可卖出30个，每降价1元，每天可多卖出5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
（3）若降价x元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少元？
【分析】（1）根据销售量等于原销售量加上多卖出的量即可求解；
（2）根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得
y＝30+5x．
答：y与x的函数关系式y＝30+5x．
（2）根据题意，得
W＝（20﹣10﹣x）（30+5x）
＝﹣5x2+20x+300．
答：W与x的函数关系式为W＝﹣5x2+20x+300．
（3）W＝﹣5x2+20x+300
＝﹣5（x﹣2）2+320
∵﹣5＜0，对称轴x＝2，
∵x不低于4元即x≥4，
在对称轴右侧，W随x的增大而减小，
∴x＝4时，W有最大值为300，
答：降价4元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为300元．
25．如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是的中点，边BC经过点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AF＝8，求AC的长．
【分析】（1）连接OF，证得OF∥AC，由平行线的性质推出OF⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）过点O作OH⊥AF于点H，由垂径定理求出AH＝4，证明△AOH∽△AFC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OF，
∵点F是的中点，
∴＝，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵AO＝OF，
∴∠BAF＝∠AFO，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴AC∥OF，
∵∠ACB＝90°，
∴OF⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）如图2，过点O作OH⊥AF于点H，
∵AF＝8，
∴AH＝HF＝AF＝4，
∵∠OAH＝∠FAC，∠OHA＝∠ACF＝90°，
∴△AOH∽△AFC，
∴，
∴，
∴AC＝．
26．如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于点B，且AC＝BC．点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①点M运动过程中能否存在MN⊥AC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
②当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积．
【分析】（1）由y＝x+3可得A（﹣4，0），C（0，3），从而求出B（4，0），根据四边形ABCD为平行四边形即得D（﹣8，3），再用待定系数法即得二次函数的表达式为y＝x2+x﹣3；
（2）①证明△MCN∽△CAO，得＝，即＝，即可解得t＝；
②过N作NH⊥CD于H，由四边形ABCD为平行四边形，A（﹣4，0），C（0，3），B（4，0），得S△ADC＝S▱ABCD＝AB•OC＝12，再证明△NCH∽△CAO，得＝，可求出NH＝﹣t+3，即可得S△NCM＝CM•NH＝﹣t2+t，四边形ADMN的面积S＝S△ADC﹣S△NCM＝（x﹣）2+，可求出即M运动到CM＝时，四边形ADMN的面积最小为．
【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，3），
∴OA＝4，OC＝3，
Rt△AOC中，AC＝＝5，
∵AC＝BC，
∴BC＝5，
Rt△BOC中，OB＝＝4，
∴B（4，0），
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴将B（4，0）平移到A（﹣4，0）时，C（0，3）即平移到D，
∴D（﹣8，3），
将B（4，0），D（﹣8，3）代入y＝ax2+x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣3；
（2）①存在，理由如下：
若MN⊥AC，则∠MNC＝∠AOC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MCN＝∠CAO，
∴△MCN∽△CAO，
∴＝，
而CN＝AC﹣AN＝5﹣t，CM＝t，
∴＝，
解得t＝；
②过N作NH⊥CD于H，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，A（﹣4，0），C（0，3），B（4，0），
∴S△ADC＝S▱ABCD＝AB•OC＝8×3＝12，
∵∠NCH＝∠CAO，∠NHC＝∠AOC，
∴△NCH∽△CAO，
∴＝，
∵AN＝CM＝t，AC＝5，
∴CN＝5﹣t，
∴＝，
∴NH＝﹣t+3，
∴S△NCM＝CM•NH＝t•（﹣t+3）＝﹣t2+t，
∴四边形ADMN的面积S＝S△ADC﹣S△NCM＝12﹣（﹣t2+t）＝t2﹣t+12＝（x﹣）2+，
∵＞0，
∴当t＝时，四边形ADMN的面积S有最小值，最小值为，
即M运动到CM＝时，四边形ADMN的面积最小为．
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日期：2021/8/10 22:47:40；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年山东省烟台市龙口市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题纸上）
1．已知∠α为锐角，且tanα＝1，则sinα的值为（ ）
A．45° B． C． D．
2．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣ D．y＝﹣x2
4．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
6．如图．点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
7．将抛物线y＝（x+2）2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x+1）2﹣2
8．在一个布袋中装着只有颜色不同，其它都相同的红、白两种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，则两次所摸出的球都是同一颜色球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．用一个半圆围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径为3．则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1﹣x）2，下列说法不正确的是（ ）
A．图象y1与y2的开口方向相同
B．y1与y2的图象关于y轴对称
C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象
D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，CD＝1．则BC的长为（ ）
A．2﹣2 B．4﹣ C．2 D．3
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0．其中，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（请把正确箐案填在答题纸的相应位置上）
13．抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＞0）图象上的点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B、点C在y轴上，若△ABC的面积为4，则k的值是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝ cm．
16．在半径为4的⊙O中，弦AB的长为4，则此弦所对的圆周角的度数为 ．
17．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
18．如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段PA的中点，连接OM．则线段OM的最大值是 ．
三、解答题（请把解答过程写在答题纸的相应位置上）
19．计算：﹣tan60°•cos30°．
20．一次函数y＝﹣x﹣2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式﹣x﹣2＜的解集．
21．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．
（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．
22．把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如，如图摆放的算珠表示数210．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率．
23．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为34cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，≈1.4，≈1.7）
24．某商场购进一种单价为10元的商品，根据市场调查发现：如果以单价20元售出，那么每天可卖出30个，每降价1元，每天可多卖出5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
（3）若降价x元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少元？
25．如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是的中点，边BC经过点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AF＝8，求AC的长．
26．如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于点B，且AC＝BC．点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①点M运动过程中能否存在MN⊥AC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
②当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积．
2020-2021学年山东省烟台市龙口市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题纸上）
1．已知∠α为锐角，且tanα＝1，则sinα的值为（ ）
A．45° B． C． D．
【分析】tanα＝1，则α＝45°，故求sin45°的值即可．
【解答】解：∵∠α为锐角，且tanα＝1，
∴α＝45°，
∴sinα＝sin45°＝．
故选：C．
2．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选：D．
3．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣ D．y＝﹣x2
【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
B、y＝x﹣1，y随x的增大与增大，不合题意；
C、y＝﹣，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
D、y＝﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；
故选：D．
4．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“＝”即可得到结果．
【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．
故选：A．
5．已知点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
【分析】点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，求出ab＝﹣5，即可得到k＝﹣ab＝5．
【解答】解：∵P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴ab＝﹣5，
∵点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣ba＝﹣ab＝5．
故选：B．
6．如图．点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
【分析】首先求得正五边形的中心角，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解答】解：如图：连接AO、EO，
在正五边形ABCDE中，∠AOE＝＝72°，
∴∠ADE＝∠AOE＝×72°＝36°，
故选：C．
7．将抛物线y＝（x+2）2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】先确定抛物线y＝（x+2）2的顶点坐标为（﹣2，0），再利用点平移的规律得到点（﹣2，0）平移所得对应点的坐标为（﹣1，2），然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+2）2的顶点坐标为（﹣2，0），
∴点（﹣2，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣1，2），
∴新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+2
故选：C．
8．在一个布袋中装着只有颜色不同，其它都相同的红、白两种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，则两次所摸出的球都是同一颜色球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有4个等可能的结果，两次所摸出的球都是同一颜色球的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，两次所摸出的球都是同一颜色球的结果有2个，
∴两次所摸出的球都是同一颜色球的概率为＝，
故选：A．
9．用一个半圆围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径为3．则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×3＝，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×3＝，
解得l＝6，
即该圆锥的母线长为6．
故选：B．
10．关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1﹣x）2，下列说法不正确的是（ ）
A．图象y1与y2的开口方向相同
B．y1与y2的图象关于y轴对称
C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象
D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象
【分析】两个抛物线解析式都是顶点式，可以根据顶点式直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与y轴的关系．
【解答】解：∵抛物线y1＝（1+x）2＝（x+1）2，抛物线y2＝（1﹣x）2＝（x﹣1）2，
∴抛物线y1的开口向上，顶点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y2的开口向上，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，故选项A说法正确；
∴y1与y2的顶点关于y轴对称，故选项B说法正确；
∴y1与y2的图象关于y轴对称，y2向左平移2个单位可得到y1的图象，故选项C说法正确；
∵y1绕原点旋转180°得到的抛物线为y＝﹣（x+1）2，与y2开口方向不同，
∴图象y1绕原点旋转180°不能得到y2的图象，故选项D说法不正确，
故选：D．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，CD＝1．则BC的长为（ ）
A．2﹣2 B．4﹣ C．2 D．3
【分析】延长AD、BC交于E，根据正切、正弦的概念分别求出BE、CE，计算即可．
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠DCB＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE中，BE＝2AB＝4，
在Rt△CDE中，CE＝＝，
∴BC＝BE﹣CE＝4﹣，
故选：B．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0．其中，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口方向和与y轴交点可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，根据抛物线对称轴可判断③，由抛物线对称轴及抛物线与x轴一个交点（3，0）可得另一个交点坐标，从而可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故③不正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得：0＝a﹣b+c，
∴0＝a﹣（﹣2a）+c，即3a+c＝0，故④正确，
∴正确的由①②④
故选：C．
二、填空题（请把正确箐案填在答题纸的相应位置上）
13．抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为 ．
【分析】根据概率的意义直接回答即可．
【解答】解：∵每次抛掷硬币正面朝上的概率均为，且两次抛掷相互不受影响，
∴抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＞0）图象上的点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B、点C在y轴上，若△ABC的面积为4，则k的值是 8 ．
【分析】根据已知条件得到三角形AOB的面积＝AB•OB，由于三角形ABC的面积＝AB•OB＝4，得到|k|＝8，即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥CO，
∴三角形AOB的面积＝AB•OB，
∵S三角形ABC＝AB•OB＝4，
∴|k|＝8，
∵k＞0，
∴k＝8，
故答案是：8．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝ 10 cm．
【分析】根据锐角三角函数即可求出AB的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD＝，
∴cos∠A＝＝，
∵AC＝8cm，
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
16．在半径为4的⊙O中，弦AB的长为4，则此弦所对的圆周角的度数为 60°或120° ．
【分析】先根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，由垂径可求出AF的长，根据特殊角的三角函数值可求出∠AOF的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案．
【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，
则AF＝AB，∠AOF＝∠AOB
∵OA＝4，AB＝4，
∴AF＝AB＝2，
∴sin∠AOF＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOF＝120°，
∴优弧AB所对圆周角＝∠AOF＝∠AOB＝×120°＝60°，
在劣弧AB上取点E，连接AE、EB，
∴∠AEB＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：60°或120°．
17．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 2﹣2 ．
【分析】根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决．
【解答】解：连接AE，
∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝2，AD＝，
∴sin∠AED＝，
∴∠AED＝45°，
∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°，
∴AD＝DE＝，
∴阴影部分的面积是：（2×﹣﹣）+（﹣）＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
18．如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段PA的中点，连接OM．则线段OM的最大值是 4 ．
【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣3，则x＝±3，
故点B（﹣3，0），
设圆的半径为r，则r＝3，
连接PB，而点M、O分别为AP、AB的中点，故OM是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OM最大，
则OM＝BP＝（BC+r）＝（+3）＝4，
故答案为：4．
三、解答题（请把解答过程写在答题纸的相应位置上）
19．计算：﹣tan60°•cos30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：原式＝﹣×
＝﹣
＝1﹣
＝﹣．
20．一次函数y＝﹣x﹣2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式﹣x﹣2＜的解集．
【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法将B代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；
（2）观察函数图象即可求解；
【解答】解：（1）将点A（m，2）代入一次函数y＝﹣x﹣2中得：2＝﹣m﹣2，
解得m＝﹣4
∴A（﹣3，2）
将A（﹣3，2）代入反比例函数y＝（x＜0）中得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣（x＜0）；
（2）由图像可知，不等式﹣x﹣2＜的解集为﹣3＜x＜0．
21．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．
（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．
【分析】（1）连接CB，延长CB交DE于点P，连接PG，延长PG交CF于H，点P，线段FH即为所求作．
（2）利用相似三角形的性质根据方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，点P，线段FH即为所求作．
（2）∵AB∥PD，
∴△CBA∽△CPD，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝4.2（m），
答：灯泡P距地面的高度为4.2m．
22．把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如，如图摆放的算珠表示数210．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率．
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，
∴构成的数是三位数的概率为．
23．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为34cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝17cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
【解答】解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝17cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP＝，
∴AE＝＝≈≈57（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为57cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cos∠BAF＝34×cos18°≈34×0.95≈32.3（cm），
BF＝AB•sin∠BAF＝34×sin18°≈34×0.3≈10.2（cm），
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF•tan∠CBF＝10.2×tan30°＝10.2×≈5.78，
∴AC＝AF+CF＝32.3+5.78≈38（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为38cm．
24．某商场购进一种单价为10元的商品，根据市场调查发现：如果以单价20元售出，那么每天可卖出30个，每降价1元，每天可多卖出5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
（3）若降价x元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少元？
【分析】（1）根据销售量等于原销售量加上多卖出的量即可求解；
（2）根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得
y＝30+5x．
答：y与x的函数关系式y＝30+5x．
（2）根据题意，得
W＝（20﹣10﹣x）（30+5x）
＝﹣5x2+20x+300．
答：W与x的函数关系式为W＝﹣5x2+20x+300．
（3）W＝﹣5x2+20x+300
＝﹣5（x﹣2）2+320
∵﹣5＜0，对称轴x＝2，
∵x不低于4元即x≥4，
在对称轴右侧，W随x的增大而减小，
∴x＝4时，W有最大值为300，
答：降价4元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为300元．
25．如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是的中点，边BC经过点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AF＝8，求AC的长．
【分析】（1）连接OF，证得OF∥AC，由平行线的性质推出OF⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）过点O作OH⊥AF于点H，由垂径定理求出AH＝4，证明△AOH∽△AFC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OF，
∵点F是的中点，
∴＝，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵AO＝OF，
∴∠BAF＝∠AFO，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴AC∥OF，
∵∠ACB＝90°，
∴OF⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）如图2，过点O作OH⊥AF于点H，
∵AF＝8，
∴AH＝HF＝AF＝4，
∵∠OAH＝∠FAC，∠OHA＝∠ACF＝90°，
∴△AOH∽△AFC，
∴，
∴，
∴AC＝．
26．如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于点B，且AC＝BC．点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①点M运动过程中能否存在MN⊥AC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
②当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积．
【分析】（1）由y＝x+3可得A（﹣4，0），C（0，3），从而求出B（4，0），根据四边形ABCD为平行四边形即得D（﹣8，3），再用待定系数法即得二次函数的表达式为y＝x2+x﹣3；
（2）①证明△MCN∽△CAO，得＝，即＝，即可解得t＝；
②过N作NH⊥CD于H，由四边形ABCD为平行四边形，A（﹣4，0），C（0，3），B（4，0），得S△ADC＝S▱ABCD＝AB•OC＝12，再证明△NCH∽△CAO，得＝，可求出NH＝﹣t+3，即可得S△NCM＝CM•NH＝﹣t2+t，四边形ADMN的面积S＝S△ADC﹣S△NCM＝（x﹣）2+，可求出即M运动到CM＝时，四边形ADMN的面积最小为．
【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，3），
∴OA＝4，OC＝3，
Rt△AOC中，AC＝＝5，
∵AC＝BC，
∴BC＝5，
Rt△BOC中，OB＝＝4，
∴B（4，0），
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴将B（4，0）平移到A（﹣4，0）时，C（0，3）即平移到D，
∴D（﹣8，3），
将B（4，0），D（﹣8，3）代入y＝ax2+x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣3；
（2）①存在，理由如下：
若MN⊥AC，则∠MNC＝∠AOC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MCN＝∠CAO，
∴△MCN∽△CAO，
∴＝，
而CN＝AC﹣AN＝5﹣t，CM＝t，
∴＝，
解得t＝；
②过N作NH⊥CD于H，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，A（﹣4，0），C（0，3），B（4，0），
∴S△ADC＝S▱ABCD＝AB•OC＝8×3＝12，
∵∠NCH＝∠CAO，∠NHC＝∠AOC，
∴△NCH∽△CAO，
∴＝，
∵AN＝CM＝t，AC＝5，
∴CN＝5﹣t，
∴＝，
∴NH＝﹣t+3，
∴S△NCM＝CM•NH＝t•（﹣t+3）＝﹣t2+t，
∴四边形ADMN的面积S＝S△ADC﹣S△NCM＝12﹣（﹣t2+t）＝t2﹣t+12＝（x﹣）2+，
∵＞0，
∴当t＝时，四边形ADMN的面积S有最小值，最小值为，
即M运动到CM＝时，四边形ADMN的面积最小为．
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日期：2021/8/10 22:47:40；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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